Formy kwadratowe
Transkrypt
Formy kwadratowe
Formy kwadratowe Definicja 1. Funkcję F : R n −→ R określoną wzorem (∗) F (x1 , x2 , . . . , xn ) = n X aij xi xj , i,j=1 gdzie nie wszystkie współczynniki aij ∈ R (i, j = 1, 2, . . . , n) są równe zeru nazywamy formą kwadratową (w zapisie wielomianowym). W szczególności w przestrzeni R 2 forma kwadratowa ma postać F (x1 , x2 ) = a11 x21 + (a12 + a21 ) x1 x2 + a22 x22 , a w przestrzeni R3 postać F (x1 , x2 , x3 ) = a11 x21 + (a12 + a21 ) x1 x2 + (a13 + a31 ) x1 x3 + a22 x22 + (a23 + a32 ) x2 x3 + a33 x23 . W przypadku przestrzeni R 2 , R 3 można również używać odpowienio zmiennych (x, y), (x, y, z) w miejsce (x1 , x2 ), (x1 , x2 , x3 ). Przykładem form kwadratowych w przestrzeni R2 i R3 są odpowidnio np. funkcje F (x, y) = x2 + y 2 , F (x, y, z) = x2 + xy − 3xz + 2yz − y 2 + z 3 . Współczynniki aij formy F tworzą macierz A stopnia n, którą nazywamy macierzą formy kwadratowej. Bez zmniejszania ogólności można założyć, że macierz A jest macierzą symetryczną. Rzeczywiście, podstawiając bij = (1/2) (aij + aji ) (i, j = 1, 2, . . . , n) mamy bij + bji = aij + aji . Zatem n X aij xi xj = i,j=1 n X bij xi xj i,j=1 przy czym macierz B o współczynnikach bij jest symetryczna. W dalszym ciągu będziemy zakładali, że macierz formy kwadratowej jest macierzą symetryczną. Przykład 1. Wyznaczyć macierz formy kwadratowej w postaci symetrycznej: F (x1 , x2 , x3 ) = x21 − 2x1 x2 + 3x1 x3 − x23 . Mamy b11 = 1, b12 = b21 = (1/2) · (−2) = −1, b13 = b31 = (1/2) · 3 = 3/2, b33 = −1, pozostałe współczynniki są równe 0. Zatem 1 −1 32 B = −1 0 0 . 3 0 −1 2 Niech BS będzie bazą standardową przestrzeni Rn . Wtedy współrzędne wektora x = (x1 , x2 , . . . , xn ) x1 x2 w bazie BS są równe [x1 , x2 , . . . , xn ]BS . Przyjmując zapis x = . formę kwadratową (∗) możemy .. xn przedstawić wzorem F (x) = xT Ax, 1 gdzie A jest macierzą formy kwadratowej w bazie standardowej Niech teraz F będzie formą kwadratową w przestrzeni R n i niech B będzie bazą tej przestrzeni różną od bazy standardowej. Niech P będzie macierzą przejścia z bazy standardowej BS do bazy B. Wtedy x = P y, gdzie y to współrzędne wektora x w bazie B. Zatem F (x) = xT Ax = (P y)T A (P y) = y T P T AP y = y T By = G (y) . Macierz B = P T AP nazywamy macierzą formy kwadratowej F w bazie B. Macierz B jest symetryczna. Rzeczywiście, korzystając z własności transpozycji macierzy oraz symetryczności macierzy A mamy B T = P T AP T = P T AT P T T = P T AP = B. Przykład 2. Wyznaczyć macierz formy kwadratowej F (x1 , x2 , x3 ) = x21 + 2x1 x2 + x2 x3 w bazie B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} i podać jej wielomianową postać. Macierz symetryczna formy F w bazie standardowej ma postać 1 1 przejścia P z bazy standardowej do bazy B ma postać P = 1 1 0 0 bazie B ma postać 1 1 0 A = 1 0 12 . Z kolei macierz 0 12 0 1 0 . Tak więc macierz formy F w 0 1 1 1 4 7 2 1 1 1 1 1 0 7 2 T 1 P AP = 1 1 0 1 0 2 1 1 0 = 2 3 2 . 1 1 0 0 0 2 0 2 2 1 0 0 0 Zatem forma F w zapisie wielomianowym w bazie B ma postać G (y) = 4y12 + 3y22 + y32 + 7y1 y2 + 4y1 y3 + 4y2 y3 . Definicja 2. Forma kwadratowa F ma w bazie B postać kanoniczną, jeżeli jej macierz w tej bazie jest macierzą diagonalną. Bazę B nazywamy bazą kanoniczną formy F . Formę F można wtedy zapisać w tej bazie w postaci n X bk yk2 . k=1 Niech A bedzie symetryczną macierzą (rzeczywistą) formy kwadratowej F (x) = xT Ax. Ponieważ macierz symetryczna jest ortogonalnie diagonalizowalna (patrz rozdział 4.7 Algebra liniowa. Definicje, twierdzenia, wzory), więc istnieje macierz nieosobliwa P taka, że P −1 AP = P T AP = D = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ) , gdzie λ1 , λ2 , . . . , λn są wartościami własnymi macierzy A niekoniecznie różnymi, a P = [v1 v 2 . . . , v n ] gdzie v1 , v 2 , . . . , v n wektorami własnymi odpowiadającymi wartościom własnym λ1 , λ2 , . . . , λn , przy czym ||v i || = 1, gdzie 1 ¬ i ¬ n. Wtedy w bazie B = {v 1 , v 2 , . . . , vn } mamy x = P y, gdzie y jest wektorem współrzędnych x w bazie B. Zatem F (x) = F (P y) = G (y) = (P y)T A (P y) = y T P T AP y = y T Dy = n X i=1 Tym samym udowodniliśmy twierdzenie 2 λi yi2 . Twierdzenie 1. Każda forma kwadratowa F (x) = xT Ax w przestrzeni R n ma bazę kanoniczną. Baza kanoniczną może być złożona z wektorów własnych macierzy A. Przykład 3. Korzystając z bazy wektorów własnych macierzy formy kwadratowej F (x) = x21 + 6x1 x2 − 2x22 − 2x2 x3 + x23 sprowadzić F do postaci kanonicznej. 1 3 0 Macierz symetryczna A formy F ma postać A = 3 −2 −1 . Wartości własne macierzy A wyzna0 −1 1 czymy rozwiązując równanie det (A − λI) = 0. Mamy 1−λ 3 0 det (A − λI) = 3 −2 − λ −1 = (1 − λ) λ2 + λ − 12 = (1 − λ)(λ − 3)(λ + 4) = 0. 0 −1 1 − λ Tak więc macierz A ma trzy różne wartości własne λ1 = −4 ∨ λ2 = 1 ∨ λ3 = 3. Wektor własny ui odpowiadający wartości własnej λi macierzy A wyznaczymy z równości (A − λi I) ui = 0, czyli rozwiązując układ równań 1 − λi 3 0 0 ui1 −2 − λi −1 ui2 = 0 . 3 0 ui3 0 −1 1 − λi Mamy kolejno −3 u1 = 5 , 1 1 u2 = 0 , 3 −3 u3 = −2 . 1 −3 1 −3 Zatem macierz przejścia z bazy standardowej do bazy B = {u1 , u2 , u3 } ma postać P = 5 0 −2 . 1 3 1 W konsekwencji macierz formy F w bazie kanonicznej ma postać −3 5 1 1 3 0 −3 1 −3 −140 0 0 T 0 10 0 , P AP = 1 0 3 3 −2 −1 5 0 −2 = −3 2 1 0 −1 4 1 3 1 0 0 42 co w zapisie wielomianowym daje G (y) = −140y12 + 10y22 + 42y32 . Definicja 3. Mówimy, że forma kwadratowa F (x) = xT Ax jest 1. dodatnio określona, gdy F (x) > 0 dla każdego x ∈ Rn \ {0}; 2. dodatnio półokreślona (nieujemnie określona) gdy F (x) 0 dla każdego x ∈ Rn ; 3. ujemnie określona, gdy F (x) < 0 dla każdego x ∈ Rn \ {0}; 4. ujemnie półokreślona (niedodatnio określona) gdy F (x) 0 dla każdego x ∈ Rn ; 5. nieokreślona, gdy F (x) F (y) < 0 dla pewnych x, y ∈ Rn . 3 Definicja 4. Niech A będzie rzeczywistą macierzą symetryczną stopnia A. Mówimy, że macierz A jest dodatnio określona, jeżeli forma kwadratowa F (x) = xT Ax jest dodatnio określona. Analogicznie definiujemy macierze dodatnio półokreślone, ujemnie określone, ujemnie półokreslone oraz nieokreślone. Uwaga. Łatwo jest rozpoznać typ określoności formy (macierzy), gdy forma ta zapisana jest w postaci kanonicznej. Przykładowo mamy: (a) F (x1 , x2 ) = x21 + 2x22 – forma dodatnio określona; (b) F (x1 , x2 ) = 3x22 – forma dodatnio półokreślona; (c) F (x1 , x2 ) = −x21 − x22 – forma ujemnie określona; (d) F (x1 , x2 ) = −x21 – forma ujemnie półokreślona; (e) F (x1 , x2 ) = x21 − 2x22 – forma nieokreślona. Warunki konieczne i dostateczne podaje następujące kryterium Sylvestera, w którym wykorzystujemy minory główne wiodące macierzy formy kwadratowej tj. D1 = a11 , D2 = det " # a11 a12 a21 a22 , . . . , Dn = det a11 a21 .. . an1 a12 . . . a1n a22 . . . a2n .. .. .. . . . an2 . . . ann Twierdzenie 2. (kryterium Sylvestera) Forma kwadratowa F (x) = xT Ax, gdzie A jest macierzą symetryczną jest: 1. dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy D1 > 0, D2 > 0, ..., Dn > 0. 2. ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy D1 < 0, D2 > 0, ..., (−1)n Dn > 0. Przykład 4. Zbadać określoność form kwadratowych: (a) F (x1 , x2 , x3 ) = x21 + 3x22 + 7x23 + 2x1 x2 + 4x1 x3 ; (b) F (x1 , x2 , x3 ) = −x21 − 2x22 − 3x23 + 2 (x1 x2 − x1 x3 + x2 x3 ). 1 1 2 (a) Macierz symetryczna formy F ma postać A = 1 3 0 . Mamy zatem 2 0 7 D1 = 1 > 0, D2 = det " 1 1 1 3 # = 2 > 0, 1 1 2 D3 = det 1 3 0 = 2 > 0, 2 0 7 co wobec kryterium Sylvestera oznacza, że forma F jest dodatnio określona. −1 1 −1 (b) W tym przykładzie macierz symetryczna formy F ma postać A = 1 −2 1 . Tak więc −1 1 −3 D1 = −1 < 0, D2 = det " −1 1 1 −2 # = 1 > 0, co wobec kryterium Sylvestera oznacza, że forma F jest ujemnie określona. 4 −1 1 −1 D3 = det 1 −2 1 = −2 < 0, −1 1 −3