Reguły konstrukcji linii pierwiastkowych

Reguły konstrukcji linii pierwiastkowych
1. Położenie zer układu zamkniętego jest niezależne od wzmocnienia k. Zera UO= zera UZ:
G( s) 
2.
3.
4.
5.
K ( s)
L( s )

1  K ( s ) L( s )  M ( s )
Położenie biegunów układu zamkniętego wynika z warunku fazy oraz amplitudy.
Linie pierwiastkowe mają n-gałęzi, odpowiadających n biegunom układu zamkniętego.
Gałęzie linii pierwiastkowych zaczynają się w biegunach układu otwartego (k=0).
m gałęzi linii dąży do zer układu otwartego,  n  m  dąży do nieskończoności wzdłuż
asymptot ( k  ) .
6. Kąty nachylenia asymptot (dla k > 0) wynoszą:
l 
2i  1
;
nm
i  0,1, 2,..., n  m  1
Punkt przecięcia asymptot leży na osi liczb rzeczywistych w punkcie o współrzędnej:
n
q
m
 pi   zi
1
1
nm
7. Linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi liczb rzeczywistych.
8. Do linii pierwiastkowej (k > 0) należą te fragmenty osi l. rzeczywistych, na prawo od których
leży nieparzysta liczba zer i biegunów (z uwzględnieniem ich krotności) układu otwartego.
9. Punkty dojścia i odejścia od osi l. rzeczywistych spełniają równanie:
dk ( s)
0
ds
gdzie: k ( s)  
n
m
1
1
lub 

0
1 s  pi
1 s  zj
M ( s)
L( s)
10. Jeżeli  n  m   2 suma biegunów układu otwartego równa się sumie biegunów układu
zamkniętego (reguła sumowania).
11. Jeżeli układ otwarty ma zero w początku układu współrzędnych (zi=0) iloczyn biegunów
układu otwartego równa się iloczynowi biegunów układu zamkniętego (reguła mnożenia).
12. Wzmocnienie k dla danego punktu linii pierwiastkowej si' (biegun układu zamkniętego)
można wyznaczyć z warunku modułu:
n
k
| s
'
i
 si |
'
i
 pi |
1
m
| s
1
13. Pełne wzmocnienie układu, dla danego k można wyznaczyć ze wzoru:
m
k0  k
| z
i
|
1
n
| p
i
|
1
14. Współrzędne przecięcia linii pierwiastkowych z osią liczb urojonych (utrata stabilności)
można wyznaczyć wstawiając do warunku modułu s=j. Dodatkowo można również
wyznaczyć wartość wzmocnienia granicznego.
Przypadek szczególny kbm < 0
Dla
1 k  K  s  0
gdzie
m
K s 


Gdy k<0 k   ,0  i bm>0 zachodzi:
bm   s  zi 
i 1
n
  s  pi 
.
i 1
4.2. Gałęzie linii pierwiastkowych zaczynają się w zerach układu otwartego (k = 0-) a (n-m)
gałęzi przybywa z nieskończoności wzdłuż asymptot.
5.2. n gałęzi linii dąży do biegunów układu otwartego.
6.2. Dla k < 0 kąty nachylenia asymptot wynoszą:
l 
2i
;
nm
i  0,1, 2,..., n  m  1
8.2. Jeśli całkowita liczba zer i biegunów z prawej strony odcinka jest parzysta, wówczas
występuje linia pierwiastkowa dla k < 0.
n – liczba skończonych biegunów transmitancji układu otwartego.
m – liczba skończonych zer transmitancji układu otwartego.