Rachunek prawdopodobieństwa II

SYLABUS - Karta programu przedmiotu
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI
Rodzaj studiów: studia stacjonarne pierwszego stopnia
Kierunek: MATEMATYKA
Rok akad. 2010/2011
Przedmiot podstawowy
Przedmiot: RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA II
Rok studiów:
Semestr:
III
5
ECTS: 7
Rodzaj zajęć:
W
Ć
S
L
Liczba godzin w semestrze:
45
45
-
-
Przedmioty wprowadzające / wymagania wstępne
Analiza matematyczna I, II , III, Rachunek prawdopodobieństwa I.
Założenia i cele przedmiotu
Celem zajęć jest zapoznanie studentów z podstawowymi zagadnieniami z rachunku
prawdopodobieństwa. W szczególności studenci powinni opanować umiejętność wyznaczania
rozkładów funkcji zmiennych losowych, praktycznego zastosowania centralnych twierdzeń
granicznych oraz opanować pojęcie warunkowej wartości oczekiwanej. Przedmiot stanowi
wprowadzenie do jego kontynuacji: tzn. do Podstaw statystyki i Metod stochastycznych
Metody dydaktyczne
Wykład tradycyjny, wspomagany prezentacją multimedialną.
Ćwiczenia tradycyjne.
Forma i warunki zaliczenia przedmiotu:
Zaliczenie ćwiczeń: Trzy sprawdziany pisemne, dodatkowo premiowana aktywność na zajęciach.
Aby uzyskać zaliczenie trzeba uzyskać co najmniej 50% wszystkich punktów.
Egzamin składający się z części pisemnej, obejmującej zadania z IV i V semestru, oraz części
ustnej, z teorii wyłożonej w IV i V semestrze. Osoby, które w obydwu semestrach otrzymają na
zaliczenie co najmniej ocenę B, są zwolnione z części pisemnej egzaminu.
TREŚCI PROGRAMOWE
Wykłady:
1. Prawa wielkich liczb. Zbieżności zmiennych losowych.
Słabe prawo wielkich liczb, nierówność Kołmogorowa, mocne prawo wielkich liczb, zbieżność
stochastyczna, zbieżność prawie na pewno, zbieżność wg p-tego momentu, zależności między
zbieżnościami.
2. Słaba zbieżność.
Warunki równoważne słabej zbieżności, zbieżność ciągu dystrybuant, twierdzenia Helly'ego.
3. Twierdzenie Prochorowa.
Rodzina ciasna, rodzina względnie zwarta, tw. Prochorowa.
4. Funkcje charakterystyczne.
Definicja, własności, funkcje tworzące, tw. o jednoznaczności, tw. o wyznaczaniu momentów,
zależność dystrybuanty od funkcji charakterystycznej, funkcje charakterystyczne poznanych
rozkładów, tw. Levy'ego.
5. Centralne twierdzenia graniczne.
Warunki, przy których spełniony jest warunek Lindeberga, tw. Lindeberga-Levy'ego, tw. Moivre'aLaplace'a, dowód CTG.
6. Warunkowa wartość oczekiwana.
Warunkowa przestrzeń probabilistyczna, warunkowa wartość oczekiwana względem rozbicia
przeliczalnego, względem sigma-algebry, własności warunkowej wartości oczekiwanej, rozkłady
warunkowe, uogólniony wzór Bayesa.
Ćwiczenia audytoryjne
1. Funkcje zmiennych losowych, wyznaczanie rozkładów.
2. Wektory losowe, n-wymiarowy rozkład normalny, wyznaczanie rozkładów brzegowych,
badanie niezależności zmiennych losowych, funkcje wektorów losowych, wyznaczanie
splotów.
3. Obliczanie funkcji charakterystycznych zmiennych losowych, wyznaczanie rozkładu, gdy
zadana jest funkcja charakterystyczna.
4. Zastosowania nierówności: Markowa, Czebyszewa, Schwartza.
5. Zastosowania twierdzeń: Poissona, Moivre’a-Laplace’a, Lindeberga-Levy'ego.
6. Wyznaczanie warunkowej wartości oczekiwanej, badanie jej własności.
Wykaz literatury podstawowej:
[1] 1. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script, 2001.
[2] M. Wiciak, Elementy probabilistyki w zadaniach, Wydawnictwo PK, 2008.
Wykaz literatury uzupełniającej:
[1] P. Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, Warszawa 1987.
[2] W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, tom I, II, PWN, Warszawa 1977.
[3] J. Stojanow, Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa, PWN Warszawa 1982
Osoba(y) odpowiedzialna(e) za przedmiot:
dr Margareta WICIAK
Zatwierdził:
dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK