Analiza kinematyczna metodami numerycznymi

ZAKŁAD TEORII
LABORATORIUM
MECHANIZMÓW I
Z TEORII
MANIPULATORÓW
MECHANIZMÓW I MASZYN
TEMAT: Analiza kinematyczna mechanizmów metodami
numerycznymi
INSTYTUT
KONSTRUKCJ
MASZYN
NR ĆW.:
1. WPROWADZENIE
Do wyznaczania parametrów kinematycznych mechanizmów (prędkości, przyspieszenia)
oraz innych wielkości jak np. krzywizna toru, można wykorzystać metodę różnic
skończonych. Jej idea sprowadza się do zastąpienia nieskończenie małych przyrostów
występujących w rachunku różniczkowym, wielkościami małymi ale skończonymi (czyli
zastosowaniem rachunku różnicowego).
s
Pojęcie analogu prędkości oraz analogu przyspieszenia zostanie przedstawione na przykładzie
mechanizmu krzywkowego.
ds
Analog prędkości (prędkość geometryczna) s' =
dα
Wiedząc, że przemieszczenie popychacza s zależy od kąta
y
obrotu krzywki α, a ten jest zależny od czasu t co zapisać
w postaci
B
s = s[α ( t )] .
Różniczkując powyższą zależność po czasie otrzymujemy
A
ω
d s d s dα
α
=
= s' ω
dt dα dt
O
x gdzie:
ω – prędkość kątowa krzywki.
Rys. 1 Mechanizm
Analog przyspieszenia (przyspieszenie geometryczne) –
krzywkowy
zwane
również
charakterystyką
mechanizmu
krzywkowego s ′′ =
d 2s
dα 2
Różniczkując po czasie zależność na prędkość popychacza otrzymujemy
2
d 2 s d  d s d α  d 2 s  dα 
ds d 2α
=
=
+
=




dt 2 dt  dα dt  dα 2  dt 
dα dt 2
= s" ω 2 + s ' ε
gdzie:
ε – przyspieszenie kątowe krzywki.
Jeśli ω = const to:
d 2s
= s" ω 2 .
2
dt
2. CEL I ZAKRES ĆWICZENIA
Celem ćwiczenia jest przedstawienie praktycznego zastosowania metody różnic
skończonych do analizy kinematycznej mechanizmów. Ćwiczenie będzie obejmowało
wyznaczanie analogów prędkości i przspieszenia na podstawie pomiarów położeń ogniw.
3. PRZEBIEG ĆWICZENIA
•
Wyznaczanie analogów prędkości i przyspieszenia popychacza w mechanizmach
krzywkowych
4
y
e
2
ω
1
x
1 - krzywka
3
2 - popychacz
3 - kątomierz
4 - czujnik zegarowy
Rys. 2. Schemat stanowiska pomiarowego
1. Zmierz mimośród ustawienia popychacza w stosunku do osi obrotu krzywki (e), zanotuj
jaki jest zastosowany popychacz (ewentualnie dokonaj pomiaru średnicy rolki), zmierz
również wymiary gabarytowe krzywki (rmin , rmax), wykonaj szkic stanowiska pomiarowego
z zaznaczeniem głównych wymiarów.
2. Dokonaj pomiaru wzniosu popychacza w funkcji kąta obrotu krzywki (co 10o).
3. Wylicz si' oraz si" wyniki zapisz w tabeli 1.
Tabela 1.
i
si
αι
αι
si'
si"
[-]
[deg]
[rad]
[m]
[m/rad]
[m/rad2]
0
0=360
1
10
2
20
...
...
...
...
35
350
36
360=0
4. Sporządź wykresy si(αι), si' (αι), si" (αι) (gdzie: αι - jest kątem obrotu krzywki).
5. Wyciągnij wnioski z przeprowadzonego ćwiczenia
Uwaga analogi prędkości i przyspieszenia wylicz z zależności:
s −s
s − 2 ⋅ s i + s i −1
si' = i +1 i −1 ,
si" = i +1
.
2 ⋅ ∆α
∆α 2
•
Wyznaczanie analogów prędkości i przyspieszenia dowolnego punktu mechanizmu
płaskiego
1. Zmierz wymiary podstawowe mechanizmu, wykonaj szkic stanowiska pomiarowego z
zaznaczeniem głównych wymiarów oraz przyjętego układu współrzędnych.
2. W przyjętym stałym układzie współrzędnych wyznacz położenia zadanego punktu
mechanizmu dla określonych położeń ogniwa napędowego. Przykładowy mechanizm
przedstawiono na rys. 3, zaś powiększony wykres toru punktu P na rys. 4.
tor punktu P
y
P
C
2
α
3
x
B
D
1
Rys. 3. Schemat badanego mechanizmu
y
yi
Pi+1
Pi-1 Pi
x
xi
Rys. 4. Tor punktu P
3. Wylicz składowe analogu prędkości i analogu przyspieszenia xi' , yi' , x"i , y "i wyniki zapisz
w tabeli 2.
Uwaga analogi prędkości i przyspieszenia wylicz z zależności:
x i + 1 − x i −1
y − y i −1
, yi' = i +1
,
2 ⋅ ∆α
2 ⋅ ∆α
x − 2 ⋅ xi + xi −1
y − 2 ⋅ yi + yi −1
xi" = i +1
, yi" = i +1
.
2
( ∆α )
( ∆α ) 2
xi' =
4. Sporządź wykresy yi ( xi ) , xi' ( α i ) , yi' ( α i ) , x"i ( α i ) , yi" ( α i ) (gdzie: αι - jest kątem obrotu
ogniwa napędowego.
Tabela 2.
i
αι
[-]
0
1
2
...
...
35
36
[deg]
0=360
10
20
...
...
350
360=0
αι
xi
yi
[rad]
[m]
[m]
xi'
[m/rad]
yi'
x"i
yi"
[m/rad] [m/rad2] [m/rad2]
5. Wyciągnij wnioski z przeprowadzonego ćwiczenia
4. PYTANIA KONTROLNE
1. Sposoby oceny poprawności otrzymanych wyników (pochodzących z metody różnic
skończonych)
2. Metody „wygładzania” wykresów prędkości i przyspieszenia otrzymanych z metody różnic
skończonych
3. Przykłady zastosowania metody różnic skończonych do analizy kinematycznej
mechanizmów, wyznaczanie podstawowych parametrów kinematycznych
4. Założenia metody aproksymacji, warunki brzegowe dla badanego mechanizmu
krzywkowego
5. Funkcje typu „spline” - warunki sklejania
6. Analog prędkości i przyspieszenia
7. Podstawowe wiadomości o metodzie różnic skończonych
5. LITERATURA
[1] - Młynarski T., Listwan A., Pazderski E.: Teoria maszyn i mechanizmów, cz. III Analiza
kinematyczna mechanizmów, Politechnika Krakowska, Kraków 1992, (str. 269-288).
[2] - Olędzki A.: Teoria maszyn i mechanizmów, WNT, Warszawa 1987, str. 54-58
WZÓR ARKUSZA SPRAWOZDAWCZEGO
INSTYTUT
KONSTRUKCJI
MASZYN
NR ĆW.:
Rok akad. ................
Grupa: .....................
Zespół: ....................
LABORATORIUM
z TEORII
MECHANIZMÓW I MASZYN
TEMAT:
ZAKŁAD TEORII
MECHANIZMÓW I
MANIPULATORÓW
Członkowie zespołu:
1. ...............................................
2. ...............................................
3. ...............................................
Data: .......................
1. Schemat i opis stanowiska pomiarowego
2. Zestawienie wyników pomiarów
3. Opracowanie wyników pomiarów (zgodnie z instrukcją do ćwiczenia)
4. Wnioski