Rachunek prawdopodobieństwa 4. Rodzaje zbieżności zmiennych

Rachunek prawdopodobieństwa
4. Rodzaje zbieżności zmiennych losowych
Ćw. 4.1 Niech {Xn }n∈N będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, takich, że
P (Xn = 1) = 1/n2 ,
P (Xn = 0) = 1 − 1/n2 .
Zbadaj zbieżność podanego ciągu do 0 według prawdopodobieństwa, prawie wszędzie i w
przestrzeni L1 .
Ćw. 4.2 Dla każdego n ∈ N rozkład zmiennej Xn zadany jest następująco:
P (Xn = −n − 4) =
1
,
n+4
P (Xn = n + 4) =
3
,
n+4
P (Xn = −1) = 1 −
4
.
n+4
Wykaż, że ciąg {Xn }n∈N jest zbieżny według prawdopodobieństwa, a
E(n→∞
lim Xn ) 6= n→∞
lim EXn .
Ćw. 4.3 Niech {Xn }n∈N będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie E(1).
Niech
Yn = min{X1 , . . . , Xn }.
Pokaż, że ciąg {Yn }n∈N jest zbieżny do 0 według prawdopodobieństwa i prawie wszędzie.
Czy ciąg ten jest także zbieżny do 0 w przestrzeniach L1 i L2 ?
Ćw. 4.4 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [0, 1]. Definiujemy
√
Yn = n1I[0,1/n] (X 4 ).
Zbadaj zbieżność ciągu {Yn }n∈N według prawdopodobieństwa, prawie wszędzie i w L1 .