Wykład 5. Regulator PID i inne regulatory dyna

1
Wykład 5. Regulator PID i inne regulatory dynamiczne
W praktyce do sterowania układami opisanymi transmitancjami niższych rzędów stosuje się regulację PID (skrót pochodzi od pierwszych liter słów angielskich Proportional, Integral, Derivative), bądź często jej odmiany takie jak: P, I, PI, PD i PD z członem
różniczkującym rzeczywistym. Ponadto, można wyróżnić kilka odmian regulatora typu PI, takich jak np. regulatory opóźniające, przyspieszające i opóźniającoprzyspieszające fazę sygnału w pętli sprzężenia zwrotnego.
ܹ(‫)ݏ‬
regulator
‫ܩ‬௥ (‫)ݏ‬
ܷ(‫)ݏ‬
ܼ(‫)ݏ‬
obiekt regulacji
‫ܩ‬௣ (‫)ݏ‬
ܻ(‫)ݏ‬
Rysunek 1. Układ regulacji z zaznaczeniem regulatora i sygnałem uchybu włączonym na wejściu obiektu regulacji.
2
Poniżej rozpatrzymy właściwości i zastosowanie regulatorów dynamicznych, które
włącza się w układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym pokazany na rysunku 1.
5.1. Regulator typu PID
Równania regulatora PID z idealną częścią rzeczywistą:
‫݇ = )ݐ(ݑ‬௣ ቂ݁(‫ )ݐ‬+
ଵ ௧
‫߬݀)߬(݁ ׬‬
்೔ ଴
+ ܶௗ
ௗ௘(௧)
ቃ,
ௗ௧
(5.1)
oraz odpowiednio w postaci transmitancji Laplace’a
௎(௦)
ଵ
ଵ
‫ܩ‬௉ூ஽ (‫ = )ݏ‬ா(௦) = ݇௣ ቀ1 + ் ⋅ ௦ + ܶௗ ‫ݏ‬ቁ = ܲ(‫ )ݏ‬+ ‫ )ݏ(ܫ‬+ ‫)ݏ(ܦ‬,
(5.2)
೔
gdzie ݇௣ jest stałą wzmocnienia, ܶ௜ jest czasem zdwojenia, ܶௗ jest czasem wyprzedzenia (patrz rysunek 2).
Składnik proporcjonalny P - generuje sygnał sterujący proporcjonalny do uchybu
regulacji zapewniając szybką regulację przy małej dokładności statycznej.
Składnik całkujący I – generuje sygnał sterujący proporcjonalny do całki z uchybu
regulacji. Sygnał sterujący może być niezerowy nawet przy ݁(‫ )ݐ‬chwilowo równym zero. Zaletą tego składnika jest to, że wprowadza regulację astatyczną (tzn., że uchyb
P. Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
P. Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
3
ustalony jest równy zero), natomiast wadą jest to, że powoduje wydłużenie czasu regulacji i pogarsza stabilność odpowiedzi wyjściowej (z uwagi na ujemne przesunięcie
fazowe).
Składnik różniczkujący D – generuje sygnał sterujący proporcjonalny do pochodnej uchybu regulacji. Przyspiesza regulację i poprawia stabilność odpowiedzi wyjściowej wprowadzając dodatnie przesunie fazowe (jest to tzw. działanie forsujące). Składnik tego typu stosuje się w celu polepszenia odpowiedzi przejściowej układu regulacji.
4
݁(‫ = )ݐ‬૚(‫ – )ݐ‬uchyb regulacji
݁(‫ – ݐ = )ݐ‬uchyb regulacji
1
‫݇݁ݏ[ݐ‬. ] – czas
0
‫݇݁ݏ[ݐ‬. ] – czas
0
‫ – )ݐ(ݒ‬odpowiedź liniowo-czasowa regulatora PD
ℎ(‫ – )ݐ‬odpowiedź skokowa regulatora PI
2݇௣
ߙ = arctan
݇௣
0
ܶ௜
݇௣
ܶ௜
‫ݐ‬
(ܽ)
ߙ = arctan ݇௣
݇௣
ܶ஽
0
ܶ஽
‫ݐ‬
(ܾ)
Rysunek 2. Graficzna interpretacja a) czasu zdwojenia Ti na wykresie odpowiedzi skokowej
regulatora PI oraz b) czasu wyprzedzenia Td na wykresie odpowiedzi liniowo-czasowej
regulatora typu PD.
P. Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
P. Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
5
Na podstawie powyższego, regulator typu PID można stosować do polepszenia
odpowiedzi przejściowej i zmniejszenia uchybu statycznego regulacji.
‫ – )߱(݉ܮ‬częstotliwościowa charakterystyka logarytmiczna
6
Celem zapewnienia właściwego tłumienia odpowiedzi układu regulacji składnik ࡰ
w równaniu (5.2) występuje w kombinacji ze składnikiem ࡼ lub ࡼࡵ. W praktyce nie
jest możliwe zbudowanie idealnego człony różniczkującego, dlatego projektuje się regulatory z częścią rzeczywistą wprowadzającą pewną inercję:
் ௦
‫ܦ‬ூ (‫ = )ݏ‬೅೏ ೏ ,
݇௣
1
ܶ௜
ߨ
2
0
−
log ߱
1
ܶ஽
߶(߱) – częstotliwościowa charakterystyka fazowa
߱଴ =
1
ඥܶ௜ ܶ஽
log ߱
ߨ
2
Rysunek 3. Charakterystyki częstotliwościowe: a) amplitudowa, b) fazowa regulatora ࡼࡵࡰ.
a)
ೖ೏
(5.3)
௦ାଵ
gdzie ݇ௗ jest bezwymiarową stałą (zmieniającą się w zakresie 1 ÷ 30) wpływającą
na spłaszczenie przebiegu charakterystyki amplitudowo-fazowej na wykresie Nyquista
w zakresie wyższych częstotliwości (patrz rysunek 4).
Należy podkreślić, że jeśli regulacja ࡼࡵࡰ nie spełnia wymagań projektowych, to w
pierwszym podejściu, do rozwiązania zadania sterowania należy włączyć dodatkowe
dynamiczne człony korekcyjne.
Zastosowanie regulatora ࡼࡵࡰ i dobór jego parametrów zostanie omówiony na
podstawie załączonego zadania ćwiczeniowego.
P. Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
P. Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
7
8
b)
licznik=[2 0];
mianownik=[0.1 1];
sys=tf(licznik, mianownik);
w=linspace(0,1000,10000);
nyquist(sys,w);
‫)߱(݉ܮ‬
݇஽
݇௣
ߨ ߶(߱)
2
0
Rysunek 4. (a) charakterystyka amplitudowo-fazowa Nyquista członu różniczkującego
z inercją ࡰࡵ (࢙), stałe: ࢀࢊ = ૛, ࢑ࢊ = ૛૙, (b) polecenia Matlaba prowadzące
do wygenerowania tej charakterystyki.
Po uwzględnieniu rzeczywistego składnika różniczkującego, możemy wykonać ponownie charakterystyki amplitudowe i fazowe rzeczywistego regulatora ࡼࡵࡰ (patrz
rysunek 5).
P. Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
−
1
ܶ௜
1
ܶ஽
݇஽
ܶ௜
log ߱ (ܽ)
log ߱
ߨ
2
(ܾ)
Rysunek 5. Przykładowe charakterystyki częstotliwościowe: (a) amplitudowa oraz (b) fazowa
rzeczywistego regulatora PID.
P. Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
9
(ܾ)
ℎ(‫)ݐ‬
(ܽ)
ߙ = arctan
݇௣
10
Jeśli ‫݌ > ݖ‬, to pomiędzy kątami fazowymi wektorów ߠ௭ = arg (‫ ݏ‬+ ‫ )ݖ‬i
ߠ௣ = ܽ‫ ݏ( ݃ݎ‬+ ‫ )݌‬mierzonych w układzie współrzędnych zespolonych pomiędzy osią
rzeczywistą a wektorem poprowadzonym odpowiednio od zera i bieguna transmitancji ‫ܩ‬௢௙ (‫ )ݏ‬do punktu ‫ ݏ‬na płaszczyźnie zachodzi zależność ߠ௣ > ߠ௭ . Z drugiej strony,
na podstawie wzoru (5.4)
(5.5)
arg ‫ܩ‬௢௙ (‫ = )ݏ‬arg(‫ ݏ‬+ ‫ )ݖ‬− arg(‫ ݏ‬+ ‫ߠ = )݌‬௭ − ߠ௣ < 0.
݇௣
ܶ௜
‫ݐ‬
Korektor opóźniający fazę jest stosowany w celu zmniejszenia uchybu ustalonego.
0
Rysunek 6. Odpowiedź skokowa (a) idealnego oraz (b) rzeczywistego regulatora PID.
Analogicznie do punktu 5.2.1 korektor przyspieszający fazę wprowadza dodatnie
przesunięcie fazowe do pętli sprzężenia zwrotnego i dany jest transmitancją:
5.2. Inne regulatory dynamiczne
௦ା௭
5.2.1 Korektor opóźniający fazę
Pewnym uogólnieniem regulatora typu PI jest tzw. korektor opóźniający fazę i wprowadzający ujemne przesunięcie fazowe do pętli sprzężenia zwrotnego dany transmitancją:
‫ܩ‬௢௙ (‫= )ݏ‬
௣ ௦ା௭
,
௭ ௦ା௣
gdzie ‫ > ݌ > ݖ‬0,
5.2.2 Korektor przyspieszający fazę
௣
௭
jest stałą opóźnienia.
P. Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
‫ܩ‬௣௙ (‫ = )ݏ‬௦ା௣, gdzie ‫ > ݖ > ݌‬0.
arg ‫ܩ‬௣௙ (‫ = )ݏ‬arg(‫ ݏ‬+ ‫ )ݖ‬− arg(‫ ݏ‬+ ‫ߠ = )݌‬௭ − ߠ௣ > 0.
(5.6)
(5.7)
Korektor przyspieszający fazę jest stosowany do polepszenia odpowiedzi przejściowej.
(5.4)
P. Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej