(01 Reprezentacja układów dynamicznych w przestrzeni zmiennych

1
2
Wykład 1. Reprezentacja układów dynamicznych
w przestrzeni zmiennych stanu
Reprezentacja układów sterowania w przestrzeni zmiennych stanu ma fundamentalne
znaczenie w teorii sterowania. Opis układów wykorzystujący to podejście jest zaliczany do nowoczesnej teorii sterowania, a jego zastosowania aplikacyjne są szeroko stosowane.
Wśród zalet tego opisu można wymienić: wygodną reprezentację złożonych układów wielowymiarowych, wysoką użyteczność w obliczeniach numerycznych na gruncie, np. algebry liniowej, możliwość określenia warunków kontrolowalności i obserwowalności układów sterowanych, rozwijające się techniki kontroli.
Model w przestrzeni zmiennych stanu opisujący w sposób matematyczny liniowy
(ciągły w czasie ) układ dynamiczny przedstawia się za pomocą układu liniowych
równań różniczkowych w postaci macierzowej:
,
,
,
,
są odpowiednio wektorami: stanu układu, wejścia sterującego
układem oraz wyjścia (odpowiedzi) układu. Macierz
opisuje wewnętrzny stan
,
oraz
oznaczają odpowiednio macierze
układu, natomiast macierze
wejścia, wyjścia oraz macierz transmisyjną (stanowią połączenie układu z otoczeniem). Jeśli sygnał wchodzący do układu nie jest połączony bezpośrednio do wyjścia
układu, to macierz transmisyjna wynosi zero. Ponadto, współczynniki macierzy
są stałe w czasie.
0
,
(1.1)
Rysunek 1. Schemat blokowy modelu układu dynamicznego równoważny układowi
równań różniczkowych (1.1)-(1.2).
(1.2)
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
3
1
,
0
,
.
Wymiary macierzy i znaczenie poszczególnych symboli pozostają bez zmian.
(1.3)
(1.4)
1.1. Reprezentacje modeli w przestrzeni stanu
Reprezentacje modeli w przestrzeni stanu można przedstawić w dziedzinie czasu ciągłego za pomocą równań różniczkowych lub funkcji przejścia. Wyróżnimy tutaj często
stosowane postacie: zmiennej fazowej, obserwatora stanu, modalną oraz Jordana.
Ogólny -wymiarowy model układu dynamicznego opisany równaniem rzędu :
&
(#
)
"#
$%
(
$%
,
&
'%
!
(
)
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
(
"#
$% )
$%
!
"#
$%
&
$%
!#
!
.
0
/
,
45$% 6 7
475$%
.
(1.7)
Różniczkując obie strony układu równań (1.7) względem czasu mamy
(1.5)
(1.6)
Następnie wprowadzamy nowe zmienne zgodnie ze schematem:
,
#
x2 t
1.1.1 Równania różniczkowe
!
"#
przy czym, wszystkie warunki początkowe, tj. 0 , 0 , … ,
0 są równe zero.
Aby przejść od równania różniczkowego rzędu (1.5) do układu równań pierwszego
rzędu stanowiącego docelową reprezentację układu w przestrzeni stanu, posłużymy
się uproszczoną postacią tego równania. Mianowicie, przyjmujemy +, - pomijając
wszystkie pochodne wektora wejścia do układu ., jak następuje
4
Układ dynamiczny (1.1)-(1.2) w przestrzeni czasu dyskretnego (wartości wektorów
stanu układu są znane tylko w określonych chwilach czasu) przyjmuje postać:
8%
#
/
,
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
89
0
9
/
8;
;
:
8
=!
,
<
;
= !#
#
,
:
9
=!
5
= !#
= !/
/
= !/
=&= !
:
9
"#
=&= !
9
"#
.
$%
$%
(1.8)
Reprezentacja układu równań (1.8) w przestrzeni stanu dana jest w konsekwencji
następującym układem równań macierzowych (porównaj z równaniami (1.1)-(1.2)):
@
C
? / B
? 0 B
? 0 B
? "# B
>
A
#
0
@ 0
? 0
?
? 0
? 0
>=!
1
0
0
0
0
=!#
0
1
&
=!/
&
0
&
&
0
&
&
&
0
@
0 C
B?
B?
0 B?
1 B?
=! "# A >
#
/
0
@0C
? B
?0B
?0B
?0B
>1A
C
B
B
B
B
A
0
0
"#
(1.9)
F
!
"#
&
$% F
$%
!#
! G
F
0
#
G
,
$% F
$%
F
/
.
,
9F
:
9
,
,
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
7
8
(#
F
(/
9F
9
&
(
/
=!
F
.
(1.13)
=!
"#
= & = !#
#
.
Otrzymujemy poszukiwane równanie wyjścia w postaci:
D( = ! (
(# = !# (
…
(
"#
=!
"# (
EM
#
/
0
N
(
. (1.14)
Przeważnie funkcja prawej strony równania (1.5) nie zawiera pochodnych funkcji
wejścia . I , a jeśli takie istnieją, to ich rząd jest mniejszy od rzędu pochodnych wektora stanu układu. Dlatego przyjmuje się współczynnik +K ,, a stąd
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
D(
(#
(1.11)
(1.12)
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
Równania (1.12) stanowią adekwatną do (1.9) reprezentację w przestrzeni stanu.
Poszukiwanie równania wyjścia poprzedzamy eliminacją JK H I /JIK z (1.13), mając przy tym na uwadze równanie (1.11) i zamianę zmiennych (1.12):
F
@
C
? /
B
D1 0 & 0E ? 0 B
(1.10)
? "# B
>
A
Równania (1.9)-(1.10) określane są jako postać kanoniczna zmiennej fazowej.
Rozszerzamy powyższe na przypadek ogólny (1.5) zawierający pochodne wektora
wejścia .. Na podstawie (1.6) zapisujemy następujące równanie pomocnicze:
w którym wyróżnimy następującą zmianę zmiennych:
W kolejnym kroku do równań (1.5) i (1.11) stosujemy zasadę superpozycji. Jeśli
H I stanowi trajektorię odpowiedzi układu (1.11) w funkcji czasu, to z właściwości
superpozycji rozwiązanie układu (1.5) dane jest wzorem:
( G
6
#
…
(
"# E M
#
/
0
N.
(1.15)
Wniosek. Dla danego układu dynamicznego opisanego równaniem (1.5) można podać
jego równoważną reprezentację w przestrzeni stanu daną wzorami (1.9) i (1.15), przy
czym współczynniki macierzy i identyfikuje się na podstawie współczynników OP i
+P , P ,, -, … , K = -.
Przykład 1.1. Dla układu dynamicznego opisywanego następującym równaniem różniczkowym R S I
TR U I = R - I
UR I
.- I
U. I , w którym
P
R I oznacza pochodną funkcji R I rzędu P, zapisuje się na podstawie (1.9) i (1.14)
danego układu w przestrzeni stanu:
następującą reprezentację
0 1
0 0
0
0
0
1
0
D2 1 0 0E,
0.
Y,
V0 Y ,
V
0
0 0 0 1
1
=2 1 =6 0
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
9
1.1.2 Zamiana funkcji przejścia na reprezentację (modelu układu)
w przestrzeni stanu dla układów jednowymiarowych
Zamianę tego typu wykonuje się stosując bezpośrednie i równoległe techniki programowania. Powstała w rezultacie reprezentacja modelu w przestrzeni stanu może zawierać wszystkie lub tylko niektóre mody odpowiedzi funkcji przejścia. Należy zaznaczyć, że modami (związane z postacią składowej odpowiedzi układu) funkcji przejścia
są jej bieguny, ale przed tym, zanim nastąpi redukcja zer i biegunów tej transmitancji.
Jeśli część zer i biegunów funkcji przejścia ruguje się, to powstała reprezentacja modelu w przestrzeni stanu ma zredukowany rząd a odpowiadające liczbie zredukowanych stopni swobody mody nie pojawiają się w powstałej reprezentacji modelu.
Aby otrzymać reprezentacje postaci kanonicznych sterownika i obserwatora w
przestrzeni stanu zastosujemy technikę programowania bezpośredniego. Technikę
programowania równoległego stosuje się do identyfikacji reprezentacji postaci: modalnej kanonicznej i kanonicznej Jordana w przestrzeni stanu.
Postać kanoniczna sterownika jest wygodna do wykonania przejścia pomiędzy
reprezentacjami w sytuacji, gdy dana funkcja przejścia obiektu nie jest przedstawiona
w postaci iloczynu dwumianów określonego stopnia:
Z [
\ [
] [ ^] $% [ $% ^&^]% [^]_
.
[ ^' $% [ $% ^&^'% [^'_
10
(1.16)
Wprowadzamy zmienną pomocniczą ` a jak następuje:
b [
\ [
Z [
b [
#
,
[ ^' $% [ $% ^&^'% [^'_
( a
(
"# a
"#
&
(# a
(1.17a)
( ,
(1.17b)
po czym można narysować schemat blokowy pokazany na rysunku 1.2 odpowiadający reprezentacji (1.17).
Rysunek 1.2 Schemat blokowy odpowiadający reprezentacji (1.17).
Wzór (1.17a) ma taką samą strukturę jak równanie (1.6), tzn.
JK R I
JIK
& OO, R I
. I po zastosowaniu transformaty LaplaOK"JI
JIK$ce’a, a stąd podobnie jak poprzednio wynika równanie układu (1.9) w przestrzeni staJK$- R I
JR I
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
11
12
nu. Pozostają do znalezienia macierze dla równania wyjścia (1.2). Przepisujemy równanie (1.17b):
( "# a "# ` a
& (# a` a
( ` a .
(1.18)
c a
( a ` a
Należy zauważyć, że R I jest funkcją d I i jej pochodnych, ponieważ rozważając
równanie (3.17) w postaci operatorowej, gdzie e f J/JI i warunki początkowe są zerowe, g e , h e , i e przechodzą odpowiednio w d I , R I , . I .
Procedura otrzymywania modeli w przestrzeni stanu z funkcji przejścia odbywa
się z zastosowaniem diagramów symulacyjnych. W przypadku układów w dziedzinie
czasu ciągłego diagramy te składają się z podstawowych elementów analogowych
stosowanych do rozwiązywania równań różniczkowych opisujących dynamikę układu.
W tym przypadku do budowy integratorów, sumatorów, elementów różnicowych i
mnożących używa się wzmacniaczy operacyjnych. Generatory funkcji używane są do
generowania sygnałów wejściowych. Liczba integratorów na diagramie symulacyjnym
równa jest rzędowi układu równań różniczkowych.
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
Rysunek 1.3. Schemat symulacyjny postaci kanonicznej sterownika w technice programowania bezpośredniego.
Zasada postępowania przy konstruowaniu schematu pokazanego na rysunku 1.3
polega na przyjęciu K integratorów (ilości równej rzędowi układu równań stanu), połączeniu ich szeregowo i oznaczeniu wejść jako kolejnych pochodnych sygnału d I ,
tzn. JK d I /JIK d K I , d K"- I , … , d - I , d I . Stosując zależność (1.18) konstruuje się sygnał R I mnożąc wejścia integratorów przez odpowiednie współczynniki +P , by następnie zsumować je w integratorze znajdującym się za współczynnikiem
+, mnożącym z kolei sygnał d I . Wzór (1.17a) zapisujemy w postaci
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
= ! "# j "#
= & = !# j #
=! j ,
j
którą realizujemy (patrz rysunek 1.3, tutaj w dolnej części schematu) podobnie jak w
powyżej. Wyjścia integratorów są zmiennymi stanu, schemat na rysunku 1.3 jest reprezentacją daną równaniami macierzowymi (1.9) i (1.14), które stanowią poszukiwaną postać kanoniczną sterownika. Ta postać jest bardzo ważna w teorii sterowania,
ponieważ przedstawia układ kontrolowalny, a kontrolowalność układu sterowania jest
jednym z podstawowych założeń nowoczesnej teorii sterowania.
Postać kanoniczna obserwatora charakteryzuje się prostą reprezentacją, pozwala
na przedstawienie modelu dynamicznego w postaci układu obserwowanego i na określenie innego pojęcia teorii sterowania, obserwowalności układu sterowania. Postać
kanoniczną obserwatora można otrzymać stosując bezpośrednią technikę programowania.
Postać kanoniczną obserwatora wyprowadza się według następującego schematu. Zapisujemy równanie (1.16) w postaci
13
c a a
! "# a "#
k a ( a
&
(
!# a
"# a
"#
!
&
(# a
( ,
14
c a
= 5 ! "# a "# & !# a ! c a
k a ( a
( "# a "#
l
[
(1.22)
…+(1a+(0,
zapisujemy postać, którą można wykorzystać do skonstruowania odpowiedniego
diagramu symulacyjnego:
Po kolejnym przekształceniu
#
c a
#
= !
l
#
( k a + (
[
#
"# c
a =
"# k
a +
[9
#
[9
!
(
#
! c
[ $% #
#
& + $% (# k
[
"/ c
a =&=
"/ k
a +
a =
a +
#
[
#
[
! c a +
( k a .
(1.23)
Diagram symulacyjny będzie składał się z n integratorów połączonych szeregowo
(połączenie na linii toru głównego jest nazywane czasami połączeniem kaskadowym),
przy czym kolejne całki sygnału +P"- i e = OP"- h e , dla P - … K wyprowadza się
do sumatorów umieszczonych za odpowiednim integratorem.
(1.21)
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
15
n t
Rysunek 1.4. Diagram symulacyjny dla postaci kanonicznej obserwatora.
Podobnie jak poprzednio, wyjścia integratorów są zmiennymi stanu układu, natomiast analizując rys. 1.4 od prawej strony zapisujemy
,
(1.24)
+(
(
=!
=!
( =! (
,
#
(#
=!#
= !#
(# = !# (
,
/
#
#
(/
=!/
= !/
(/ = !/ (
,
:
/
/
0
( "#
=! "#
= ! "#
"#
"#
( "# = ! "# (
.
(1.25)
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
#
@
?
?
?
?
>
0
1
0
0
0
0
D0
o e
&
0
0
1
0
0
0
0
&
&
&
1
&
&
1En
&
&
&
0
&
0
0 =!
0 =!# C
B
0
=!/ B
n
0
0 B
0 =! "/ B
1 =! "# A
16
(
( =! (
@
(# = !# (
?
? 0 (/ = !/ (
0
?
0
?
>( "# = ! "# (
C
B
B
B
B
A
(1.26)
(1.27)
Przykład 1.2. Dla układu dynamicznego opisywanego następującą funkcją przejścia
eS ",.-ep "UeU ^e"p
eT ^eq ^UeS ^pep ^SeU ^e
n t
0
@ 1
? 0
?
? 0
? 0
> 0
D0 0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0 =1 C
0
=4BB
n
0
=3B
0 =2 B
1 =1 A
1En .
=3
@ 1 C
?
B
? =2 B
?=0.1B
? =1 B
> 0 A
, zapisać postać kanoniczną obserwatora.
0
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
,
17
Postać kanoniczna obserwatora jest bardzo użyteczna podczas prowadzenia symulacji komputerowych liniowych układów dynamicznych, ponieważ pozwala
uwzględnić w rozwiązaniu układu niezerowe warunki początkowe nałożone na R I .
Jeśli tak, to reprezentuje pewien układ obserwowalny, co oznacza, że wszystkie
zmienne stanu nP mają wpływ na sygnał R wychodzący z układu i na odwrót. Efektem
tego jest to, że z równania wyjścia i równań stanu można zrekonstruować wszystkie
zmienne stanu w dowolnej chwili czasowej. Wlicza się w to również wewnętrzny stan
początkowy układu n- , , nU , , … , nK , , który można wyrazić za pomocą warunków początkowych nałożonych na R , ,
JR ,
JI
,…,
JK$- R ,
JIK$-
.
Modalną postać kanoniczną można otrzymać stosując technikę programowania
równoległego. Opis tej postaci pominiemy, ale należy zaznaczyć, że dla wielu pierwiastków rzeczywistych mianownika funkcji przejścia układu dynamicznego przechodzi ona w postać kanoniczną Jordana, która jest użyteczna podczas określania stabilności wielowymiarowych układów liniowych.
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej