Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu Matematyka MAP3032

Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu Matematyka
MAP3032
E/AiR, rok IV, 6 VI 2013, godz.17:05
1. Podać definicję bazy przestrzeni liniowej.
Znaleźć bazę i wymiar przestrzeni liniowej:
V = {...}.
Definicja 1p
Podanie bazy 2p
Podanie wymiaru 1p
Uzasadnienie (niezależność wektorów, rozpinanie przestrzeni) 1p
2. Podać definicję funkcjonału liniowego.
Znaleźć macierz przekształcenia liniowego L : R2 → R4 danego wzorem
L(x, y) = (...),
gdy w R2 przyjmiemy bazę standardową, a w R4 bazę {...}.
Definicja 1p
Macierz w bazach standardowych 2p
Macierz w zmienionej bazie obrazu 2p
(Oczywiście można od razu wyliczyć i zapisać końcową macierz)
3. Podać definicję przestrzeni unitarnej.
W przestrzeni V wyznaczyć normy elementów
x̄ = (...)
ȳ = (...)
i obliczyć odległość między nimi.
Definicja 1p
Normy 2p
Odległość 2p
4. Podać definicję szeregu Fouriera.
W przestrzeni l2 dany jest układ wektorów
A = {...}.
Sprawdzić, że jest to układ ortonormalny.
Obliczając współczynniki Fouriera elementu x̄ = (...) względem podanego układu,
znaleźć rzut x̄ na podprzestrzeń lin(A).
Definicja 1p
Ortogonalność wektorów z układu 1p
Sprawdzenie, że ich normy wynoszą 1 1p
Obliczenie współczynników Fouriera 1p
Znalezienie rzutu
Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu Matematyka
MAP3032
E/AiR, rok IV, 5 VI 2013, godz.19:00
1. Podać definicję bazy przestrzeni liniowej.
Znaleźć bazę i wymiar przestrzeni liniowej V złożonej z macierzy ...
Definicja 1p
Podanie bazy 2p
Podanie wymiaru 1p
Uzasadnienie (niezależność wektorów, rozpinanie przestrzeni) 1p
2. Podać definicję funkcjonału liniowego.
Znaleźć macierz przekształcenia liniowego L : R3 → R3 danego wzorem
L(x, y, z) = (...),
gdy w dziedzinie przyjmiemy bazę standardową, a w obrazie bazę
B = {...}.
Definicja 1p
Macierz w bazach standardowych 2p
Macierz w zmienionej bazie obrazu 2p
(Oczywiście można od razu wyliczyć i zapisać końcową macierz)
3. Podać definicję przestrzeni unitarnej.
W przestrzeni V wyznaczyć normy elementów
x̄ = (...)
ȳ = (...)
i obliczyć odległość między nimi.
Definicja 1p
Normy 2p
Odległość 2p
4. Obliczyć całkę Lebesgue’a z funkcji f (x) = ... oznacza funkcję charakterystyczną
odcinka [0, 3], względem miary
µ(A) = ...
Wynik 4p
Uzasadnienie 1p