Zestaw 1 1. Niech V będzie zbiorem liczb rzeczywistych dodatnich

Zestaw 1
1. Niech V będzie zbiorem liczb rzeczywistych dodatnich. Określamy działania ⊕ oraz ◦:
∀u, v ∈ V u ⊕ v = u · v,
∀v ∈ V, ∀k ∈ R k ◦ v = v k
Udowodnić, że V z tak określonymi działaniami jest przestrzenią liniową nad
ciałem R.
2. W zbiorze R2 określamy działania:
(x1 , x2 ) + (y1 , y2 ),
k(x1 , x2 ) = (kx1 , x2 )
Czy R2 z tak określonymi działaniami jest przestrzenią liniową?
3. Które z poniższych zbiorów są podprzestrzeniami przestrzeni R4 :
V1 = {(x, y, z, t) : x + y + z + t = 0, x + 2y + z = 0},
V2 = {(x, y, z, t) : x + y = 0},
V3 = {(x, y, z, t) : x − 2y + 3z = 1, x + 2y = 0},
V4 = {(x, y, z, t) : x + y + z = 0, x + z = 0, x + 2y = 0, 3x + z = 0},
V5 = {(x, y, z, t) : x2 + y 2 = 0},
V6 = {(x, y, z, t) : x2 + y 2 = 1}.
4. Wykazać, że jeśli ciało jest nieskończone, to każda niezerowa przestrzeń
liniowa nad tym ciałem też jest nieskończona.
5. Podać przykład skończonej niezerowej przestrzeni liniowej. Podać przykład
nieskończonej przestrzeni liniowej nad ciałem skończonym.
6. Które z poniższych podzbiorów przestrzeni C3 są podprzestrzeniami:
V1 = {(x, y, z, t) : x = t},
V2 = {(x, y, z, t) : Argx = Argy = Argz = Argt}
V3 = {(x, y, z, t) : |x| = |y| = |z| = |t|}.
7. Udowodnić, że jeśli u i v są wektorami, a α, β skalarami to równość
αu + βv = αv + βu zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy v = u.
8. Udowodnić, że W jest podprzestrzenią przestrzeni V wtedy i tylko wtedy
gdy ∀w, u ∈ W, ∀k ∈ K w + ku ∈ W .
1
9. Udowodnić, że zbiór ciągów (xn )n∈N spełniających warunek Cauchy’ego:
∀ ε > 0 ∃N ∈ N ∀n, k > N |xn − xk | < ε
jest podprzestrzenią przestrzeni RN .
10. Dla jakich wartości α z liniowej niezależności wektorów u i v wynika
liniowa niezależność wektorów αu + v i αv + u.
11. Dla jakich wartości α z liniowej niezależności wektorów v1 , v2 , . . . , vn
wynika liniowa niezależność wektorów v1 + v2 , v2 + v3 , . . . , vn + αv1 .
12. Udowodnić, że wektory v, u, w, z są liniowo niezależne wtedy i tylko
wtedy gdy wektory v + u + w + z, v + u + 2z, v + 2w + z, w + z − u są liniowo
niezależne.
13. Dla jakiej wartości parametru α wektory
(1, 0, 1, −1), (1, α, 1, 1), (0, −1, 1, 1), (1, −1, 1, 0)
są liniowo niezależne.
14. Niech v1 , v2 , . . . , vn będą liniowo zależnymi wektorami przestrzeni liniowej
nad nieskończonym ciałem i niech y będzie kombinacją liniową wektorów v1 ,
v2 , . . . , vn . Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele sposobów przedstawienia
y jako liniowej kombinacji wektorów v1 , . . . , vn .
15. Czy wielomiany 1, x − 1, (x − 1)2 , . . . , (x − 1)n tworzą bazę przestrzeni
wielomianów stopnia ¬ n?
16. Do trójki wektorów (1, 1, 1, 0), (1, −1, 0, 1), (1, 0, 0, −1) dobrać czwarty
wektor, tak aby tworzyły one bazę przestrzeni R4 .
17. Czy można uzupełnić do bazy przestrzeni R4 trójkę wektorów (1, 2, 3, 4),
(1, 2, 1, −1), (5, 10, 9, 5)?
18. Znaleźć bazy i obliczyć wymiary wszystkich zbiorów, które są podprzestrzeniami w zadaniu 3. Znaleźć bazy i wymiary wszystkich podprzestrzeni
postaci Vi +Vj i Vi ∩Vj dla wszystkich podprzestrzeni z poprzedniego zadania.
19. Wyznaczyć bazy i wymiary przestrzeni U , V , U + V , U ∩ V , gdzie:
2
(a)
U = lin{(1, 0, −1, 1), (1, 1, 0, 1), (3, 2, −1, 3), (5, 3, −2, 5)},
V = lin{(2, 1, 0, 1), (3, 1, −1, 2), (7, 3, −1, 4)},
(b)
U = lin{(1, 1, −1, 1), (1, 1, 0, 1), (3, 2, −1, 3), (5, 4, −2, 5)},
V = lin{(2, 1, 0, 1), (3, 1, −1, 2), (7, 3, −1, 4)}.
3