Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1.
Wioletta Karpińska
Semestr letni 2015/2016
0
Bibliografia
[1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/∼ wbanasz/AM3/)
[2] Birkholc A., Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.
[3] Filipczak F. M., Teoria miary i całki (skrypt).
[4] Kołodziej W., Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 1980.
[5] Kołodziej W., Wybrane rozdziały analizy matematycznej. PWN, Warszawa 1982.
[6] Musielak J., Wstęp do analizy funkcjonalnej. PWN, Warszawa 1976.
[7] Prus S., Stachura A., Analiza funkcjonalna w zadaniach.. PWN, Warszawa 2007.
[8] Rusinek J., Zadania z analizy funkcjonalnej z rozwiązaniami. Wyd. Uniwersytetu Kardynała Stefana
Wyszyńskiego, 2006.
3
1
Przypomnienie wiadomości o przestrzeniach liniowych
W dalszej części zakładać będziemy, że X jest dowolnym niepustym zbiorem (nazwiemy go przestrzenią), a
K
niech będzie niepustym zbiorem liczb rzeczywistych lub zespolonych.
1.1
Przestrzenie liniowe
Definicja 1.1.
Załóżmy, że są określone dwa działania: dodawanie + : X × X → X i mnożenie przez liczbę · : K × X → X,
spełniające następujące warunki (przy dowolnych x, y, z ∈ X, α, β ∈ K):
1. x + y = y + x (przemienność dodawania),
2. x + (y + z) = (x + y) + z (łączność dodawania),
3. istnieje takie element zerowy θ ∈ X, że dla każdego x ∈ X, x + θ = x,
4. jeżeli θ spełnia poprzedni warunek, to dlakażdego x ∈ X istnieje element przeciwny −x ∈ X taki, że
x + (−x) = θ,
5. α(x + y) = αx + αy (rozdzielność mnożenia względem dodawania elementów),
6. (α + β)x = αx + βx (rozdzielność mnożeniz względem dodawania liczb),
7. α(βx) = (αβ)x (łączność mnożenia),
8. 1 · x = x.
Wtedy zbiór X z działaniami + i · nazywamy przestrzenia liniową (wektorową) rzeczywistą lub zespoloną (w
zależności od tego, czy K jest zbiorem liczb rzeczywistych, czy zespolonych) i oznaczamy symbolem X, +, ·.
Przykład 1. Przykłady przestrzeni liniowych (wektorowych):
• X = Kn - zbiór wektorów (punktów) n-wymiarowych, tzn. elementów x = (t1 , t2 , t3 , . . . , tn ),
gdzie t1 , t2 , . . . , tn ∈ K, z działaniami:
x + y := (t1 + s1 , t2 + s2 , . . . , tn + sn ), αx := (αt1 , αt2 , . . . , αtn )
dla x = (t1 , t2 , t3 , . . . , tn ), y = (s1 , s2 , . . . , sn ) ∈ Kn , α ∈ K.
Elementem zerowym jest θ := (0, 0, . . . , 0), a elementem przeciwnym do x jest −x := (−t1 , −t2 , . . . , −tn ).
• X = K∞ - zbiór ciągów x = (tk )∞
k=1 , gdzie tk ∈ K, z działaniami:
∞
x + y := (tk + sk )∞
k=1 , αx := (αtk )k=1
∞
dla x = (tk )∞
k=1 , y = (sk )k=1 , α ∈ K.
∞
Elementem zerowym jest θ := (0)∞
k+1 , a elementem przeciwnym do x jest −x := (−tk )k=1 .
4
• X = KΩ - zbiór funkcji określonych w dowolnym zbiorze niepustym Ω o wartościach z K, tzn: f : Ω → K,
przy czym, jeśli f, g ∈ KΩ , α ∈ K, to określamy działania:
(f + g)(t) := f (t) + g(t), (αf )(t) := αf (t) dla t ∈ Ω.
Elementem zerowym jest funkcja tożsamościowo równa zero, a elementem przeciwnym do f jest −f .
• X = M(m × n, K) - zbiór macierzy o m wierszach i n kolumnach o wyrazach rzeczywistych lub zespolonych, z naturalnymi działaniami na macierzach, tzn. dla α ∈ K oraz dla x = [αij ]i=1..m,j=1..n i
y = [βij ]i=1..m,j=1..n , gdzie

[αij ]i=1..m,j=1..n

 α11

:= 
 ...

. . . α1n 

... ... 



i [βij ]i=1..m,j=1..n

 β11

:= 
 ...

αm1 . . . αmn
. . . β1n 

... ... 


βm1 . . . βmn
określamy

x + y := [αij ]i=1..m,j=1..n + [βij ]i=1..m,j=1..n

 α11 + β11

=
 ...

. . . α1n + β1n
... ...





αm1 + βm1 . . . αmn + βmn

oraz αx := α[αij ]i=1..m,j=1..m

 αα11

=
 ...

. . . αα1n 

.
... ...


ααm1 . . . ααmn
Elementem zerowym θ jest macierz, której elementami sa same zera, a elementem przeciwnym do x
jest −x := [−αij ]i=1..m,j=1..n.
Definicja 1.2.
Jeśli X, +, · jest przestrzenią liniową (wektorową), to niepusty podzbiór X0 ⊂ X nazywamy jej podprzestrzenią liniową, gdy X0 , +, · jest przestrzenią liniową.
Z definicji tej wynika natychmiast twierdzenie:
Twierdzenie 1.1.
Niech X, +, · będzie przestrzenią linową (wektorową). Niepusty podzbiór X0 ⊂ X jest jej podprzestrzenią
liniową wtedy i tylko wtedy, gdy dla x, y ∈ X0 i α ∈ K mamy x + y ∈ X0 i αx ∈ X0 .
Uwaga 1.
Warunek: dla x, y ∈ X0 i α ∈ K mamy x + y ∈ X0 i αx ∈ X0 można zastąpić następującym:
dla x, y ∈ X0 i α, β ∈ K mamy αx + βy ∈ X0 .
Przykład 2. Przykłady podprzestrzeni liniowych (wektorowych) ciągowych:
5
• X = K∞ , X0 = c00 - przestrzeń ciągów skończonych, tzn. x ∈ c00 , jeśli x = (tk )∞
k=1 , gdzie tk ∈ K, przy
czym tylko skończona ilość tk jest niezerowa.
• X = K∞ , X0 = m - przestrzeń ciągów ograniczonych, tzn. x ∈ m, jeśli x = (tk )∞
k=1 , gdzie tk ∈ K, przy
czym supk=1..∞ |tk | < ∞.
• X = K∞ , X0 = c - przestrzeń ciągów zbieżnych, tzn. x ∈ c, jeśli x = (tk )∞
k=1 , gdzie tk ∈ K, przy czym
limk→∞ tk = t0 dla pewnego t0 ∈ K.
• X = K∞ , X0 = c0 - przestrzeń ciągów zbieżnych do zera, tzn. x ∈ c0 , jeśli x = (tk )∞
k=1 , gdzie tk ∈ K, przy
czym limk→∞ tk = 0.
• X = K∞ , X0 = l - przestrzeń ciągów sumowalnych, tzn. x ∈ l, jeśli x = (tk )∞
k=1 , gdzie tk ∈ K, przy czym
∞
k=1 |tk |
< ∞.
Łatwo zauważyć następującą zależność:
c00 ⊂ l ⊂ c0 ⊂ c ⊂ m ⊂ K∞ .
Przykład 3. Przykłady podprzestrzeni liniowych (wektorowych) funkcyjnych:
• X = KΩ , gdzie Ω = [a, b] ⊂ R, X0 = B([a, b], K) - przestrzeń funkcji ograniczonych, tzn. x ∈ B([a, b], K),
jeśli supt∈[a,b] |x(t)| < ∞.
• X = KΩ , gdzie Ω = [a, b] ⊂ R, X0 = C([a, b], K) - przestrzeń funkcji ciągłych na [a, b].
Łatwo zauważyć następującą zależność:
C([a, b], K) ⊂ B([a, b], K) ⊂ K[a,b] .
Definicja 1.3.
Elementy x1 , x2 , . . . , xn przestrzeni wektorowej X, +, · nazywamy liniowo zależnymi, jeśli istnieją takie
liczby α1 , α2 , . . . , αn ∈ K nie wszystkie równe zero, że zachodzi równość
α1 x1 + α2 x2 + · · · αn xn = θ.
(1)
Jeśli przeciwnie, z (1) wynika, że α1 = α2 = . . . = αn = 0, to elementy x1 , x2 , . . . xn nazywamy liniowo
niezależnymi.
Definicja 1.4.
Największą liczbę całkowitą nieujemną n o tej własności, że istnieje n elementów liniowo niezależnych w
X, +, · nazywamy wymiarem przestrzeni X, +, · i oznaczamy symbolem dimX.
Jeśli taka liczba n istnieje, to przestrzeń nazywamy skończenie wymiarową, a jeśli nie istnieje, to przestrzeń
6
nazywamy nieskończenie wymiarową i piszemy dimX = ∞.
Jeśli dimX = n, to każdy zbiór n liniowo niezależnych elementów przestrzeni X nazywamy bazą przestrzeni
liniowej X, +, ·.
Twierdzenie 1.2.
Jeśli niepusty zbiór B ⊂ X jest bazą przestrzeni X, +, ·, to każdy wektor przestrzeni daje się w sposób
jednoznaczny przedstawić w postaci kombinacji liniowej elementów zbioru B.
Definicja 1.5.
Jeśli bazę w przestrzeni skończenie wymiarowej tworzą elementy e1 , e2 , . . . , en , to na podstawie poprzedniego
twierdzenia każdy wektor x ∈ X można zapisać jako:
x = t1 e1 + t2 e2 + · · · + tn en .
Układ (e1 , e2 , . . . , en ) nazywamy bazą algebraiczną tej przestrzeni, a liczby t1 , t2 , . . . , tn nazywamy współrzędnymi elementu x względem tej bazy.
Przykład 4.
Dla każdego k = 1, . . . , n niech ek ∈ Kn oznacza wektor jednostkowy, tzn.
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0), . . . , en = (0, 0, 0, . . . 0, 1).
Wektory te są oczywiście liniowo niezależne i tworzą bazę algebraiczną przestrzeni Kn . Bazę tę nazywamy
bazą kanoniczną.
Wtedy każdy wektor x = (t1 , t2 , . . . , tn ) ∈ Kn można zapisać jako
n
x = t1 e1 + t2 e2 + · · · + tn en =
tk ek
k=1
w sposób jednoznaczny, przy czym liczby t1 , t2 , . . . , tn są współrzędnymi elementu x względem bazy kanonicznej.
Przykład 5.
Rozważmy przestrzeń liniową X, +, · z X = K∞ , którą tworzą ciągi nieskończone x = (tk )∞
k=1 liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Taka przestrzeń liniowa jest nieskończenie wymiarowa, bo elementy
e1 = (1, 0, 0, . . . ), e2 = (0, 1, 0, . . . ), . . . , e3 = (0, 0, 1, . . . )., . . .
są liniowo niezależne, tzn. układ e1 , e2 , . . . , em jest liniowo niezależny dla każdego naturalnego m.
∞
można zapisać jako
Wtedy każdy wektor (ciąg) x = (tk )∞
k=1 ∈ K
x = t1 e1 + t2 e2 + · · · =
∞
k=1
w sposób jednoznaczny.
7
tk ek
Definicja 1.6.
Niech X1 , X2 będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni liniowej X, +, ·. Jeżeli każdy element x ∈ X
daje się jednoznacznie pzredstawić w postaci
x = x1 + x2 , gdzie x1 ∈ X1 , x2 ∈ X2 ,
(2)
to mówimy, że X jest sumą prostą podprzestrzeni X1 i X2 i zapisujemy X = X1 ⊕ X2 .
Twierdzenie 1.3.
Jeżeli X = X1 ⊕ X2 , to podprzestrzenie X1 i X2 mają wspólny jedynie element zerowy. Na odwrót, jeśli
każdy element x ma rozkład (2) i podprzestrzenie X1 i X2 nie mają elementów wspólnych, prócz zerowego,
to X = X1 ⊕ X2 .
Dowód.
Dla dowodu pierwszej części przypuśćmy, że istnieje element x0 = θ należący do obu podprzestrzeni X1 i X2 .
Wtedy x o przedstawieniu (2) dałby się również zapisać w postaci
x = (x1 − x0 ) + (x0 + x2 ) i x1 − x0 ∈ X1 , x0 + x2 ∈ X2 , x1 − x0 = x1 , x0 + x2 = x2 ,
co jest wbrew założonej jednoznaczności takiego przedstawienia.
Dla dowodu drugiej części wystarczy sprawdzić jednoznaczność przedstawienia (2). Niech więc
x = x1 + x2 = x1 + x2 , gdzie x1 , x1 ∈ X1 , x2 , x2 ∈ X2 .
Wtedy x1 − x1 = x2 − x2 , ale x1 − x1 ∈ X1 i x2 − x2 ∈ X2 , więc x1 − x1 = x2 − x2 = θ (bo jedynym wspólnym
elementem jest zero). Stąd x1 = x1 i x2 = x2 .
W dalszej części wykładu dla uproszczenia zapisu będziemy często pisać, że X jest przestrzenią liniową,
zamiast X, +, ·.
1.2
Operatory liniowe
Definicja 1.7.
Niech X, Y będą przestrzeniami wektorowymi (liniowymi) nad ciałem K liczb rzeczywistych lub zespolonych.
Odwzorowanie T : X → Y nazywamy operatorem liniowym (odwzorowaniem liniowym), jeśli
T (x1 + x2 ) = T (x1 ) + T (x2 ),
T (αx) = αT (x)
dla dowolnych x1 , x2 ∈ X i α ∈ K.
Jeżeli Y = K, to operator liniowy T : X → K nazywamy funkcjonałem liniowym lub formą liniową.
8
Przy operatorach liniowych będziemy często pisali T x zamiast T (x).
Uwaga 2.
Warunki addytywności i jednorodności w definicji operatora liniowego można zastąpić jednym:
T (αx1 + βx2 ) = αT (x1 ) + βT (x2 )
dla dowolnych x1 , x2 ∈ X i α, β ∈ K.
Podstawowe operatory analizy matematycznej, jak operator obliczania granicy ciągu, sumowania szeregu,
różniczkowania i całkowania funkcji, to przykłady operatorów liniowych lub funkcjonałów liniowych.
Przykład 6. Przykłady operatorów liniowych.
• Niech X = c będzie przestrzenią ciągów zbieżnych o wyrazach z ciała K, Y = K. Niech dalej T : c → K
będzie określone następująco:
T (x) = lim tk dla x = (tk )∞
k=1 ∈ c.
k→∞
Operator T jest funkcjonałem liniowym, co wynika z własności granicy ciągu.
• Niech X = l będzie przestrzenią ciągów sumowalnych o wyrazach z ciała K, Y = K. Niech dalej T : l → K
będzie określone następująco:
T (x) =
∞
tk dla x = (tk )∞
k=1 ∈ l.
k=1
Operator T jest funkcjonałem liniowym, co wynika z własności sum nieskończonych.
Istotnie:
T (x1 + x2 ) =
∞
(tk
k=1
oraz
T (αx) =
+
∞
tk )
=
∞
tk
+
k=1
αtk = α
k=1
∞
∞
tk = T x1 + tx2
k=1
tk = αT x,
k=1
∞
∞
dla x = (tk )∞
k=1 , x1 = (tk )k=1 , x2 = (tk )k=1 , α ∈ K.
• Niech X będzie przestrzenią funkcji x : [a, b] ⊂ R → K różniczkowalnych w [a, b], a Y = K[a,b] . Wtedy
T x = x , gdzie x jest pochodną funkcji x jest operatorem liniowym z X w Y (na podstawie własności
różniczkowania).
• Niech X będzie przestrzenią funkcji x : [a, b] ⊂ R → R całkowalnych na [a, b], a Y = R. Wtedy T x =
[a,b]
x(t) dt jest operatorem liniowym z X w Y na podstawie własności całki.
9
Twierdzenie 1.4.
Każdy operator liniowy T : Kn → Km , gdzie K jest ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, jest postaci
T x = y, gdzie
y1
=
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn ,
y2
=
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn ,
... ...
........................... ,
ym
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn ,
=
(3)
przy czym x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2, . . . , ym ), aik ∈ K. Na odwrót, każdy operator T : Kn → Km postaci
(3) jest liniowy.
Dowód.
Niech e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1) będzie bazą w Kn oraz niech e1 =
(1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , em = (0, 0, . . . , 1) będzie bazą w Km . Ponieważ T ek ∈ Km dla k =
1, 2, . . . , n, więc istnieją takie aik ∈ K, że T ek =
m
i=1
aik ei (bo daje się przedstawić jako kombinacja liniowa
elementów bazy Km .
Weźmy x = (x1 , x2 , . . . , xn ) i przypuśćmy, że T x = y = (y1 , y2 , . . . , ym ). Wtedy
m
i=1
Stąd yi =
yi ei
n
= y = Tx = T
k=1 aik xk
n
k=1
xk ek =
n
xk T ek =
k=1
n
xk
k=1
m
i=1
aik ei
=
m
n
i=1
k=1
aik xk ei .
dla i = 1, 2, . . . , m, czyli zachodzi (3).
Na odwrót, gdy T x = y, gdzie x i y są związane równościami (3), to jest widoczne, że T jest operatorem
liniowym.
Wniosek 1.1.
Każdy funkcjonał liniowy T nad przestrzenią Kn , gdzie K jest ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych,
jest postaci
T x = a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn ,
gdzie x = (x1 , x2 , . . . , xn ), ak ∈ K dla k = 1, 2, . . . , n. Na odwrót, każdy funkcjonał wymienionej postaci jest
liniowy.
Twierdzenie 1.5.
Jeżeli T : X → Y , gdzie X, Y są przestrzeniami liniowymi, to T θX = θY oraz obraz T X przestrzeni X w
przestrzeni Y jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Y .
Dowód.
Mamy T θX = T (θx + θX ) = T θX + T θX = 2T θX , więc T θX = θY .
Niech teraz y, y1, y2 ∈ T X, a α ∈ K. Wtedy istnieją takie x, x1 , x2 ∈ X, że y = T x, y1 = T x1 , y2 = T x2 .
Zatem y1 + y2 = T x1 + T x2 = T (x1 + x2 ) ∈ T X i αy = αT x = T (αx) ∈ T X, co dowodzi, że T X jest
podprzestrzenią liniową przestrzeni Y .
10
Twierdzenie 1.6.
Jeżeli T : X → Y , gdzie X, Y są przestrzeniami liniowymi, to T jest różnowartościowy wtedy i tylko wtedy,
gdy T x = θ implikuje x = θ (są to oczywiście elementy zerowe odpowiednich przestrzeni).
Dowód.
Przypomnijmy, że z definicji różnowartościowości mamy dla dowolnych x1 , x2 ∈ X
T x1 = T x2 implikuje x1 = x2 ,
czyli
T x1 − T x2 = θ implikuje x1 − x2 = θ,
T (x1 − x2 ) = θ implikuje x1 − x2 = θ.
Jest to równoważne warunkowi twierdzenia.
Przypomnijmy teraz, że jądrem odwzorowania liniowego T : X → Y nazywamy przeciwobraz zera i
oznaczamy symbolem kerT , czyli
kerT = {x ∈ X : T x = θ} .
W świetle ostatniego twierdzenia można teraz powiedzieć, że operator T jest różnowartościowy, gdy jego
jądro zawiera tylko wektor zerowy.
Jeśli więc operator T ma jądro z elementem zerowym tylko i jest ponadto odwzorwaniem surjektywnym, to
jest odwracalny. Można wykazać, że jeśli T jest liniowy, to operator odwrotny do niego T −1 też jest liniowy.
W zbiorze wszystkich operatorów liniowych T : X → Y można wprowadzić działania algebraiczne. Sumę
T + S dwóch oepratorów T i S określamy równością
(T + S)x := T x + Sx,
a iloczyn αT operatora T przez liczbę α - równością:
(αT )x := αT x.
W wyniku tych działań otrzymujemy również operatory liniowe. Ponadto nietrudno sprawdzić, że spełnione
są wszystkie aksjomaty przestrzeni liniowej, czyli rozważany zbiór jest przestrzenią wektorową, w której
elementem zerowym jest operator tożsamościowo równy zero.
Przestrzeń liniową operatorów liniowych T : X → Y oznaczamy symbolem L(X, Y ).
11