Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia

Teoria na egzamin z algebry liniowej
Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady , ewentualnie kontrprzykłady.
Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone.
Liczby zespolone. Płaszczyzna Gausssa, postać trygonometryczna liczby zespolonej. Pierwiastkowanie, pierwiastki z jedności. wzór de Moivre’a. Równanie kwadratowe. Zasadnicze twierdzenie algebry.
Przestrzeń liniowa. Podprzestrzeń. Niezależność liniowa. Tw. wektory są liniowo niezależne ⇐⇒
jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych (dowód). Podprzestrzeń kombinacji liniowych L(A). Tw.
Część wspólna podprzestrzeni jest podprzestrzenią (dowód).
Baza przestrzeni. Tw. układ wektorów jest bazą ⇐⇒ każdy wektor jest ma jednoznaczny rozkład (dowód). Tw.Każda p-ń posiada bazę. Tw. Każde dwie bazy są równoliczne. Wymiar. Tw. Baza = minimalny
układ generatorów= maxymalny podzbiór liniowo niezależny.
Przekształcenia liniowe. Tw. suma, złożenie odzwzorowań liniowych jest odwzorowaniem liniowym
(dowód). Tw. Odwzorowanie liniowe jest różnowartościowe ⇐⇒ Ker(f ) = 0 (dowód). Macierz odwzorowania liniowego. Izomorfizm. Tw.Każde dwie przestrzenie liniowe tego samego wymiaru są izomorficzne
(dowód).Wniosek Każda p-ń n-wymiarowa jest izomorficzna z Kn (dowód). Rząd odwzorowania liniowego.
Tw. dimKer(f ) + dimf (V ) = dimV .
Macierze. Działania na macierzach: dodawanie, mnożenie, macierz transponowana, macierz nieosobliwa, macierz odwrotna. Macierz przejscia. Wyznaczanie macierzy odwzorowania liniowego w nowej bazie.
Operacje elementarne na macierzach). Wyznaczanie macierzy odwrotnej za pomocą operacji elementarnych.
Wyznaczniki (definicja). Znak permutacji. Definicja wyznacznika. Rozwinięcie Laplace’a. Oblicznie
wyznaczników poprzez rozwijanie względem wierszy (kolumn). Tw. det(AB) = detAdetB. Tw. Cramera
(układ równań n × n). Tw. A posiada macierz odwrotną ⇐⇒ detA 6= 0(dowód). Tw.Rząd odwzorowania
f = rzędowi jego macierzy A (rząd A= dim(im)f ). Tw. Kroneckera-Capellego rozwiązywanie układów
równań. Metoda eliminacji Gaussa.
Wartości własne Suma prosta przestrzeni. Wartość własna, wektor własny, wielomian charakterystyczny. Tw.wielomian charakterystyczny nie zależy od wyboru bazy (dowód). Tw. Każda macierz rzeczywista posiada wartość własną zespoloną (dowód). Tw.Jesli v1 , ..., vn są wektorami własnymi odpowiadającym
różnym wartościom własnym to są one liniowo niezależne (dowód dla n=2). Macierz odwzorowania liniowego w bazie wektorów własnych.
Formy kwadratowe. Odwzorowanie dwuliniowe. Wzory : f (x, y) = xT Ay , f ((x1 , ..., xn ), (y1 , ..., yn )) =
n
X
aij xi xj . Macierz odwzorowania w nowej bazie B = QT AQ. Forma kwadratowa φ(x) = f (x, x) ,
i,j=1
φ(x1 , ..., xn ) =
n
X
i=1
ai x2i +
X
2aij xi xj . Wyznaczanie postaci kanonicznej formy kwadratowej poprzez
1¬i<j¬
operacje elementarne na wierszach i kolumnach. Sygnatura i określonośc formy. Kryterium Sylwestera.
Iloczyn skalarny. Iloczyn skalarny, norma wektora, nierówność Schwartza. Kąt miedzy wektorami.
Ortogonalność. Tw. Pitagorasa. Podprzestrzeń ortogonalna. W = V ⊗ V ⊥ Tw.wektory parami prostopadłe
są liniowo niezależne. Ortogonalizacja Gramma-Schmidta. Rzut ortogonalny, jego własności (dowód).
1. Wektory v1 , ..., vn są liniowo niezależne zaś vn+1 nie jest ich kombinacją liniową. Czy układ
v1 , ..., vn , vn+1 musi być liniowo niezależny?
2. Dana jest macierz A ∈ Mm×n (K). Kiedy określone jest: (a) AT A , (b) AAT + 2AT A (c) (AT A)2
3. Odwzorowanie liniowe f : V → W nie jest różnowartościowe. Niech W0 ⊂ W będzie podprzestrzenią
liniową, V0 = f −1 (W0 ) i niech f0 : V0 → W0 będzie dane wzorem f0 (x) = f (x). Czy f0 może być
różnowartościowe?
4. Pokazać, że wektory v1 , ..., vn są liniowo zależne ⇐⇒ jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych.
5. Podać definicję kąta miedzy wektorami (w przestrzeni z iloczynem skalarnym). Obliczyć kąt między
wektorami (1, 1, 1, 1) , 1, 1, 1, −1)
6. Znaleźć bazę przestrzeni
V = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; 2x − y + 3z + t = 0; x + 2y + z − t = 0; 3x − 4y + 5t + 3z = 0}
7. Rozwiązać układ równań x − y + 2z − t = 1 ; 2x − 3y − z + t = −1 ; x + 7z − 4t = 4.


2 1 
8. Odwzorowanie liniowe f : R2 → R2 dane jest w bazie (2, −1) , (−3, 1) poprzez macierz A = 
.
3 1
Znaleźć macierz tego odwzorowania w bazie kanonicznej.
9. Podać bazę wektorów własnych odwzorowania f : R2 → R2 danego wzorem
f (x, y) = (0, 1x + 0, 8y; 0, 9x + 0, 2y)
1. Wektory v1 , ..., vn są liniowo niezależne zaś vn+1 nie jest ich kombinacją liniową. Czy układ v1 , ..., vn , vn+1
musi być liniowo niezależny?
2. Dane są niezerowe parami ortogonalne wektory v1 , v2 , v3 ∈ R3 . Wektor w ∈ R3 tworzy z nimi kąty
odpowiednio równe φ1 , φ2 , φ3 ∈ [0, π]. Wyrazić W jako kombinację liniową wektorów v1 , v2 , v3 .
3. Znaleźć bazę ortonormalną przestrzeni
V = {(x, y, z) ∈ R; 2x − y + 3z = 0; x + 2y + z = 0; 3x − 4y + 5z = 0}
4. Rozwiązać układ równań x − y + 2z − t = 1 ; 2x − 3y − z + t = −1 ; x + 7z − 4t = 4.


2 1 
5. Odwzorowanie liniowe f : R2 → R2 dane jest w bazie (2, −1) , (−3, 1) poprzez macierz A = 
.
3 1
Znaleźć macierz tego odwzorowania w bazie kanonicznej.
1. Dana jest macierz A ∈ Mm×n (K). Kiedy określone jest: (a) AT A , (b) AAT − AT A (c) det(AT A)
2. Niech f : V t W będzie odwzorowaniem ”na” (f (V ) = W ) oraz dimV = dimW + 1. Niech 0 6= v0 ∈ V
spełnia f (x) = 0. Pokazać, że jeśli podprzestrzeń V0 ⊂ V nie zawiera v0 to odwzorowanie f : V0 → W
jest wzajemnie jednoznaczne.
3. Pokazać, że L(A) (zbiór wszystkich kombinacji liniowych) jest najmniejszą podprzestrzenią linową
zawierającą A.
4. Pokazać, że wielomian charakterystyczny nie zależy od bazy. Czy zero może być wartością własną?
5. Znaleźć bazę przestrzeni
V = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; 3x + y + 2z − t = 0; x − y + z + 2t = 0; +5x + 3y + 3z − 4t = 0}
6. Rozwiązać układ równań −x − 3y + 2z + t = −1 ; 7x + z − 4t = 4 ; 2x − y + z − t = 1 .
7. Odwzorowanie
liniowe f : R2 → R2 dane jest w bazie (−1, −1) , (2, 3) poprzez macierz A =


1 −1 

. Znaleźć macierz tego odwzorowania w bazie kanonicznej.
2 1
8. Podać bazę wektorów własnych odwzorowania f : R2 → R2 danego wzorem
f (x, y) = (0, 4x + 0, 7y; 0, 6x + 0, 3y)
1. Wektory v1 , ..., vn są liniowo niezależne zaś vn+1 nie jest ich kombinacją liniową. Czy układ
v1 , ..., vn , vn+1 musi być liniowo niezależny?
2. Dane są niezerowe parami ortogonalne wektory v1 , v2 , v3 ∈ R3 . Wektor w ∈ R3 tworzy z nimi kąty
odpowiednio równe φ1 , φ2 , φ3 ∈ [0, π]. Wyrazić W jako kombinację liniową wektorów v1 , v2 , v3 .
3. Znaleźć bazę ortogonalną przestrzeni
V = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; 3x + y + 2z − t = 0; x − y + z + 2t = 0; +5x + 3y + 3z − 4t = 0}
4. Rozwiązać układ równań ; 2x + y + z + 2t = 2 ; 3x − y + 3z + 5t = 2 ; x + 3y − z − t = 2.


1 2 
5. Odwzorowanie liniowe f : R2 → R2 dane jest w bazie (1, −2) , (3, −1) poprzez macierz A = 
.
3 4
Znaleźć macierz tego odwzorowania w bazie kanonicznej.
6. Podać bazę wektorów własnych odwzorowania f : R2 → R2 danego wzorem
f (x, y) = (7x + 4y; 3x + 6y)
1. Wektory v1 , ..., vn , vn+1 są liniowo zależne zaś vn+1 nie jest kombinacją liniową pozostałych. Czy układ
v1 , ..., vn , vn+1 musi być liniowo zależny?
2. Dane są niezerowe parami ortogonalne wektory v1 , v2 , v3 ∈ R3 . Wektor w ∈ R3 tworzy z nimi kąty
odpowiednio równe φ1 , φ2 , φ3 ∈ [0, π]. Wyrazić W jako kombinację liniową wektorów v1 , v2 , v3 .
3. Znaleźć bazę ortogonalną przestrzeni
V = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; 5x + 3y + 3z − 4t = 0 3x + y + 2z − t = 0 x − y + z + 2t = 0}
4. Rozwiązać układ równań x + 3y − z − t = 2 ; 2x + y + z + 2t = 2 ; 3x − y + 3z + 5t = 2.


2 1 
5. Odwzorowanie liniowe f : R2 → R2 dane jest w bazie (2, −1) , (−3, 1) poprzez macierz A = 
.
3 1
Znaleźć macierz tego odwzorowania w bazie kanonicznej.
6. Podać bazę wektorów własnych odwzorowania f : R2 → R2 danego wzorem
f (x, y) = (6x + 3y; 4x + 7y)
1. Dla jakich wartości parametru a ∈ R wektor (a, 1) ∈ R2 jest kombinacją liniową wektorów (2, a2 ), (1, 2).
Kiedy kombinacja taka jest jednoznaczna?
2. Jakie warunki muszą spełniać liczby m, n, p, q ∈ N tak aby dla macierzy A ∈ Mm×n (R), B ∈
Mp×q (R) określone były: AB ; AB + BA ; AT A ; AT + AAT , det(AT A).
3. Rozwiązać układ równań: 2x − y − z + u = 1 , x + y + 2z + u = 2 , 3y + 5z + u = 3.
4. Zbadać określoność formy kwadratowej φ(x, y, z) = x2 + y 2 + 3z 2 + 2xy − 2xz − 4yz. Czy może ona
przyjmować wartości ujemne?
5. Znaleźć rzut prostopadły punktu (1, 1, 1) na podprzestrzeń V ⊂ R3 wyznaczoną przez wektory
(1, −1, 1) , (1, 1, −1).
6. Udowodnić , że układ wektorów przestrzeni liniowej jest liniowo niezależny ⇐⇒ jeden z nich jest
kombinacją liniową pozostałych. Podać przykład mówiący , że równoważność ta nie będzie prawdziwa
gdyby zamienić jeden z nich na każdy z nich?
1. Dla jakich wartości parametru a ∈ R wektor (a, 1) ∈ R2 jest kombinacją liniową wektorów (2, a2 ), (1, 2).
Kiedy kombinacja taka jest jednoznaczna?
2. Jakie warunki muszą spełniać liczby m, n, p, q ∈ N tak aby dla macierzy A ∈ Mm×n (R), B ∈
Mp×q (R) określone były: AB ; AB + BA ; AT A ; AT + AAT , det(AT A).
3. Rozwiązać układ równań: 2x − y − z + u = 1 , x + y + 2z + u = 2 , 3y + 5z + u = 3.
4. Zbadać określoność formy kwadratowej φ(x, y, z) = x2 + y 2 + 3z 2 + 2xy − 2xz − 4yz. Czy może ona
przyjmować wartości ujemne?
5. Znaleźć rzut prostopadły punktu (1, 1, 1) na podprzestrzeń V ⊂ R3 wyznaczoną przez wektory
(1, −1, 1) , (1, 1, −1).
6. Udowodnić , że układ wektorów przestrzeni liniowej jest liniowo niezależny ⇐⇒ jeden z nich jest
kombinacją liniową pozostałych. Podać przykład mówiący , że równoważność ta nie będzie prawdziwa
gdyby zamienić jeden z nich na każdy z nich?
1. Znaleźć bazę przestrzeni liniowej V i uzasadnić, że jest to baza.
V = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x − 2y + z − 3t = 0; 2x − y + z + t = 0; 5x − y + 2z + 6t = 0}
2. Odwzorowanie liniowe f : R2 → R2 ma wektory własne (2, 1) , (1, −2) oraz odpowiadające im
wartości własne 2 i −3. Obliczyć f (1, 0).
3. Podać rzut ortogonalny wektora (1, 5, −1) na podprzestrzeń V ⊂ R3 generowaną przez wektory
(1, 1, 3) , (2, 1, 4).
4. Znaleźć bazę ortonormalną przestrzeni V ⊂ R3 ortogonalnej do prostej (2t, t, −3t).
5. Sprowadzić do postaci kanonicznej formę dwuliniową f : R3 → R daną wzorem f (x, y, z) = 2x2 −
y 2 + z 2 + 4xy − 4xz. Wskazać bazę.
6. Dane jest odwzorowanie liniowe f : R4 → R3 wzorem f (x, y, z, t) = (x + y − z + t, x − y + z + t, x + t).
Podać bazy jądra i obrazu f .
7. Udowodnić, że układ wektorów jest liniowo niezależny ⇐⇒ jeden z nich jest kombinacją liniową
pozostałych.
8. Pokazać, że wielomian charakterystyczny nie zależy od wyboru bazy.
1. Znaleźć bazę przestrzeni liniowej V i uzasadnić, że jest to baza.
V = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x − y + z + 2t = 0; 6x − y + 2z + 5t = 0; −3x − 2y + z + t = 0}
2. Odwzorowanie liniowe f : R2 → R2 ma wektory własne (1, 2) , (2, −1) oraz odpowiadające im
wartości własne 3 i − + 2. Obliczyć f (1, 0).
3. Podać rzut ortogonalny wektora (−3, 3, −3) na podprzestrzeń V ⊂ R3 generowaną przez wektory
(1, 3, 1) , (2, 4, 1).
4. Znaleźć bazę ortonormalną przestrzeni V ⊂ R3 ortogonalnej do prostej (t, 2t, −t).
5. Sprowadzić do postaci kanonicznej formę dwuliniową f : R3 → R daną wzorem f (x, y, z) = x2 − y 2 +
2z 2 − 4xy + 4xz Wskazać bazę.
6. Dane jest odwzorowanie liniowe f : R4 → R3 wzorem f (x, y, z, t) = (−x+y +z +t, x−y +z +t, z +t).
Podać bazy jądra i obrazu f .
7. Pokazać ,że macierz kwadratowa posiada odwrotną ⇐⇒ jej wyznacznik jest różny od zera.
8. Pokazać , że każda macierz o wspólczynnikach rzeczywistych posiada wartość własną zespoloną.
Uzasadnić , że nie musi być to wartość rzeczywista.