Geometria płaska 1. (6pkt) W prostokącie połączono środki

Geometria płaska
1.
(6pkt) W prostokącie połączono środki sąsiednich boków. Powstały w ten sposób
2
romb ma obwód równy 40 cm i pole równe 96 cm . Oblicz długości boków
prostokąta.
2.
(4pkt) Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 14 cm i 6 cm, a jego
obwód wynosi 36 cm. Oblicz odległośd punktu przecięcia jego przekątnych od
dłuższej podstawy.
3.
(6pkt)W trójkąt równoramienny o bokach długości 15, 15, 18 wpisano kwadrat o
boku długości x. Oblicz pole i obwód tego kwadratu.
4.
(4pkt)W
trójkącie
prostokątnym
przeciwprostokątnej wynosi
stosunek
sumy
przyprostokątnych
do
. Oblicz miary kątów tego trójkąta.
12. 4p)Dwa okręgi, każdy o promieniu 8, są styczne zewnętrznie. Ze środka jednego z
nich poprowadzono styczne do drugiego okręgu. Oblicz pole figury ograniczonej
stycznymi i okręgiem.
13. 6p)Na okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej
podstawie AB i krótszej CD. Punkt styczności S dzieli ramię BC tak, że
14.
15.
16.
5.
(4pkt)W trójkącie równobocznym ABC o boku długości a i wysokości h obrano
punkt P, z którego poprowadzono odcinki prostopadłe do boków tego trójkąta.
Wykaż, że suma długości tych odcinków jest równa długości h.
6.
(6pkt) W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej 10 i przyprostokątnej 8
poprowadzono wysokośd z wierzchołka kąta prostego. Oblicz stosunek odcinków,
na które ta wysokośd podzieliła przeciwprostokątną.
17.
7.
(3pkt) Przekątne rombu mają długości d1 i d2. Oblicz długośd krótszego boku
prostokąta wpisanego w ten romb, wiedząc, że stosunek długości boków
prostokąta jest równy 3.
18.
8.
(3p)Dany jest trójkąt o bokach długości 1, 3/2, 2. Oblicz cosinus i sinus kąta
leżącego naprzeciw najkrótszego boku tego trójkąta.
19.
9.
4p)Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola rombu wynosi
.
Wyznacz miarę kąta ostrego rombu.
10. (5p)Wysokośd trapezu równoramiennego o podstawach a, b, a>b, podzielono w
stosunku 1:2, licząc od dłuższej podstawy, i przez punkt podziału poprowadzono
prostą równoległą do obu podstaw. Wyznacz długośd odcinka, którego koocami
są punkty przecięcia narysowanej prostej z ramionami trapezu.
o
o
11. (7p)Trójkąt prostokątny ABC, w którym |BCA|=90 i |CAB|=30 , jest opisany
na okręgu o promieniu . Oblicz odległośd wierzchołka C trójkąta od punktu
styczności tego okręgu z przeciwprostokątną. Wykonaj odpowiedni rysunek.
20.
21.
22.
23.
.
a)Wyznacz
długośd
ramienia
tego
trapezu.
b)Oblicz cosinus |CBD|.
o
(8p) W trapezie opisanym na okręgu Katy przy dłuższej podstawie mają miary 60
o
i 30 , a długośd wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź rysunek i oznacz
jego elementy. Oblicz pole trapezu oraz długości jego podstaw.
(6p)Promieo okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny jest równy r, a jeden z jego
kątów ostrych ma miarę α. Wyznacz pole tego trójkąta.
(5p)W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku B jest dwa razy większy od kąta przy
wierzchołku A, a kąt przy wierzchołku C jest trzy razy większy od kąta przy
wierzchołku
A.
a)Wyznacz obwód trójkąta, jeśli wiadomo, że najdłuższy bok ma długośd równą
12
cm.
b) Wyznacz długośd promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
o
W trójkącie ABC mamy: |AB| = 6, |AC| = 12, |<BAC| = 120 . Oblicz:
a) sin|<ABC|,
b) obwód trójkąta ABC.
Wykaż, że pole prostokąta, którego przekątna tworzy z bokiem tego prostokąta
o
kąt o mierze 30 , jest równe polu trójkąta równobocznego zbudowanego na
przekątnej tego prostokąta.
(4p) Dwie proste równoległe a i b przecinają ramiona kąta MON odpowiednio w
punktach A, B, A’, B’. Wyznacz |OB|, wiedząc, że |OA’| + |OB’| = 15, |OA| = 3
oraz |OA’| : |OA| = 2.
2
(4p) Suma pól dwóch figur podobnych wynosi 200 cm . Oblicz pole każdej z tych
figur, jeżeli stosunek długości odpowiednich boków wynosi 1:2.
(4p) Obwód trójkąta, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny, jest
równy 24 cm. Pole prostokąta zbudowanego z najdłuższego i najkrótszego boku
2
trójkąta jest równe 60 cm . Oblicz długości boków trójkąta.
(5p) Oblicz pole i obwód sześciokąta foremnego, wiedząc, że różnica miedzy
dłuższą i krótszą przekątną wynosi 4 cm.
(5p) Pole pierścienia jest równe polu jego koła wewnętrznego. Znajdź długośd
promienia koła wewnętrznego, jeżeli szerokośd pierścienia równa się 3 cm.