Wykład 6 1. Kilka warunków implikujących ciągłość. (X, dX), (Y,dY

Wykład 6
1. Kilka warunków implikujących ciągłość.
(X, dX ), (Y, dY ) – przestrzenie metryczne.
Definicja 1. Funkcja f : X → Y jest jednostajnie ciągła, gdy dla każdego > 0 istnieje
taka δ > 0, że jeśli tylko dX (x, y) < δ, to dY (f (x), f (y)) < dla dowolnej pary x, y ∈ X.
Przykłady
1. Funkcja f : [0, 1] → [0, 1], f (x) = x2 jest jednostajnie ciągła.
2. Funkcja f : R → R, f (x) = x2 nie jest jednostajnie ciągła.
3. Funkcja f : R → R, f (x) =
p
|x| jest jednostajnie ciągła.
4. Funkcja f : X → R, f (x) = d(x, A) jest jednostajnie ciągła.
Definicja 2. Funkcja f : X → Y jest lipschitzowska, gdy istnieje stała L > 0 taka, że dla
dowolnych x, y ∈ X zachodzi
dY (f (x), f (y)) ¬ L · dX (x, y).
Przykłady
1. Funkcja f : [0, 1] → [0, 1], f (x) = x2 jest lipschitzowska ze stałą L = 2
2. Funkcja f : R → R, f (x) =
p
|x| nie jest lipschitzowska.
3. Funkcja f : X → R, f (x) = d(x, A) jest lipschitzowska ze stałą 1.
Definicja 3. Funkcja f : X → Y jest hölderowska ze stałą α, gdy istnieje stała C > 0 taka,
że dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi
dY (f (x), f (y)) ¬ C · dX (x, y)α .
Każda funkcja lipschitzowska jest hölderowska ze stałą α = 1.
Twierdzenie 1. f jest lipschitzowska ⇒ f jest hölderowska ⇒ f jest jednostajnie ciągła
⇒ f jest ciągła.
2. Homeomorfizm.
Definicja 4. Funkcja f : X → Y jest homeomorfizmem, gdy jest odwracalna (tzn. istnieje
f −1 : Y → X) ciągła i f −1 jest też ciągła. Przestrzenie X i Y nazywamy wtedy homeomorficznymi (lub topologicznie równoważnymi).
Często mówi się też, że f : X → Y jest homeomorfizmem (w Y ), gdy f jest różnowartościowa, ciągła i f −1 : f (X) → X jest ciągła (czyli bez założenia surjektywności).
Uwaga. Nie każda ciągła funkcja odwracalna jest homeomorfizmem. Przykład [0, 1) 3 z →
e2πiz ∈ {z ∈ C : |z| = 1} = T.
1
Poniższe twierdzenie podajemy bez (prostego) dowodu, aby nie powielać już napisanych
rozumowań.
Twierdzenie 2. Jeśli f jest różnowartościową surjekcją, to następujące warunki są równoważne:
1. f jest homoemorfizmem
2. U jest otwarty w X wtedy i tylko wtedy, gdy f (U ) jest otwarty w Y (τY = f (τX ))
3. F jest domknięty w X wtedy i tylko wtedy, gdy f (F ) jest domknięty w Y
4. f (A) = f (A)
5. xn → x wtedy i tylko wtedy, gdy f (xn ) → f (x).
Proste fakty:
Twierdzenie 3. Złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem.
Twierdzenie 4. Metryki d1 i d2 w przestrzeni X są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy
przekształcenie identycznościowe id : X → X, id(x) = x jest homeomorfizmem.
Sprawdźmy jak zachowują się poznane przez nas pojęcia dotyczące wielkości względem
przekształceń ciągłych.
Twierdzenie 5. Jeśli f : X → Y jest ciągłą surjekcją, a Q ⊂ X jest gęsty, to f (Q) jest
gęsty w Y .
Dowód. Jeśli U ⊂ Y jest otwarty, to f −1 (U ) jest otwarty w X i niepusty (bo f jest surjekcją), więc zawiera jakieś q ∈ Q. Zatem f (q) ∈ U .
Uwaga: Jeśli f : X → Y jest ciągłą surjekcją, a B ⊂ X jest brzegowy (a nawet nigdziegęsty), to f (B) nie musi być brzegowy w Y (przykład rzut R2 → R na oś X).
Wniosek 1.
1. Jeśli f : X → Y jest homeomorfizmem, a B ⊂ X jest brzegowy (nigdziegęsty), to
f (B) jest brzegowy (nigdziegęsty) w Y .
2. Jeśli f : X → Y jest homeomorfizmem, to X jest ośrodkowa, wtedy i tylko wtedy, gdy
Y jest ośrodkowa.
Nie wszystkie własności przestrzeni metrycznych przenoszą się przez homeomorfizmy, bo
homeomorfizmy są związane z topologiami, a nie z konkretnymi metrykami. Najważniejsze
przykłady: zupełność nie przenosi się (arc tg : R → (− π2 , π2 ) jest homeomorfizmem, ale tylko
R jest zupełna), ograniczoność również nie (przykład jak wyżej; co więcej każda przestrzeń
metryczna jest homeomorficzna z pewną przestrzenią ograniczoną).
2