1 Odwzorowania uwikłane

Wykład 6
1
Odwzorowania uwikłane
Definicja 1.1 (odwzorowanie uwikłane) Niech będzie dane odwzorowanie f : U → Y ,
gdzie U ⊂ X × Y , X = Rn , Y = Rm (w ogólności przestrzenie Banacha), oraz odwzorowanie ϕ : V → Y , gdzie V ⊂ X. Jeśli f (x, ϕ(x)) = 0 dla każdego x ∈ V , to mówimy, że
odwzorowanie f generuje odwzorowanie uwikłane ϕ : V → Y .
Twierdzenie 1.1 (o odwzorowaniu uwikłanym) Przypuśćmy, że X = Rn , Y = Rm (w
ogólności przestrzenie Banacha nad ciałem K), X ×Y ⊃ U - podzbiór otwarty, f ∈ C 1 (U, Y ),
∂f
(x0 , y0 ) ∈ I(Y, Y ). Wówczas istnieją otoczenia U1 3 x0 i U2 3 y0 , takie że
f (x0 , y0 ) = 0, ∂Y
U1 × U2 ⊂ U , oraz funkcja ϕ ∈ C 1 (U1 , U2 ) takie że:
a) dla (x, y) ∈ U1 × U2 mamy f (x, y) = 0 ⇔ y = ϕ(x);
b) dla x ∈ U1 ϕ0 (x) = −fY0 (x, ϕ(x))−1 ◦ fX0 (x, ϕ(x))
Twierdzenie to umożliwia nam policzenie pochodnej odwzorowania uwikłanego bez znajomości samego odwzorowania. Przyjrzyjmy się teraz przykładom odwzorowań uwikłanych i
zastosowaniu twierdzenia.
Przykłady:
1. Rozpatrzmy funkcję f : R2 → R2 daną wzorem f (x, y) = x2 + y 2 − 4. Rozpatrzmy zbiór
S = {(x, y) : f (x, y) = 0}. Zauważmy,
że z otrzymanego
równania możemy wyliczyć y
√
√
2
w zależności od x. Mamy: y = 4 − x lub y = − 4 − x2 . Zauważmy, że w otoczeniu
każdego punktu zbioru S poza punktami A = (2, 0) i B = (−2, 0) wiemy, którego wzoru
użyć do wyznaczenia y mając dane x. Problem pojawia się gdy chcemy wyliczyć y jako
funkcję x w otoczeniu wymienionych wyżej punktów. Sprawdźmy, w jakich punktach
zbioru S spełnione są założenia twierdzenia o funkcji uwikłanej. Mamy:
∂f
= 2y
∂y
Widzimy, we wszystkich punktach S poza A i B założenia są spełnione (pozostałe
założenia spełnione sa w sposób oczywisty). Na mocy twierdzenia o funkcji uwikłanej
w każdym z punktów zbioru S \ {A, B} funkcja f generuje odwzorowanie uwikłane prościej mówiąc można rozwikłać y względem x lub jeszcze inaczej - wyznaczyć y jako
funkcję klasy C 1 od x. Wiemy więc, że w otoczeniu każdego z punktów (x0 , y0 ) zbioru
S \{A, B} istnieje funkcja ϕ : R → R taka, że jeśli tylko (x, y) ∈ S są dostatecznie blisko
(x0 , y0 ) to y = ϕ(x) przy czym funkcja ϕ jest klasy C 1 . Uwaga: funkcja ta nie musi
być jednakowa dla wszystkich punktów - widzimy to wyraźnie w naszym przykładzie,
gdzie otrzymujemy dwie różne funkcje uwikłane generowane przez odwzorowanie f w
zależności od punktu w otoczeniu którego dokonujemy rozwikłania. Obliczymy teraz
√
trzema różnymi sposobami pochodną odwzorowania uwikłanego ϕ w punkcie x0 = 2
1
( zauważmy, ze napisaliśmy ”w punkcie” i podaliśmy punkt o jednej współrzędnej - jest
to poprawne, gdyż odwzorowanie uwikłane jest w naszym przypadku funkcją jednej
zmiennej).
sposób I Nasza funkcja f jest tak prosta,
√ ze√udało nam się znaleźć odwzorowanie uwikłane:
w otoczeniu punktu (x, y) = ( 2, √ 2) ∈ S zmienna y zadaje się jako funkcja x w
następujący sposób: y = ϕ(x) = 4 − x2 . Różniczkując tę funkcję (jako funkcję
jednej zmiennej x) otrzymujemy :
−2x
ϕ0 (x) = √
2 4 − x2
√
stąd ϕ0 ( 2) = −1.
sposób II skorzystajmy ze wzoru danego nam przez twierdzenie√
o funkcji
uwikłanej.
mamy
√ √
√
0
0
już policzoną pochodną fy (x, y) = 2y co dla (x, y) = ( 2, 2) daje fy ( 2, 2) =
√
0
2. Potrzebujemy
2 √
√
√ jeszcze pochodną f po zmiennej x: fx (x, y) = 2x, czyli
0
fx ( 2, 2) = 2 2. Korzystając teraz ze wzoru dostajemy:
√
√
√
ϕ0 ( 2) = −(2 2)−1 · 2 2 = −1.
sposób III różniczkujemy po x równanie x2 + y 2 − 4 = 0, traktując y jako funkcję x. Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji uwikłanej otrzymujemy:
2x + 2y · y 0 = 0
x
y0 = − .
y
Zauważmy, że otrzymany wzór ma sens tylko tam gdzie y 6= 0, czyli tam, gdzie
spełnione
jest założenie twierdzenia o funkcji uwikłanej. Otrzymujemy ponownie
√
y 0 ( 2) = −1.
Tak wiec możemy znajdować pochodną funkcji uwikłanej na conajmniej trzy sposobu.
Zauważmy jednak, że pierwszy sposób wymaga znajomości funkcji uwikłanej, a ta udaje
się znaleźć w nielicznych przypadkach.
2. Rozpatrzmy funkcję f (x, y) = x + y − exy . Sprawdzając założenia twierdzenia o funkcji
uwikłanej stwierdzamy, że możemy dokonać rozwikłania y = ϕ(x) w otoczeniu punktu
A = (0, 1) oraz, rozwikłania x = ψ(y) w otoczeniu punktu B = (1, 0). Jednocześnie stwierdzamy, że nie możliwe jest dokonanie tych rozwikłań po zamienieniu rolami
punktów. Policzmy pochodną funkcji uwikłanej y = ϕ(x) w otoczeniu punktu A trzecim sposobem - różniczkując równanie f (x, y(x)) = 0 stronami po zmiennej x traktując
y jako funkcję x:
1 + y 0 − (yexy + xexy y 0 ) = 0
yexy − 1
y0 =
1 − xexy
2
Wynik ten otrzymaliśmy stosując wzór na pochodną funkcji złożonej g(x) = f (x, y(x)).
Podstawiając wartości współrzędnych punktu A wokół którego dokonujemy rozwikłania
stwierdzamy, że y 0 (x |x=0 ) = 0. Otrzymaliśmy zerowanie się pochodnej funkcji uwikłanej
w punkcie A. Jest to więc dla funkcji uwikłanej y = ϕ(x) punkt ”podejrzany” o istnienie
ekstremum. w celu sprawdzenia czy rzeczywiście jest tam ekstremum policzymy druga
pochodna w tym punkcie, pamiętając o tym, że y = y(x):
y 00 =
(y 2 exy + y 0 exy + xyexy y 0 )(1 − xexy ) − (yexy − 1)(exy + xyexy + x2 exy y 0 )
(1 − xexy )2
co po podstawieniu współrzędnych punktu A oraz y 0 = 0 daje:
y0 = 1 > 0
więc funkcja uwikłana y = ϕ(x) określona w pewnym otoczeniu punktu x = 0 ma w
tym punkcie minimum. zauważmy jak silnym narzędziem jest poznane twierdzenie przy umiejętnym stosowaniu umożliwia ono znalezienie ekstremów funkcji, której jawnej postaci nie znamy.
#
"
F1
, F1 (x, y, z, t) = x + y + z − t2 x3 z,
3. Rozważmy odwzorowanie F : R → R , F =
F2
F2 (x, y, z, t) = z − x − t + x2 yz 3 . Sprawdźmy, że możliwe jest rozwikłanie w otoczeniu
punktu 0 = (0, 0, 0, 0) zmiennych x, z w zależności od"zmiennych
y, t tzn. istnieje takie
#
ϕ1
otoczenie U ∈ R2 punktu (0, 0) oraz taka funkcja Φ =
, Φ ∈ C 1 (U, R2 ), że (x, z) =
ϕ2
Φ(y, t). W tym celu liczymy pochodne cząstkowe funkcji F względem zmiennych x, z
w punkcie (0, 0, 0, 0) i otzrymujemy:
4
"
∂F1 (0,0,0,0)
∂x
∂F2 (0,0,0,0)
∂x
2
∂F1 (0,0,0,0)
∂z
∂F2 (0,0,0,0)
∂z
#
"
=
1 1
−1 1
#
wyznacznik tej macierzy jest niezerowy więc spełnione są założenia twierdzeniu o odwzorowaniu uwikłanym, żadana funkcja więc istnieje. w celu policzenia pochodnej odwzorowania uwikłanego w tym punkcie musimyjeszcze znaleźć macierz pochodnej funkci
F w kierunku zmiennych y, t w punkcie 0 = (0, 0, 0, 0). Mamy:


∂F1 (0,0,0,0)
∂y
∂F2 (0,0,0,0)
∂y
∂F1 (0,0,0,0)
∂t
∂F2 (0,0,0,0)
∂t

"
=
1 0
0 −1
#
Stosując wzór z twierdzenia o funkcji uwikłanej otrzymujemy:
"
DΦ(0, 0) = −
1 1
−1 1
#−1 "
·
1 0
0 −1
#
"
=−
1
2
1
2
− 12
1
2
# "
·
1 0
0 −1
#
"
=
− 12 − 12
− 21 12
#
.
Ten przykład jakkolwiek nieprosty jest dość pouczający jeśli chodzi o stosowanie twierdzenia o odwzorowaniu uwikłanym w wyższych wymiarach.
3