Ostatni dzwonek przed egzaminem maturalnym! Jeśli chcesz go

Ostatni dzwonek przed egzaminem maturalnym!
Jeśli chcesz go zdać to…
…co jeszcze powinieneś wiedzieć?
Zbliżamy się nieuchronnie do „Wielkiego Majowego Sprawdzianu”. Budzi on wiele obaw, związanych z nowymi
zasadami, szczególnie że po egzaminie w roku 2014 pojawiło się wiele głosów mówiących o „najtrudniejszej
obowiązkowej maturze z matematyki w historii (nowej matury)”. Pocieszające jest to, że każdy rocznik
mówi tak o swoim egzaminie maturalnym, więc dlaczego w 2014 roku miało być inaczej. Może warto więc
poszukać pomocy analizując egzaminy maturalne z lat poprzednich?
Matura podstawowa - strach się bać?
W nr 8 czasopisma Matematyka pojawiły się dwa artykuły na temat zasad i wyników egzaminu maturalnego,
warto je przeczytać . (egzemplarz dostępny w bibliotece szkolnej)
W jednym z nich, , na stronie 44 czasopisma znajdziemy taki komentarz:
„Zaraz po zakończeniu egzaminu maturalnego z matematyki na poziomie podstawowym rozległy się głośne lamenty, jaki to
trudny on był, jak bardzo nielitościwa okazała się w tym roku Centralna Komisja Egzaminacyjna. Czy były ona uzasadnione?
Pierwszy rzut oka na zadania pozwalał stwierdzić, że o ile dla uczniów ,,ogarniających" matematykę był to egzamin - jak co roku
- prosty, to maturzystom, których jedynym pragnieniem jest osiągnięcie mitycznego progu 30% punktów, mógł on sprawić
niespodziewane trudności.
Ogłoszone 27 czerwca wstępne wyniki matur potwierdzają tę diagnozę. Egzaminu maturalnego z matematyki nie zdał co
czwarty maturzysta - to dużo, najwięcej od wprowadzenia obowiązkowej matury z matematyki (do tej pory najgorzej było w roku
2011 - zdało 79% maturzystów, w pozostałych latach poziom zdawalności nie spadał poniżej 85%). Do tego dochodzą słabe
średnie wyników - mediana to 46 punktów, średnia arytmetyczna - 48 punktów. Nasuwa się zatem niepokojące pytanie - czy to
egzamin był tak trudny, czy uczniowie tak słabo przygotowani? A może chodzi o to, że byli wytrenowani pod powtarzające się
w ostatnich latach zadania i tegoroczne okazały się dla nich zbyt niestandardowe, a osiągnięte wyniki są miarą poziomu ich
bezradności w tej sytuacji?”
Jego autor, młody człowiek Teofil Bolanowski, który pisze o sobie „leniwy maturzysta” dokonuje analizy
maturalnych zadań zamkniętych z poziomu podstawowego. Warto zapoznać się z jego spostrzeżeniami.
Krótko pokazuje jak rozkładały się zadania z poszczególnych działów na egzaminie maturalnym, aż od roku
2010 czyli od chwili wejścia nowej matury. Dość dokładnie opisuje poszczególne zadania przez co obala mit
o trudności kolejnych zadań zamkniętych. Zainteresowanych odsyłamy na stronę 39 wspomnianego czasopisma.
Zagadnienia
Procenty
Wartość bezwzględna
Równania i nierówności
Liczby
Własności wartości
bezwzględnej
Równania i nierówności z
wartością bezwzględną
Układy równań
Równania i nierówności
liniowe
Przekształcenia algebraiczne
Równania i nierówności
wartością bezwzględną
Wielomiany i inne równania i
nierówności
Działania na potęgach i
pierwiastkach
Numery zadań
2012
2013
1
2
2010
2
2011
2
2014
2
-
-
-
-
9
1
1
5
1
-
-
4
-
4
5
-
5, 6
-
10
-
-
3
-
-
3, 21
7
7
6
-
-
6
-
-
16
-
3
-
2, 3
23
-
Logarytmy
Funkcja i jej własności
Wielomiany
Ciągi liczbowe
Własności logarytmów
Odczytywanie własności z
wykresu funkcji
Funkcja liniowa z
parametrem
Własności funkcji liniowej
Własności funkcji
kwadratowej
Funkcje trygonometryczne
Funkcja wykładnicza
Dodawanie wielomianów
(sum algebraicznych)
Ciąg arytmetyczny
Ciąg geometryczny
Ciągi
4
8
4
3
4
10
-
9
11
-
9
-
-
5
18
-
10
8
9
1, 6
8
9
7
6,7
7, 10
14
-
13, 14
-
10
-
14
-
14
22
5
-
-
-
-
11
12
13, 15,
16, 19
18
17
23
24
20
21
22
12
11
-
13
12
-
11
13
-
-
12, 16
16
15, 20
21
18
19
-
17
18
11, 12,
13, 15
16
14
19
20
21
23
-
15
20, 25
21
8
19
17
17
19
20
20
8
15
-
-
-
22
18
-
-
-
22
-
22
Prawdopodobieństwo
-
22
-
22
23
statystyka
25
25
24
23
Własności figur
Planimetria
Stereometria
Geometria analityczna
Kombinatoryka
Rachunek
Prawdopodobieństwa
Statystyka
Kąty w kole
Twierdzenie Talesa
Graniastosłup
Ostrosłup
Stożek
Stożek i walec
Równanie prostej
Równanie okręgu
Pole, obwód, długość boku
Współrzędne punktu,
symetrie
Kombinatoryka
17
23
W tym samym numerze Matematyki jest również drugi artykuł autorstwa Jana Kraszewskiego, Katarzyny
Pisklak i Joanny Wójtowicz – Popławskiej - analizujące zadania otwarte, który jest jakby kontynuacją rozważań
wspomnianego wcześniej maturzysty. Oto jego dość obszerne fragmenty:
26. (2 pkt) Wykresem funkcji kwadratowej f(x)= 2x2 + bx + c jest parabola, której wierzchołkiem
jest punkt W=(4,0). Oblicz wartości współczynników b i c.
Zadanie wydawało się typowe i rozwiązywało je spore grono maturzystów. Było ono o tyle ,,przyjazne", że wzory na
wierzchołek podane w treści zadania znajdowały się na karcie wzorów, którą każdy maturzysta miał pod ręką… Przyczyną
(czego?) były błędy rachunkowe…. Byli jednak tacy, którzy pomimo uzyskania poprawnego wzoru na postać ogólną funkcji
kwadratowej, nie potrafili poprawnie odczytać współczynników b i c.
27. (2 pkt) Rozwiąż równanie: 9x3 + 18x2 - 4x - 8 = 0.
To standardowe równanie wielomianowe, jakie pojawiały się już nieraz w arkuszach maturalnych. Standardowe są również
błędy popełniane przez uczniów podczas rozwiązywania. Mimo, iż zadanie takie występuje niemal we wszystkich poprzednich
arkuszach maturalnych i na pewno było ćwiczone na lekcjach matematyki, nadal pojawiają się próby rozwiązania poprzez
wyciągnięcie x przed nawias i przenoszenie wyrazu wolnego na druga stronę równania….
28. (2pkt) Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę
własność, że reszta z dzielenia liczby 3k2 przez 7 jest równa 5.
To zadanie obnażyło przerażającą bezradność uczniów postawionych w sytuacji, w której muszą coś wymyślić samodzielnie…
Najczęściej w ogóle nie podejmowano próby rozwiązania tego zadania albo zdający zupełnie nie wiedział, czego się od niego
oczekuje (to magiczne słowo „udowodnij”…). …Zdarzało się też, że mylono dzielenie z podzielnością… Czy jest to spowodowane
tym, że z podzielnością maturzyści mieli kontakt tak dawno, że już zapomnieli, o co w niej chodzi?
29. (2pkt) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku
1
przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem y= dla każdej liczby rzeczywistej x≠0.
x
a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości
funkcji f są większe od 0.
b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem g(x)= f(x-3).
Chyba najłatwiejsze zadanie w arkuszu wśród zadań otwartych. Nie wymagało żadnych obliczeń, jedynie uważnego
spojrzenia na wykres i poprawnego odczytania odpowiedzi, czyli umiejętności nabytych już w gimnazjum i niejednokrotnie
ćwiczonych … Zdarzyły się jednak odpowiedzi zupełnie przypadkowe. Z drugą częścią zadania, czyli odczytaniem miejsca
zerowego funkcji przesuniętej, był już zdecydowany problem. … Jak na tak proste zadanie było też sporo opuszczeń.
30. (2pkt) Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest
większa od drugiej o 4 lub 6.
Rozwiązujemy na lekcjach mnóstwo zadań z rachunku prawdopodobieństwa zaczynających się od słów: ,,doświadczenie polega
na dwukrotnym rzucie symetryczną kostką sześcienną…”. Uczniowie nie potrafili skojarzyć, że to zadanie rozwiązuje się bardzo
podobnie i mieli problem z właściwym doborem modelu. … Bardzo rzadko próbowano rozwiązać to zadanie metodą drzewa.
Raczej bez powodzenia. … Prawdopodobieństwo większe od jedynki nie zdziwi już nikogo; zdarzały się prace, w których wynik
był rzędu dziesiątek tysięcy. Trzeba jednak uczciwie przyznać, że większość rozwiązań była poprawna i kompletna.
31.(2pkt) Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC,
leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy
większa od miary kąta wypukłego SBC.
Drugie geometryczne zadanie dowodowe, było częściej podejmowane przez maturzystów … Wielu zdających nie umiało jednak
wystarczająco uzasadnić swoich wnioskowań, a ich rozwiązania miały formę „tak jest, bo tak musi być”, co niestety nie
wystarczyło… Warto też wspomnieć, że maturzyści w ogóle nie umieją przedstawić swojego, nawet poprawnego, rozumowania
w odpowiedniej, czytelnej formie. Ale to chyba nikogo już nie dziwi…
32.(4pkt) Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości
krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1:2:3.
Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.
Dość proste, a do tego wysoko punktowane zadanie ze stereometrii. Ze względu na jego typowość stosunkowo wielu osobom
udało się rozwiązać je poprawnie. Wśród najczęstszych błędów można wskazać: nieumiejętność wykorzystania danych do
stworzenia poprawnego modelu, upraszczanie sobie życia (sześcian zamiast prostopadłościanu, boki prostopadłościanu o długości 1,
2, 3), błędy rachunkowe. Zdarzały się też rozwiązania, w których długości boków prostopadłościanu zgadywano, czasem bez
weryfikacji, czy pole powierzchni prostopadłościanu o zgadniętych bokach jest takie, jak podano w zadaniu. Sporadycznie zdarzało
się zupełnie niezrozumienie rozważanych pojęć: „Długość tego prostopadłościanu wynosi 240.”
33.(5pkt) Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma
długość 2,1km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu
poświęconego na zwiedzanie, był równy godzinę i 4 minuty. Oblicz z jaką prędkością turysta
wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził
ze wzgórza.
Bardzo byłam ciekawa, czy zadanie z prędkościami pojawi się i tym razem. Jest to przecież zadanie aż za 5 punktów, czyli
1
stanowi 3 punktów koniecznych do zdania egzaminu, a wystarczy posiadać umiejętność ułożenia i rozwiązania układu równań
i rozwiązania równania kwadratowego. Zanim CKE opublikowała arkusz z zadaniami, przeczytałam komentarze maturzystów
zamieszczone w Internecie. Większość niestety nie nadaje się do zacytowania. Zadanie – klasyk pojawiające się niemal w każdym
arkuszu i na pewno ćwiczone nie raz na lekcjach, więc w czym problem? …
Otóż problemem, i to podwójnym, okazał się łączny czas wędrówki turysty do zamku i z powrotem. Wielu maturzystów nie
16
potrafiło zapisać, a ci którzy zapisali – wykorzystać, zależności 𝑡𝑤 + 𝑡𝑧 = 15. Dużym problemem było również ujednolicenie
jednostek – moje wielkie zdziwienie wywołał fakt, że maturzyści nie wiedzą, iż godzina ma 60 minut – 4 minuty zapisywali jako
0,04h. Przecież w zeszłym roku też należało jednostki zamienić. Zatem jeśli ktoś przeglądał zeszłoroczny arkusz, nie powinien
mieć z tym problemu. …
34. (4 pkt) Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 30°. Pole kwadratu DEFG, wpisanego
w ten trójkąt, jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.
Zadanie wydaje się bardzo przyjazne, szczególnie dla tych, którzy znają własności trójkąta o kątach 90, 60 i 30 stopni.
Brak podjęcia próby rozwiązania tego zadania mógł wynikać z faktu, iż było to ostatnie zadanie i być może brakowało już czasu
na jego rozwiązanie. W dużej części prac, w celu odnalezienia kolejnych etapów rozumowania i poprawnych wniosków,
sprawdzający musiał przegryźć się przez masę (czasem niepotrzebnych) obliczeń, po czym nagle z chaosu, który wydawał się
niemalże nie do ogarnięcia, wyłaniało się poprawne i kompletne rozwiązanie. … Były też rozwiązania, w których po żmudnych
obliczeniach zapomniano (?) wykonać ostatniego etapu - brakowało wyliczenia pola trójkąta.
Jeśli chodzi o zadania otwarte, okazuje się, że również były „typowe”, więc gdzie tkwił problem? Pewnie
w tym, że autorzy trochę zmienili formę poleceń, formułując pytania inaczej niż do tej pory. Zamiast „rozwiąż
układ” tym razem było „wskaż rozwiązanie”, jakby chodziło o coś innego niż po prostu o rozwiązanie układu.
Takich przykładów można podać więcej.
Już jako anegdotę opowiadamy o naszym zdziwieniu „jaki to problem mogli mieć uczniowie np.
z zadaniem 33 przecież tak typowym i pojawiającym się od lat? – chyba tylko taki, że zawsze jechał
pociąg, a tym razem szedł turysta i w dodatku miał pod górkę”.
Z 300 000 zdających maturę obowiązkową 75 000 uczniów niestety jej nie zdało.
Jak pisze autor pierwszego artykułu: „zadania z matury podstawowej z matematyki są w zasięgu
każdego kto chce ją zdać”, z 25 zadań zamkniętych trzy stanowiły odejście od reguły, a dwa odznaczały się
podwyższonym stopniem trudności.
Za rok maturę zdaje pierwszy rocznik uczniów, idący nowym programem. Czy prawdziwa okaże się teoria
spiskowa mówiąca, że w tym roku matura była trudniejsza, by za rok można było zrobić łatwiejszy egzamin
i wykazać się istotną poprawą wyników? Mamy nadzieję, że nie - też chcielibyśmy, by wyniki były lepsze, ale
dlatego, że lepiej przygotowani uczniowie poradzą sobie z wyzwaniem porównywalnym z tegorocznym.
Jeśli sami chcecie sprawdzić czy zadania naprawdę były trudne, czy to raczej uczniowie nie dorośli do
egzaminu dojrzałości odsyłamy do artykułów. Były już maturzysta Teofil, jak i profesjonaliści piszący drugi
z artykułów świetnie to analizują i opisują. Warto przeczytać je w całości.