§ 2. Funkcje uwikłane

§ 2. Funkcje uwikłane
§ 2. Funkcje uwikłane
205. Pojęcie funkcji uwikłanej jednej zmiennej. Załóżmy, że wartości dwóch zmiennych x i y związane są ze sobą równaniem, które wtedy, gdy
wszystkie wyrazy przeniesione są na lewą stronę, ma postać
(1)
F (x, y) = 0.
Tutaj F (x, y) = 0 jest funkcją dwóch zmiennych określoną w pewnym obszarze.
Jeżeli dla każdej wartości x z pewnego przedziału istnieje jedna lub kilka wartości
y, które razem z x spełniają równanie (1), to określona jest tym samym funkcja
y = f (x) jednoznaczna lub wieloznaczna, dla której wartość
(2)
F (x, f (x)) = 0
jest już tożsamością względem x.
Weźmy na przykład równanie
(1a)
y2
x2
+
− 1 = 0;
a2
b2
określa ono oczywiście y jako dwuznaczną funkcję zmiennej x w przedziale
< −a, a >, mianowicie
b p
y = ± + a2 − x2 .
a
Jeśli zamiast y podstawimy w równaniu (1a) tę funkcję, to otrzymamy tożsamość.
W tym przykładzie udało się w sposób bardzo prosty wyrazić analitycznie y
przez x i to nawet za pomocą funkcji elementarnych. Taka sytuacja zdarza sie
rzadko. Np. równanie
y − x − ε sin y = 0
(0 < ε < 1),
z którym zetknęliśmy się już przy oznaczeniach w ustępie 83, określa, jak wiemy,
y jako jednoznaczną funkcję zmiennej x, której nie można wyrazić przez funkcje
elementarne w skończonej postaci.
Funkcję y = f (x) nazywamy uwikłaną, jeżeli jest ona dana za pomocą nierozwiązanego względem y równania(1); staje się ona nieuwikłaną, gdy rozpatrywana jest bezpośrednia zależność y od x. Dla czytelnika jest jasne, że ta
terminologia charakteryzuje tylko sposób przedstawienia funkcji y = f (x) i nie
dotyczy jej istoty. Ściśle mówiąc, to przeciwstawienie uwikłanego i nieuwikłanego przedstawienia funkcji może być wyraźnie sformułowane tylko wtedy, gdy
przez nieuwikłane przedstawienie funkcji rozumie się wzór analityczny wyrażający y przez x; jeżeli zaś jako nieuwikłane dopuszczać też określenie za pomocą
dowolnej umowy [45], to określenie funkcji y zmiennej x równaniem (1) nie jest
niczym gorsze od jakiegokolwiek innego.
W najprostszym przypadku – gdy równanie (1) jest algebraiczne, tj. gdy
funcja F (x, y) jest wielomianem stopnia całkowitego względem x i względem y,
1
2
VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowanie
określona przezeń funkcja uwikłana y zmiennej x, na ogół wieloznaczna, nazywa
się funkcją algebraiczną. Jeżeli stopień równania względem y nie przekracza czterech, to funkcja algebraiczna może być przedstawiona w postaci nieuwikłanej za
pomocą pierwiastków, jeżeli stopień jest wyższy niż cztery, to przedstawienie
takie jest możliwe tylko wyjątkowo.
Teraz będzie nas interesowało zagadnienie istnienia i jednoznaczności funkcji
uwikłanej – jak również zagadnienia dotyczące innych jej własności – niezależnie
od możliwości przedstawienia jej analitycznym wzorem wyrażającym bezpośrednio y przez x. Tak postawione zagadnienie nie jest zresztą dla nas nowe, z jego
szczególnym przypadkiem mieliśmy do czynienia wtedy, gdy była mowa o isttnieniu i o własnościach funkcji odwrotnej i równanie
y − f (x) = 0
określało zmienną x jako funkcję uwikłaną zmiennej y.
Pouczające jest geometryczne ujęcie tego zagadnienia. Przy pewnych zalożeniach równanie (1) określa krzywą na płaszczyźnie (np. równanie (1a) określa
jak wiadomo elipsę (rys. 111)); nazywa się je w tym przypadku równaniem uwikłanym krzywej.
Zagadnienie polega na tym, czy krzywa
(1) (lub jej część) może być przedstawiona zwykłym równaniem postaci y = f (x)
z jednoznaczną funkcją po prawej stronie, co geometrycznie oznacza, że prosta
równoległa do osi y przecina krzywą (lub
jej część) tylko w jednym punkcie.
Jeżeli funkcja ma być jednoznaczna,
to jak widać z przykładu elipsy, trzeba ograniczyć przy tym nie tylko obszar
zmienności zmiennej x, ale i obszar zmienności zmiennej y.
Będziemy mówili krótko, że w prostokącie (a, b; c, d) równanie (1) określa
y jako jednoznaczną funkcję x, jeżeli dla każdej wartości x z przedziału (a, b)
równanie (1) ma jeden i tylko jeden pierwiastek y w przedziale (c, d).
Zazwyczaj będzie nas interesował określony punkt (x0 , y0 ) spełniający równanie (1) (leżący na krzywej) i rolę powyższego prostokąta spełniać będzie otoczenie tego punktu. Na przykład w przypadku elipsy (rys. 111) można oczywiście
stwierdzić, że równanie (1a) określa rzędną y jako jednoznaczną funkcję odciętej x w dostatecznie małym otoczeniu dowolnego punktu elipsy, z wyjątkiem jej
wierzchołków A i A′ leżących na dużej osi.
206. Istnienie funkcji uwikłanej. Teraz ustalimy warunki zapewniające
istnienie jednoznacznej i ciągłej funkcji uwikłanej.
Twierdzenie I. Załóżmy, że
1) funkcja F(x, y) jest określona i ciągła w pewnym prostokącie
D = hx0 − ∆, x0 + ∆ ; y0 − ∆′ , y0 + ∆′ i