Seria świąteczna z okazji Święta Niepodległości Poniżsa seria

Seria świąteczna z okazji Święta Niepodległości
Poniżsa seria zadań jest całkowicie nieobowiązkowa. Zauważyłem,
że część osób ma problem intuicją matematyczną dotyczącą liniowej niezależności. dlatego dałem zadanie pomocnicze polegające na
pokazaniu że kilka różnych definicji jest równoważnych (niektóre definicje są geometryczne - to powinno pomóc Państwu wyobrazić sobie co znaczy niezależność). Polecam przemyśleć to zadanie bo być
może coś podobnego zaproponuję jako zadanie na kolokwium (albo
część zadania).
Tomasz Odrzygóźdź
Zadanie pomocnicze:
P1. Dana jest przesztrzeń wektorowa V nad ciałem K i zbiór wektorów z tej
przestrzeni X := {v1 , v2 , ..., vn }. Udowodnić równoważność następujących
warunków:
• (a) Jeśli dla pewnych skalarów γ1 , γ2 , ...., γn ∈ K zachodzi γ1 v1 +
γ2 v2 + .... + γn vn = 0 to wynika z tego, że γ1 = γ2 = .... = γn = 0
• (b) Jeśli którykolwiek ze skalarów γ1 , γ2 , ...., γn ∈ K jest różny od zera
to γ1 v1 + γ2 v2 + .... + γn vn 6= 0
• (c) Dla każdego i = 1, 2, ..., n zachodzi vi ∈
/ lin{v1 , v2 , ..., vi−1 , vi+1 , ...vn }
• (d) Dla każdego i = 1, 2, ..., n zachodzi lin{v1 , v2 , ..., vi }∩lin{vi+1 , ..., vn } =
{0}
• (e) Dla każdego i = 1, 2, ..., n zachodzi lin{v1 , v2 , ..., vi } =
6 lin{v1 , v2 , ..., vi+1 }
• (f) Żaden z wektorów ze zbioru X nie jest kombinacją liniową pozostałych.
Zadania specjalne:
Poprawne rozwiązanie każdego z tych zadań będzie nagrodzone czekoladą (rodzaj czekolady ustalę indywidualnie z osobami które poprawnie rozwiążą) oraz
6 punktami (z puli 20 za ćwiczenia). Punkty oraz czekoladę otrzyma osoba która
jako pierwsza odda mi poprawne rozwiązanie (oddawać można do końca semestru). W przypadku gdyby kilka osób oddało w tym samym czasie to nagroda
będzie podzielona pomiędzy autorów poprawnych rozwiązań. Zadania są trudne,
ale elementarne (rozwiązanie ich nie wymaga żadnej wiedzy której nie mieliby
Państwo podanej na wykładzie lub w komentarzu przy zadaniu).
S.1 Zadanie składa się z dwóch części:
• Niech K będzie ciałem zawierającym C. Wówczas łatwo zauważyć, że
K jest przestrzenią liniową nad C. Pokazać, że jeśli wymiar K nad C
jest skończony to K = C.
• Niech K będzie ciałem zawierającym R. Wówczas łatwo zauważyć, że
K jest przestrzenią liniową nad R. Pokazać, że jeśli wymiar K nad R
jest skończony to wynosi 1 lub 2.
S.2 Część łatwa: pokazać, że R jest przestrzenią liniową nad ciałem Q oraz
że wymiar R nad Q wynosi nieskończoność (trzeba pokazać po prostu że
ten wymiar nie jest skończony). Skoro wymiar wynosi nieskończoność to
znaczy że istnieje nieskończony ciąg elementów r1 , r2 , r3 , .... ∈ R liniowo
niezależnych nad Q (nieskończony ciąg wektorów jest liniowo niezależny
gdy żaden z wektorów tego ciągu nie jest kombinacją liniową skończonej
1
liczby pozostałych wektorów z tego ciągu). Częśc trudna: podać przykład
nieskończonego ciągu elementów R liniowo niezależnych nad Q i oczywiście
udowodnić poprawność przykładu.
Zadanie szczególnie specjalne
Poprawne rozwiązanie tego zadania będzie nagrodzone wstawieniem od razu 20
punktów za ćwiczenia i bardzo dużą czekoladą. Jest to bardzo trudne zadanie.
EX.1 Macierzą Hadamarda H rzędu n nazywamy kwadratową macierz n × n
której każda komórka zawiera liczbę 1 lub -1, oraz taką, że HH T = nI
gdzie I oznacza macierz identyczności. Udowodnić, że dla liczb n postaci
n = 4k, k ∈ N istnieje macierz Hadamarda rzędu n.
2