Dookoła nierówności Hilberta

Jest to zapis odzytu wygªoszonego na
XXXIV Szkole Matematyki Pogl¡dowej
NIE w matematye i okoliah,
styze« 2005.
Dookoła nierówności Hilberta
Krzysztof OLESZKIEWICZ, Warszawa
O nierówno±i Hilberta napisano ju» wiele. Trudno byªoby w krótkim artykule
rzetelnie opisa¢ jej zastosowania i rozmaite warianty, zwªaszza »e zwykle
wymaga to u»yia do±¢ skomplikowanyh narzdzi matematyki wy»szej;
przyjrzymy si wi z bliska tylko niektórym, wybranym zagadnieniom.
Zainteresowany Czytelnik zehe mo»e przezyta¢ obszerniejsze, przegl¡dowe
opraowanie [1℄.
Nierówno±¢ Hilberta. Dla dowolnyh lizb rzezywistyh a1 , a2 , . . . , ak ,
b1 , b2 , . . . , bl oraz dowolnyh lizb c1 , c2 , . . . , ck , d1 , d2 , . . . , dl ≥ 1 takih, »e
|ci − cj | ≥ 1 i |di − dj | ≥ 1 dla i 6= j, speªniona jest nierówno±¢
k X
l
k
l
X
X
1/2 X
1/2
am bn a2m
b2n
.
≤π·
c + dn
m=1 n=1 m
m=1
n=1
W dowodzie nierówno±i Hilberta wykorzystamy nierówno±¢
Buniakowskiego-Shwarza, w wersji znanej ju» Cauhy'emu (dalej bdziemy j¡
nazywa¢, jak to jest do±¢ powszehnie przyjte, nierówno±i¡ Shwarza). Dla
dowolnyh lizb rzezywistyh x1 , x2 , . . . , xN , y1 , y2 , . . . , yN mamy
N
N
N
X
X
1/2
1/2 X
.
yj2
x2j
xj yj ≤
j=1
j=1
j=1
Istotnie, je±li na i¡gah t = (t1 , t2 , . . . , tN ) i u = (u1 , u2 , . . . , uN ) okre±limy
wzorem
N
X
t j uj
t◦u=
j=1
dziaªanie dwuargumentowe o warto±iah rzezywistyh, to ªatwo sprawdzi¢, »e
speªnia ono dla dowolnyh i¡gów t, u, v i dowolnej lizby rzezywistej α
nastpuj¡e warunki: t ◦ u = u ◦ t, (αt) ◦ u = α(t ◦ u), t ◦ (u + v) = (t ◦ u) + (t ◦ v),
t ◦ t ≥ 0, przy zym t ◦ t = 0 tylko wtedy, gdy t = 0. Dziaªanie maj¡e powy»sze
wªasno±i nazywamy rzezywistym ilozynem skalarnym. Proste przeksztaªenia
pokazuj¡, »e (x ◦ x)α2 + 2(x ◦ y)α + (y ◦ y) = (αx + y) ◦ (αx + y) ≥ 0 dla dowolnej
lizby rzezywistej α, a wi wyró»nik ∆ = 4(x ◦ y)2 − 4(x ◦ x)(y ◦ y) jest
niedodatni, st¡d za± natyhmiast wynika, »e |x ◦ y| ≤ (x ◦ x)1/2 (y ◦ y)1/2 , o jest
po prostu inn¡ form¡ zapisu nierówno±i Shwarza.
Wró¢my do nierówno±i Hilberta. Bez straty ogólno±i mo»emy zaªo»y¢, »e
c1 < c2 < . . . < ck i d1 < d2 < . . . < dl wystarzy bowiem przenumerowa¢
wyrazy i¡gu (cm ) tak, by ustawi¢ je w kolejno±i rosn¡ej i to samo
przenumerowanie zastosowa¢ do wyrazów i¡gu (am ), aby otrzyma¢ nierówno±¢
równowa»n¡ wyj±iowej; podobnie rzez si ma z i¡gami (dn ) i (bn ). Wygodnie
bdzie
te» przyj¡¢, »e c0 = d0 = 0. Nieh N = k · l i potraktujmy sum podwójn¡
Pk
P
l
m=1
n=1 jako sum N skªadników. Wówzas, stosuj¡ nierówno±¢ Shwarza
1/4
−1/4
1/4
−1/4
do xm,n = cm (cm + dn )−1/2 dn am i ym,n = dn (cm + dn )−1/2 cm bn ,
otrzymamy
l
l
k
k X
X
am bn X X
xm,n ym,n ≤
=
c
+
d
m
n
m=1 n=1
m=1 n=1
≤
=
k X
l
X
x2m,n
m=1 n=1
k
X
m=1
a2m
k X
l
1/2 X
m=1 n=1
2
ym,n
1/2
=
√
√
l
k
1/2 X
1/2
X
cm
dn
√
,
b2n
√
(cm + dn ) cm
(cm + dn ) dn
n=1
m=1
n=1
l
X
nierówno±¢ Hilberta wynika wi natyhmiast z nastpuj¡ego lematu.
17
Dla ka»dego c > 0 i dowolnyh lizb rzezywistyh d0 = 0, d1 , . . . , dl
takih, »e dj ≥ dj−1 + 1 dla j = 1, 2, . . . , l, speªniona jest nierówno±¢
Lemat.
√
c
√ < π.
(c
+
d
) dn
n
n=1
l
X
Lemat udowodnimy geometryznie. Rozwa»my w kartezja«skim ukªadzie
√
wspóªrzdnyh na pªaszzy¹nie dodatni¡
¢wiartk okrgu o promieniu c
√
i ±rodku O = (0, 0). Na prostej x√= pc wybieramy punkty P0 , P1 , P2 , . . . , Pl tak,
by punkt Pj miaª wspóªrzdne ( c, dj ) dla j = 0, 1, 2, . . . , l, za± przez Qj
oznazamy punkt przeiia okrgu z odinkiem OPj . Nieh Rj oznaza punkt
wspólny odinka OPj−1 i pionowej prostej przehodz¡ej przez Qj . Šatwo
zauwa»y¢, »e trójk¡t OQj R√
j jest
p obrazem trójk¡ta OPj Pj−1 w jednokªadno±i
o skali λ = |OQj |/|OPj | = c/ c + dj . Zatem
S∆OQj Rj = λ2 S∆OPj Pj−1 = λ2 · |Pj Pj−1 | · |OP0 |/2 =
p
p
√
( dj − dj−1 ) c
c
·
=
=
c + dj
2
√
√
c c
c c(dj − dj−1 )
p
p
p ,
≥
=
2(c + dj )( dj + dj−1 )
4(c + dj ) dj
z drugiej za± strony ozywi±ie
l
X
√
S∆OQj Rj < π( c)2 /4 = πc/4,
j=1
bo trójk¡ty te maj¡ parami rozªazne wntrza i wszystkie zawieraj¡ si
w rozpatrywanej ¢wiarte koªa. Skraaj¡ o zynnik c/4 obie strony oszaowania
ko«zymy dowód lematu i nierówno±i Hilberta.
Najz±iej rozwa»a si i¡gi cm = m, dn = n i wówzas nierówno±¢ Hilberta
przyjmuje posta¢
k X
l
k
l
X
1/2 X
1/2
X
am bn
2
≤π
am
.
b2n
m+n
m=1 n=1
m=1
n=1
Nawet w tym szzególnym przypadku staªej π nie da si zast¡pi¢ »adn¡ mniejsz¡
lizb¡, je±li nierówno±¢ ma by¢ prawdziwa dla dowolnyh k,
√m )
√ l, i i¡gów (a
i (bn ). Wystarzy rozwa»y¢ i¡gi zadane wzorami am = 1/ m i bn = 1/ n przy
k, l → ∞. Doiekliwy Czytelnik z pewno±i¡ zdoªa wymy±li¢ dowód geometryzny
podobny do przedstawionego powy»ej (tym razem trzeba skonstruowa¢ trójk¡ty
pokrywa j¡e jedn¡ ósm¡ koªa) mo»na te» znale¹¢ go w artykule [2℄.
Inna iekawa nierówno±¢, pokrewna nierówno±i Hilberta, mówi, »e dla
dowolnyh lizb rzezywistyh a1 , a2 , . . . , ak i dowolnyh c1 , c2 , . . . , ck > 0 mamy
k X
k
X
am an
≥ 0.
c + cn
m=1 n=1 m
Istotnie, gdy rozwa»ymy funkj zmiennej nieujemnej s zadan¡ wzorem
Q(s) =
k X
k
X
am an cm +cn
s
,
c + cn
m=1 n=1 m
ªatwo sprawdzimy, i» dla s > 0
Q′ (s) = s−1
k
X
m=1
am scm
2
≥ 0,
»e za± Q(0) = 0, mamy st¡d Q(1) ≥ 0, o ko«zy dowód.
18
Nieo trudniej wykaza¢ (przy takih samyh zaªo»eniah), »e
k X
k
X
am an
≥ 0,
(c
+ cn ) β
m
m=1 n=1
gdzie β jest pewn¡ lizb¡ dodatni¡.
Przenikliwy Czytelnik bez trudu znajdzie odpowiedni¡ modyfikaj poprzedniego
rozumowania, je±li β jest lizb¡ naturaln¡ wystarzy przeprowadzi¢ indukj
naturaln¡ wzgldem parametru β, przy zym rozumowanie upro±i si nieo, je±li
zamiast scm +cn ró»nizkowa¢ e−(cm +cn )s dla s ∈ [0, ∞). Jednak»e dla
nieaªkowityh warto±i parametru β potrzebny jest odrobin subtelniejszy
argument.
Dziki liniowej zamianie zmiennyh w = cs dla β > 0 i c > 0 mamy
Z∞
s
β−1 −cs
e
ds = c
−β
Z∞
wβ−1 e−w dw = c−β Γ(β).
0
0
Z liznyh wªasno±i funkji gamma Eulera Γ dla nas wa»ne jest jedynie, »e Γ(β)
jest dodatni¡ lizb¡ rzezywist¡, a to Czytelnik z pewno±i¡ uzasadni
samodzielnie. Dalej jest ju» ªatwo:
∞
Z
k
k
1 XX
am an
=
am an sβ−1 e−(cm +cn )s =
β
(c
+
c
)
Γ(β)
m
n
m=1 n=1
m=1 n=1
k X
k
X
0
=
=
1
Γ(β)
Z∞
1
Γ(β)
0
Z∞
sβ−1
k
X
k
X
m=1 n=1
sβ−1
0
k
X
am e−cm s · an e−cn s ds =
am e−cm s
m=1
2
ds ≥ 0.
Na konie udowodnimy, »e dla dowolnyh β > 0, c1 , c2 , . . . , ck > 0 i i¡gów lizb
rzezywistyh a = (a1 , a2 , . . . , ak ), b = (b1 , b2 , . . . , bk ) speªniona jest nierówno±¢
k
k X
X
k
k
k
k
am bn X X am an 1/2 X X
bm bn 1/2
.
≤
(cm + cn )β
(cm + cn )β
(cm + cn )β
m=1 n=1
m=1 n=1
m=1 n=1
Rzezywi±ie, jest to po prostu nierówno±¢ Shwarza |a ◦ b| ≤ (a ◦ a)1/2 (b ◦ b)1/2
dla ilozynu skalarnego okre±lonego wzorem
a◦b=
k X
k
X
am bn
,
β
(c
m + cn )
m=1 n=1
a »e jest to ilozyn skalarny, sprawdzi¢ ªatwo powy»ej wykazali±my, i» dla
ka»dego i¡gu a mamy a ◦ a ≥ 0, za± udowodnienie pozostaªyh wªasno±i nie
powinno sprawi¢ Czytelnikowi kªopotu.
[1℄ J. Mihael Steele,
The Cauhy-Shwarz Master Class: An Introdution to the
, Cambridge University Press and the
Mathematial Assoiation of Ameria, Cambridge UK and Washington DC,
2004 (rozdziaª 10); dostpne tak»e w formie elektroniznej pod adresem
www-stat.wharton.upenn.edu/steele/Publiations/Books/
CSMC/CSMC_HilbertandCompensatingDiiulties.pdf
[2℄ K. Oleszkiewiz, An Elementary Proof of Hilbert's Inequality, Amer. Math.
Monthly 100 (1993), 276280.
Art of Mathematial Inequalities
19