Zamiana zmiennych w całce podwójnej. Współrzędne biegunowe.
Transkrypt
Zamiana zmiennych w całce podwójnej. Współrzędne biegunowe.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr¦cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 8. Zamiana zmiennych w caªkach podwójnych. Wspóªrz¦dne biegunowe. Jakobian. Zamiana zmiennych Je±li obszar nie jest normalny, to cz¦sto mo»na sprowadzi¢ go do normalnego odpowiednim pod- x = x(u, v), y = y(u, v) i zachodzi ZZ f (x(u, v), y(u, v)) |J(u, v)| dudv, f (x, y) dxdy = stawieniem. Podstawienie jest postaci ZZ D0 D gdzie D0 jest obszarem w nowych zmiennych u, v , za± |J(u, v)| jest moduªem jakobianu, czyli wyznacznika macierzy pochodnych cz¡stkowych: ∂x (u, v) ∂u J(u, v) = ∂y (u, v) ∂u ∂x (u, v) ∂v ∂y (u, v) ∂v Twierdzenie Je±li • odwzorowanie (x, y) 7→ (x(u, v), y(u, v)) szaru regularnego • pochodne cz¡stkowe obszar • f • D D 0 na wn¦trze obszaru regularnego ∂x ∂x ∂y ∂y , , , ∂u ∂v ∂u ∂v D s¡ ci¡gªe na pewnym zbiorze otwartym zawieraj¡cym D, J(u, v) to jest ró»ny od zera wewn¡trz obszaru ZZ D0 , ZZ f (x(u, v), y(u, v)) · |J(u, v)|du dv. f (x, y) dxdy = D0 D Przykªad przeksztaªca wzajemnie jednoznacznie wn¦trze ob- , jest ci¡gªa na jakobian 0 ZZ (x + y) dxdy Obliczy¢ caªk¦ po obszarze D D : 2 ≤ 2x + y ≤ 3, −1 ≤ x − y ≤ 1. Narzucaj¡cym si¦ podstawieniem jest uiv 2x+y = u, x−y = v . Wówczas bowiem w nowych zmiennych obszar b¦dzie normalny, a nawet b¦dzie prostok¡tem D0 : 2 ≤ u ≤ 3, −1 ≤ v ≤ 1. 1 Musimy jeszcze obliczy¢ jakobian. W tym celu ªatwo wyznaczamy, »e x= u+v 3 oraz y= u − 2v , 3 a st¡d 1 ∂x 1 ∂y 1 ∂y −2 ∂x = , = , = , = , ∂u 3 ∂v 3 ∂u 3 ∂v 3 zatem jakobian wynosi 1 3 J(u, v) = 1 3 1 3 1 =− 3 −2 3 Nasza caªka jest wi¦c równa ZZ ZZ (x+y) dxdy = u + v u − 2v + 3 3 ZZ |J(u, v)| dudv = D0 D 2u − v 1 1 · dudv = 3 3 9 D0 Z3 2 Z1 (2u − v) dv du. −1 Wspóªrz¦dne biegunowe w caªkach podwójnych. Jedn¡ z najbardziej typowych zmian zmiennych jest przej±cie do wspóªrz¦dnych biegunowych. Denicja Poªo»enie punktu • ϕ P na pªaszczy¹nie mo»na opisa¢ par¡ liczb oznacza miar¦ k¡ta mi¦dzy dodatni¡ cz¦±ci¡ osi (mo»na przyj¡¢ • % 0 ≤ ϕ < 2π oznacza odlegªo±¢ punktu Par¦ liczb (ϕ, %) nazywamy lub P 0x (ϕ, %), gdzie: a promieniem wodz¡cym punktu P −π ≤ ϕ < π ), od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych (0 wspóªrz¦dnymi biegunowymi ≤ % < ∞). punktu pªaszczyzny. Fakt Wspóªrz¦dne kartezja«skie (x, y) punktu pªaszczyzny danego we wspóªrz¦dnych biegunowych (ϕ, %) okre±lone s¡ wzorami ( B: Przeksztaªcenie x = % cos ϕ, y = % sin ϕ. B , które ka»demu punktowi (ϕ, %) przyporz¡dkowuje punkt (x, y) okre±lony powy»- szymi wzorami, nazywamy przeksztaªceniem biegunowym JB (ϕ, %) = %. 2 a jakobian przeksztaªcenia biegunowego Uwaga Wspóªrz¦dne biegunowe stosujemy wtedy, gdy obszar po którym caªkujemy jest w jaki± sposób okr¡gªy (koªo, pier±cie«, wycinek koªa itp.) Twierdzenie (wspóªrz¦dne biegunowe w caªce podwójnej). Niech obszar D0 we wspóªrz¦dnych biegunowych b¦dzie obszarem regularnym i niech funkcja b¦dzie ci¡gªa na obszarze tzn. 0 D = B(D ). D, który jest obrazem obszaru D 0 przy przeksztaªceniu biegunowym, Wtedy ZZ ZZ f (x, y) dxdy = f (% cos ϕ, % sin ϕ)% d%dϕ. D0 D Przykªady Obliczy¢ caªki, wprowadzaj¡c wspóªrz¦dne biegunowe: ZZ 2 e−(x +y 2 ) dx dy, D : x2 + y 2 = 2, D ZZ y dx dy, D : x2 + y 2 = 4, x2 + y 2 = 1, y = x, y = 0 D ZZ x dx dy, D : x2 + (y − 1)2 = 1, x ≥ y. D 3 f