Mówiąc definicja

TWIERDZENIA GRANICZNE
Zacznijmy od pojęć zbieżności ciągów zmiennych losowych.
Definicja. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych X1, . . . ,
Xn, . . . jest zbieżny według prawdopodobieństwa do zmiennej losowej X, jeśli
∀ε > 0
lim P (|Xn − X| > ε) = 0.
n→∞
Uwaga. W szczególności, zbieżność może też być do
stałej c, czyli do takiej zmiennej losowej X, dla której
P (X = c) = 1.
Definicja. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych X1, . . . ,
Xn, . . . jest zbieżny prawie na pewno (lub z prawdopodobieństwem 1) do zmiennej losowej X, jeśli
(
)
P lim Xn = X = 1.
n→∞
Uwaga. Zbieżność prawie na pewno pociąga zbieżność
według prawdopodobieństwa.
Definicja. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych X1, . . . ,
Xn, . . . o dystrybuantach odpowiednio F1, . . . , Fn, . . .
jest zbieżny według rozkładu do zmiennej losowej X o
dystrybuancie F, jeśli
lim Fn(x) = F (x)
n→∞
1
dla każdego punktu x ∈ R będącego punktem ciągłości
dystrybuanty F.
Definicja. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych X1, . . . ,
Xn, . . . spełnia słabe prawo wielkich liczb (SPWL), jeśli
zmienne te posiadają wartości oczekiwane oraz
X1 + . . . + Xn − EX1 − . . . − EXn
→0
n
według prawdopodobieństwa.
Definicja. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych X1, . . . ,
Xn, . . . spełnia mocne prawo wielkich liczb (MPWL),
jeśli zmienne te posiadają wartości oczekiwane oraz
X1 + . . . + Xn − EX1 − . . . − EXn
→0
n
prawie na pewno.
Uwaga. Jeśli ciąg zmiennych losowych spełnia MPWL,
to spełnia też SPWL.
Uwaga. Jeśli wartości oczekiwane wszystkich zmiennych losowych X1, . . . , Xn, . . . są równe i wynoszą µ,
to ten ciąg spełnia SPWL(MPWL), gdy
X1 + . . . + Xn
→µ
n
według prawdopodobieństwa (prawie na pewno).
2
Twierdzenie. Jeśli X1, . . . , Xn, . . . jest ciągiem parami niezależnych zmiennych losowych o jednakowym
rozkładzie z wartością oczekiwaną µ, to spełnia on
MPWL (a zatem i SPWL).
Jeśli X1, . . . , Xn, . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie z wartością
oczekiwaną EX1 = µ oraz wariancją VarX1 = σ 2, to
spełnia on centralne twierdzenie graniczne (CTG),
czyli dla niego zachodzi:
X1 + · · · + Xn − nµ
√
→X
nσ
według rozkładu, gdzie X jest zmienną losową o rozkładzie normalnym standardowym N (0, 1).
Szczególnym przypadkiem CTG jest twierdzenie de
Moivre’a-Laplace’a: jeśli X1, . . . , Xn, . . . jest ciągiem
niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie zero-jedynkowym z parametrem p = P (X1 = 1),
to
X1 + · · · + Xn − np
√
→X
np(1 − p)
według rozkładu, gdzie X jest zmienną losową o rozkładzie normalnym standardowym N (0, 1).
3