Podstawy automatyki i regulacji automatycznej

Instytut Politechniczny
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Głogowie
Podstawy automatyki i regulacji automatycznej
Laboratorium nr 2
Projektowanie układów regulacji metodą linii pierwiastkowych
Przebieg ćwiczenia
1. Zbudować układ automatycznej regulacji z regulatorem proporcjonalnym Gr (s) =
Kp dla układu opisanego transmitancją
G(s)it =
1
.
s(s + 2)(s + 5)
Wyznaczyć wzmocnienie regulatora przy następujących założeniach:
• przeregulowanie ηp = 10%,
• czas regulacji tr = 2s.
metodą linii pierwiastkowych. Zastosować funkcje pakietu Matlab: rlocus, sgrid
i rlocfind. Dla zbudowanego układu regulacji wyznaczyć odpowiedź na skok jednostkowy i na jej podstawie przeregulowanie oraz czas regulacji. Czy regulator proporcjonalny wystarczy, aby zapewnić założone charakterystyki układu regulacji?
2. Dla obiektu z zadania 1 zbudować układ automatycznej regulacji z regulatorem
wyprzedzającym fazę opisanego transmitancją
Gr (s) = K
s+z
s+b
Wyliczyć zero i biegun kompensatora przy założeniach podanych z zadaniu 1. Zastosować procedurę z biegunami dominującymi załączoną do instrukcji (użyć skryptu
wyznacz.m). Wykreślić:
(a) odpowiedź skokową i na jej podstawie przeregulowanie oraz czas regulacji,
(b) położenie biegunów układu otwartego oraz układu skompensowanego,
(c) zapas stabilności układu regulacji.
Jak wpływa wybór zera kompensatora na jakość regulacji? Powtórzyć eksperyment
dla innych założonych wartości czasu regulacji tr = 1 i tr = 5 oraz innych wartości
przeregulowań ηp = 5% i ηp = 30%.
3. Dla obiektu o transmitancji
G(s) =
400
s(s + 10)(s + 20)
zbudować układ automatycznej regulacji z regulatorem opisanego transmitancją
Gr (s) = K
s+z
s+b
Wyliczyć zero i biegun kompensatora przy założeniach podanych z zadaniu 1. Czy
otrzymany kompensator to kompensator wyprzedzający czy opóźniający fazę? Wykorzystać skrypt wyznacz.m. Wykreślić:
(a) odpowiedź skokową i na jej podstawie przeregulowanie oraz czas regulacji,
(b) położenie biegunów układu otwartego oraz układu skompensowanego,
(c) zapas stabilności układu regulacji.
Zasady projektowania układów metodą linii pierwiastkowych
1. Transmitancja regulatora:
Gr (s) = K
s + z0
.
s + b0
Jeśli z < b to jest kompensator wyprzedzający fazę (ang. phase lead), jeśli z > b to
jest to kompensator opóźniający fazę (ang. phase lag)
2. Transmitancja układu otwartego:
Go (s) = K
(s + z0 )(s + z1 )(s + z2 ) · · · (s + zn )
(s + b0 )(s + b1 )(s + b2 ) · · · (s + bm )
gdzie zi i bj – zera i bieguny obiektu.
3. Równanie charakterystyczne układu zamkniętego:
1+K
(s + z0 )(s + z1 )(s + z2 ) · · · (s + zn )
=0
(s + b0 )(s + b1 )(s + b2 ) · · · (s + bm )
stąd
K=−
(s + b0 )(s + b1 )(s + b2 ) · · · (s + bm )
(s + z0 )(s + z1 )(s + z2 ) · · · (s + zn )
4. Równanie (1) można przedstawić w postaci dwóch warunków:
(a) warunek amplitudy
K=
|s + b0 ||s + b1 ||s + b2 | · · · |s + bm |
|s + z0 ||s + z1 ||s + z2 | · · · |s + zn |
2
(1)
(b) warunek fazy
X
i
θzi −
X
θbj = 180r,
r ± 1, ±3, . . .
j
gdzie θzi = arg(s + zi), θbi = arg(s + bi).
5. Projektowanie kompensatora wyprzedzającego fazę:
(a) na podstawie podanej specyfikacji układu regulacji wyznaczyć parę biegunów
dominujących
q
s1/2 = −ζω + jω 1 − ζ 2
gdzie ζ – współczynnik tłumienia, ω - pulsacja drgań nietłumionych. Należy
tak wyznaczyć parametry kompensatora, aby bieguny dominujące stały się biegunami układu zamkniętego (dla wyznaczonej wartości K linie pierwiastkowe
przechodzą przez bieguny dominujące),
(b) zaproponuj położenie zera z0 kompensatora (jako wartość mniejszą od najmniejszego stabilnego bieguna rzeczywistego obiektu),
(c) na podstawie warunku fazy wyznaczyć położenie bieguna b0 kompensatora,
(d) na podstawie warunku amplitudy wyznaczyć wzmocnienie K kompensatora.
Przydatne polecenia pakietu MATLAB
rlocus – wykreślenie linii pierwiastkowych obiektu o podanej transmitancji.
sgrid – nałożenie na wykres linii pierwiastkowych linii wskazujących położenie biegunów
związanych z zadanym współczynnikiem tłumienności oraz pulsacją drgań nietłumionych.
rlocfind – znalezienia wzmocnienia układu dla podanego zestawu biegunów wykresie
linii pierwiastkowych. Zwraca wzmocnienie oraz powiązane z nim położenie biegunów.
Pytania testowe
• Przestawić w postaci podpunktów procedurę wyznaczania nastaw regulatora metodą
linii pierwiastkowych.
• Wyjaśnić pojęcie biegun dominujący. Jaki jest jego wpływ na jakość pracy układu
regulacji?
• Wyznaczyć transmitancję zastępczą układu regulacji zawierającego regulator o transmitancji Gr (s) i obiekt Go (s) połączonych szeregowo w układzie z ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
• Wyjaśnić w jaki sposób można wykreślić wykres linii pierwiastkowych dla danego
układu.
• Co to jest równanie charakterystyczne układu?
3