Wykład 3. Odpowiedź przejściowa i ustalona

Transkrypt

1
2
bilizowało się na stałej wartości, to jej wkład do pełnej odpowiedzi układu jest po
pewnym czasie zerowy), co można zapisać w postaci:
Wykład 3. Odpowiedź przejściowa i ustalona
Zanim przejdziemy do projektowania sterowników w dziedzinie czasu, wprowadzimy
pojęcie odpowiedzi przejściowej i ustalonej.
W teorii analizy i projektowania układów sterowania automatycznego ważną rolę
odgrywa poznanie pełnej odpowiedzi układu w czasie , gdzie jest początkowym czasem obserwacji. Na gruncie teorii sterowania przyjmuje się, że pełna odpowiedź układu jest sumą odpowiedzi przejściowej i odpowiedzi ustalonej
, co zapisujemy wzorem
.
(3.1)
Chwilę czasową wyznaczającą przejście pomiędzy tymi składowymi określają
pewne założenia projektowe i wymagania jakościowe stawiane obiektowi regulacji.
W zależności od szybkości działania układu w odniesieniu do czasu rzeczywistego,
odpowiedź przejściowa trwa krótko i pojawia się w chwili załączenia układu bądź jego
odpowiedzi na sygnał wymuszający (np. sygnał skokowy lub impulsowy). W związku z
tym, odpowiedź przejściowa zanika szybko w upływem czasu (jeśli wymuszenie usta-
lim 0.
W efekcie (w odniesieniu do układu stabilnego) pozostaje tylko składowa ustalona, która w większości przypadków oscyluje wokół wartości stałej (zadanej). Dokładność, z jaką układ sterowania odzwierciedla zadaną na wejściu wartość pożądaną jest,
dla przykładu, przedmiotem optymalizacji odpowiedzi ustalonej w kontekście minimalizacji uchybu statycznego regulacji.
Z uwagi na ważność odpowiedzi o charakterze oscylacyjnym przyjrzymy się dalej
jej opisowi matematycznemu i definicji podstawowych parametrów z nią związanych.
3.1.
Odpowiedź układów drugiego rzędu
Rozpatrzmy zamknięty układ sterowania drugiego rzędu z jednostkowym ujemnym
sprzężeniem zwrotnym i obiektem całkującym z inercją o transmitancji , który
jest umieszczony na linii toru głównego (rysunek 1).
P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
3
0
1 1
3
4
2
Umiejscowienie biegunów transmitancji (3.3) w odniesieniu do współczynnika
tłumienia, częstotliwości własnej i tłumienia układu pokazano na rysunku 2.
(
Rysunek 1. Układ sterowania drugiego rzędu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
Transmitancja układu zamkniętego odpowiadająca schematowi z rysunku 1 dana
jest wzorem:
'
w którym #$ &
%
&
! ,
(3.3)
jest częstotliwością drgań własnych układu zamkniętego,
jest współczynnikiem tłumienia układu.
Wartości własne układu (tutaj pierwiastki równania charakterystycznego transmitancji ) dane są wzorem:
(, )'#$ * +#$ ,1 ) ' )'#$ * +#. ,
gdzie #. #$ ,1 ) ' jest częstotliwością tłumienia układu.
(3.2)
(3.4)
(
56789
#$
'#$
?
#. #$ ,1 ) '
0
:;789
cos ? )'
Rysunek 2. Wartości własne układu drugiego rzędu danego wzorem (3.3) w zależności
od parametrów ', #$ , #. .
Następnie przejdziemy do zbadania odpowiedzi układu (3.3) znajdującego się w
stanie niewymuszonym (co odpowiada zerowym warunkom początkowym 0 0, 4 0 0) na sygnał skokowy. Oznacza to, że wymuszamy rozważany układ dynamiczny i „zmieniamy jego stan” tak, aby poznać charakter odpowiedzi przejściowej
5
i amplitudę odpowiedzi ustalonej. W zależności od zdefiniowanych wyżej parametrów
członu drugiego rzędu rozpatrzymy kilka przypadków odpowiedzi czasowej, jakie pojawią się, gdy parametry układu przyjmują określone wartości.
Przyjmując @ A, otrzymujemy:
2 3
! C
B
! B ! .
(3.5)
Obliczając DE F2G znajdziemy, z definicji odwrotnej transformaty Laplace’a
odpowiedź układu (3.3) na wymuszenie skokowe.
3.1.1
Odpowiedź przejściowa tłumiona krytycznie (' 1))
Na podstawie równania (3.4) otrzymujemy biegun podwójny w punkcie – #$ , odpo-
wiada temu następująca odpowiedź: 2() ( )
)
)
,
( )
której
odwrotna transformata Laplace’a daje krytycznie tłumioną odpowiedź skokową zdefiniowanego układu drugiego rzędu:
() 1 ) exp()#$ ) ) #$ exp()#$ ).
(3.6)
6
3.1.2
Odpowiedź
dpowiedź przejściowa
przejściowa tłumiona nadkrytycznie (' ] 1))
W przypadku odpowiedzi tłumionej nadkrytycznie, istnieją dwa bieguny rzeczywiste
transmitancji (3.5). Otrzymuje się wówczas rozwiązanie asymptotycznie stabilne, ponieważ bieguny o współrzędnej rzeczywistej (, )'#$ * #. są mniejsze od zera
i leżą na osi rzeczywistej. Dla takich wartości biegunów odpowiadająca transmitancji
(3.5) transmitancja układu tłumionego nadkrytycznie ma następującą postać:
^_
^
2 . Rozwiązaniu 2 odpowiada w dziedzinie czasu
! `
! E`
następujące rozwiązanie analityczne:
1 a bcd()('#$ #. )) a bcd()('#$ ) #. )),
(3.8)
w którym wyrazy bcd znikają w miarę przyrostu czasu . Rozwiązanie we
wzorze (3.8) zbiega w sposób nadkrytycznie tłumiony do wartości ustalonej 1.
3.1.3
Odpowiedź przejściowa o charakterze oscylacyjnym ('
( f 1))
Jest to odpowiedź, która ma istotne znaczenie w teorii regulacji, ponieważ jej pojawienie się na wyjściu świadczy o osiągnięciu przez układu stanu poprzedzającego
Rozwiązanie () zostało pokazane poniżej na rysunku 3.
7
8
przejście do oscylacji. W tym przypadku, odpowiedź jest możliwie najszybsza i zapewnia zerowe przeregulowanie.
Rozpatrywana transmitancja układ drugiego rzędu dana wzorem (3.5) ma parę biegunów zespolonych sprzężonych, stąd w dziedzinie zmiennej zespolonej mamy:
2() ^_
^
! g`
^h
! Eg`
. Stosując, jak poprzednio, transformatę Lapla-
ce’a otrzymuje się rozwiązanie w dziedzinie czasu postaci:
() 1 exp)'#$ /,1 ) ' sin jk#$ ,1 ) ' l ) ?m ,
(3.9)
gdzie:
cos θ )ξ, sin θ ,1 ) ξ , tan θ ,Ep
Ep
.
(3.10)
Odpowiedzi układu drugiego rzędu danego wzorem (3.5) w zależności od wartości współczynnika tłumienia ' pokazane zostały na rysunku 3.
Rysunek 3. Odpowiedzi układu drugiego rzędu danego wzorem (3.5) w zależności od wartowart
ści współczynnika tłumienia .
us
1
9
r
10
podlegać optymalizacji z uwagi na postawione zadanie projektowe. Zadanie może dotyczyć optymalizacji przebiegu przejściowego odpowiedzi układu na zadany sygnał
sterujący, np. w postaci funkcji skokowej. Optymalizacja odpowiedzi zmierzonej w
funkcji czasu ma na celu jej ukształtowanie (np. przez stosowanie odpowiednich kompensatorów lub układów sprzężeń zwrotnych) a parametrami kontrolnymi wykorzystywanymi w tym procesie są: czas narastania t , czas maksymalnego przeregulowania , czas ustalania i maksymalne przeregulowanie r . Parametry kontrolne zaznaczone zostały na rysunku 4, ich odpowiednie definicje można podać na podstawie
trajektorii czasowej odpowiedzi skokowej zaznaczonej kolorem niebieskim.
Maksymalne przeregulowanie można obliczyć przyrównując do zera pochodną
wyrażenia na () danego wzorem (3.9) względem czasu :
1.05
0.95
0.9
0.1
t
s
Rysunek 4. Odpowiedzi oscylacyjna układu drugiego rzędu danego wzorem (3.5) w zależności od wartości częstości drgań własnych #$ , #$, 2#$, , #$,q 2#$, .
3.2. Parametry odpowiedzi przejściowej o charakterze oscylacyjnym
.v()
.
)
!
,E! bcd()'#$ ) wx(#. ) ?) `
,E! bcd()'#$ ) yz(#. ) ?) 0 ,
co sprowadza się do:
'#$ sin#. ) ? #. cos#. ) ? 0.
(3.11)
Odpowiedź przejściowa o charakterze oscylacyjnym pozwala na przejrzyste zdefiniowanie jej parametrów. Parametry odpowiedzi przejściowej określają jej postać i mogą
Wzór (3.9) można uprościć stosując tożsamości trygonometryczne na sin i
cos różnicy kątów, tzn.:
11
sin#. ) ? sin#. cosθ ) cos#. sinθ,
cos#. ) ? cos#. cosθ sin#. sinθ,
12
(3.12)
oraz na podstawie wzoru (3.10): yz ? )' , wx ? ,1 ) ' . Upraszczając wzór
(3.11) otrzymujemy:
'#$ wx#. ) ? ) #. yz#. ) ? 0
wx#. ) ? )
,E! !
yz#. ) ? 0
wx#. yz? ) yz#. wx? )
/uwzględniamy wzory (3.10) ~
)' wx(#. ) ) ,1 ) ' yz#. )
/C )' ~
/C
A
{|}
oraz z rys. 2 #. #$ ,1 ) ' ~
/ stosujemy tożsamości (3.12) ~
,1 ) '
yz#. yz? wx#. wx? 0
'
,1 ) '
k)'yz#. wx#. ,1 ) ' l 0
'
' wx#. ',1 ) ' yz#. ,1 ) ' k)'yz#. wx#. ,1 ) ' l 0
/ wymnażamy trzeci wyraz powyższego równania
' wx(#. ) ',1 ) ' yz#. ) ',1 ) ' yz#. 1 ) ' wx#. 0
Redukując wyrazy w ostatniej zależności możemy zapisać warunek na zerowanie
się pierwszej pochodnej względem czasu równania (3.9):
sin#. 0.
(3.12)
#. w,
(3.13)
Na podstawie równania (3.12) oraz tego, że funkcja sin przyjmuje wartość
równą zero w punktach w, w 0,1,2, …
Pierwsza wartość maksymalna, a więc maksymalne przeregulowanie, wystąpi dla
w 1, stąd czas odpowiadający amplitudzie maksymalnej odpowiedzi układu o cha-
rakterze oscylacyjnym jest dany wzorem:

`

,E! .
(3.14)
Analizowana funkcja us przyjmie na przemian wartości minimalne i maksymal
dla w 2,3,4 … .
ne w punktach: , ,E!
Jeśli zauważymy, że odpowiedź ustalona zbiega do 1, a więc w 1, to maksymalne przeregulowanie będzie jak następuje:
13
14
r ) ()
1
bcd)'#$
wx jk#$ ,1 ) ' l ) ?m ) 1
,1 ) '
1

bcd )'#$

wx k#$ ,1 ) ' l
) ? #$ ,1 ) '
#$ ,1 ) ' ,1 ) '
bcd )
'
,1 ) '

1
,1 ) '
Na rysunku 4 przyjęto (dla przykładu), że rozwiązanie ustalone otrzymamy wtedy, gdy amplituda znajdzie się w przedziale *0.05 1.05, dlatego czas wyznaczający
chwilę przejścia od odpowiedzi przejściowej do ustalonej określa się ze wzoru
1 !
,E! )
wx ) ?
.
(3.15)
Przyjęto zapisywać maksymalne przeregulowanie r w procentach, dlatego
r%
%.
1.05,
,E! (3.17)
Dla standardowych wartości współczynnika tłumienia 0.4 f ' f 0.8, stąd
Następnie stosując tożsamość trygonometryczną wx ) ? wx ?, oraz wzory
(3.10), tzn., że wx ? ,1 ) ' otrzymuje się:
r exp )
E! (3.16)
!
ln0.05,1 ) '
q
!
.
(3.18)
Czas narastania t jest zdefiniowany jako czas potrzebny na zmianę wartości amplitudy odpowiedzi skokowej układu od 0.1 do 0.9 wartości ustalonej .
3.3. Odpowiedź przejściowa układów wyższych rzędów – uwaga
W poprzednim punkcie odnotowaliśmy, że możliwe jest wyznaczenie dokładnego
rozwiązania analitycznego układu oscylacyjnego drugiego rzędu. W przypadku układów wyższych rzędów, nie jest możliwe znalezienie takiego rozwiązania w sposób dokładny (czasami można to wykonać stosując pewne przybliżenia), dlatego do układów
tego typu stosuje się pewne uproszczenia nie wpływające w sposób znaczący na charakter odpowiedzi impulsowej czy skokowej. Jednym z takich przybliżeń jest rugowa-
15
16
nie postaci (postać jest czasami określana jako mod) odpowiedzi, które mają coraz
mniejsze znaczenie w miarę upływu czasu (takich, które szybko zanikają).
Szczególnie ważnym przypadkiem jest ten, dla którego układ stabilny asymptotycznie posiada parę biegunów zespolonych sprzężonych (wartości własnych) leżących
bliżej osi urojonej niż pozostałe (tablica: mały rysunek poglądowy). Bieguny transmitancji układu zamkniętego leżące daleko na lewo od osi urojonej o ujemnych częściach rzeczywistych, powodują, że odpowiadające im mody postaci bcd( ), gdzie
jest ujemną częścią rzeczywistą bieguna, szybko zanikają (zbiegają do zera). Konsekwencją tego jest to, że dominujący wkład do amplitudy odpowiedzi w miarę upływu
czasu mają mody odpowiadające biegunom zespolonym sprzężonym umiejscowionym
blisko (w stosunku do pozostałych) osi urojonej płaszczyzny zespolonej. Taką zależność prześledzimy na przykładzie.
Przykład. Załóżmy, że transmitancja układu dana jest następującym wzorem:
wyżej wyjaśnienia, pomijamy bieguny daleko oddalone na płaszczyźnie zespolonej od
( )
osi urojonej i przyjmujemy, że () (Eg)(g).
y(t)
3
(1):yaproksymowane(t), (2):ydokladne
(2)
2.5
(1)
2
1.5
1
0.5
( )
() (Eg)(g)()(), wyłączając liczby 40 i 50 przed odpowiednie nawiasy i
skracając z licznikiem otrzymamy () 3.5
( )
. Z uwagi na podane

(Eg)(g)k lk l

0
0
1
2
3
4
5
6
czas t [sekundy]
Rysunek 5. Porównanie odpowiedzi skokowej układu aproksymowanego (1)
i dokładnego (2).