Zestaw 4

Algebra liniowa - Zestaw IV - 30 XI 2010
Geometria pªaszczyzny i przestrzeni trójwymiarowej
n
Punkty przestrzeni R b¦dziemy interpretowa¢ równie» jako wektory zaczepione w zerze
(czyli punkcie
(0, ..., 0)).
Iloczyn skalarny
Dla wektorów
a = (a1 , ..., an ), b = (b1 , ..., bn ) ∈ Rn
deniujemy
a ◦ b = ha, bi := a1 b1 + ... + an bn .
Kilka istotnych wªasno±ci:
•
•
iloczyn skalarny dwóch wektorów zwraca liczb¦,
jego warto±¢ jest dªugo±ci¡ rzutu prostopadªego wektora
przez wektor
•
b
a
na prost¡ wyznaczon¡
(z uwzgl¦dnieniem znaku),
w szczególno±ci
aib
s¡ prostopadªe do siebie, gdy ich iloczyn skalarny si¦ zeruje.
a od
q
√
||a|| := a ◦ a = a21 + ... + a2n .
Iloczyn skalarny deniuje norm¦, czyli odlegªo±¢ punktu
zera:
Je±li jeste±my w stanie policzy¢ iloczyn skalarny dwóch wektorów oraz norm¦ ka»dego z
nich, to mo»emy odtworzy¢ miar¦ k¡ta wyznaczonego przez nie korzystaj¡c ze wzoru
a ◦ b = ||a|| · ||b|| · cos α,
gdzie
α
jest szukanym k¡tem.
Iloczyn wektorowy
a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3 deniujemy


a1 a2 a3
a × b = det  b1 b2 b3  ,
→
−
→
→
e1 −
e2 −
e3
→
−
→
→
e = (1, 0, 0), −
e = (0, 1, 0) oraz −
e = (0, 0, 1).
Dla wektorów
gdzie
1
2
3
Oczywi±cie w ±wietle klasycznej denicji wyznacznika powy»sza denicja iloczynu wektorowego nie ma sensu - w ostatnim rz¦dzie macierzy mamy wektory, a nie liczby - ale
prosz¦ spróbowa¢ zrobi¢ z niej u»ytek ewentualnie konfrontuj¡c j¡ z wiedz¡ z wykªadu
lub np. wikipedii (prosz¦ spróbowa¢ rozpisa¢ wyznacznik formalnie - nie przejmuj¡c si¦
tym, jakie s¡ wspóªczynniki macierzy - a nast¦pnie pogrupowa¢ wyrazy tak, by dosta¢
napis postaci
→
→
−
(...)−
e1 + (...)−
e2 + (...)→
e3 ).
Wªasno±ci iloczynu wektorowego:
• jest okre±lony tylko dla wektorów a i b z R3 ,
• a × b jest wektorem prostopadªym do pªaszczyzny, któr¡ one rozpinaj¡,
• jego dªugo±¢ jest równa polu równolegªoboku rozpi¦tego na a i b:
||a × b|| = ||a|| · ||b|| · sin α,
α jest k¡tem pomi¦dzy a oraz b,
• zwrot a × b ustala reguªa prawej dªoni.
gdzie
Prosta i pªaszczyzna
Równania prostej na pªaszczy¹nie:
• Ax + By + C = 0,
• równanie parametryczne - x = a1 t + b1 , y = a2 t + b2 .
Równanie pªaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej - Ax + By + Cz + D = 0.
Równania prostej w przestrzeni trójwymiarowej:
•
prosta powstaje z przeci¦cia dwóch pªaszczyzn, zatem deniuje j¡ ukªad równa«
(
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
•
równanie parametryczne -
x = a1 t + b1 , y = a2 t + b2 , z = a3 t + b3 .
Algebra liniowa - Zestaw IV - 30 XI 2010
Geometria pªaszczyzny i przestrzeni trójwymiarowej
Kilka obserwacji:
•
je±li
Ax + By + C = 0
jest równaniem prostej, to
γAx + γBy + γC = 0
dla
dowolnego γ 6= 0 jest równaniem tej samej prostej. W szczególno±ci dostajemy
0
0
posta¢ A x+B y = 1 (gdy C 6= 0), analogicznie w przypadku prostej w przestrzeni
i pªaszczyzny w przestrzeni.
•
posta¢ parametryczna odtwarza prost¡ na podstawie dwóch informacji: punktu
(b1 , b2 )
przez który ta prosta przechodzi, oraz wektora
3
kierunek (analogicznie w R ).
•
manipulacja liczbami
C
oraz
(a1 , a2 ),
który wskazuje
D w równaniach prostej (na pªaszczy¹nie) oraz pªasz-
czyzny (w przestrzeni trójwymiarowej) odpowiada za przesuwanie równolegªe tej
prostej (albo pªaszczyzny). W szczególno±ci w przypadku zmiana
0
C
(lub
D)
na
przesuwa nam równolegle prost¡ (pªaszczyzn¦) tak, »e przechodzi ona przez 0.
Przydatne wzory:
odlegªo±¢
odlegªo±¢
(x0 , y0 ), prosta
|Ax0 + By0 + C|
√
Ax + By + C = 0 =
,
A2 + B 2
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
√
.
Ax + By + Cz + D = 0 =
A2 + B 2 + C 2
o równaniu
(x0 , y0 , z0 ), pªaszczyzna
Zadania
(1) Dla jakich warto±ci parametru
(a)
(b)
r
poni»sze wektory s¡ do siebie prostopadªe?
(1, 4, r) i (−1, −1, 3),
(1, r, −2r) i (1, r, 7).
(2) Znajd¹ kosinus k¡ta pomi¦dzy wektorami
(a)
(b)
(1, 2, 3) i (0, 0, 1),
(0, 3, 5) i (1, 1, 1).
(3) Oblicz pole równolegªoboku rozpi¦tego przez wektory
(a)
(b)
(1, 4, 1) i (−1, −1, 3),
(1, 1, −2) i (1, 1, 7).
(4) Uzasadnij poprawno±¢ nast¦puj¡cego algorytmu szukania równania pªaszczyzny
Ax + By + Cz + D = 0 przechodz¡cej przez trzy punkty a, b, c ∈ R3 :
•
obliczamy wspóªrz¦dne dwóch z trzech wektorów ª¡cz¡cych te punkty (np.
a − b i a − c),
•
wyznaczamy wspóªrz¦dne iloczynu wektorowego tych wektorów otrzymuj¡c
•
liczb¦
w ten sposób trójk¦
D
(A, B, C),
wyznaczamy wstawiaj¡c w równaniu pªaszczyzny wspóªrz¦dne któ-
regokolwiek z punktów
a, b
lub
c
za
sposób równanie z jedn¡ niewiadom¡
(x, y, z)
D.
i rozwi¡zuj¡c powstaªe w ten
(5) Podaj równanie pªaszczyzny przechodz¡cej przez punkty
(1, 2, 1), (−1, −1, 1) i (1, 0, 1),
(b) (2, 3, 0), (1, 0, −1), (0, −3, 5).
3
3
Niech ` ⊂ R b¦dzie prost¡, za± K ⊂ R pªaszczyzn¡. Ustalmy punkty x, y ∈ `
le»¡ce po tej samej stronie K . Uzasadnij, »e:
• je±li odlegªo±¢ x od K jest równa odlegªo±ci y od K , to ` oraz K nie przecinaj¡
(a)
(6)
si¦,
•
je±li te odlegªo±ci s¡ ró»ne, to
`∩K
skªada si¦ z dokªadnie jednego punktu.
2
(7) Który z punktów nale»¡cych do paraboli o równaniu y = x le»y najbli»ej prostej
o równaniu
y − x + 2 = 0?
Ile wynosi odlegªo±¢ pomi¦dzy tym punktem a prost¡?
n
(8) Udowodnij twierdzenie Pitagorasa w R :
n
2
Wektory x, y ∈ R s¡ do siebie prostopadªe wtedy i tylko wtedy, gdy ||x + y|| =
||x||2 + ||y||2 . Jak wygl¡da geometryczna interpretacja tego twierdzenia?