Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6

Wstep
, do matematyki
aktuarialnej
Michal Jasiczak
Wyklad 6
Kalkulacja skladki netto II.
Funkcje komutacyjne.
1
Przypomnienie
Umowa ubezpieczenia zawiera informacje
o:
• Przedmiocie ubezpieczenia
• Czasie trwania ubezpieczenia
• Sumie ubezpieczenia
• Terminie wyplaty
2
Przyklad 1
Umowa ubezpieczenia (40) przewiduje wyplate,
kwoty 1, jeżeli (40) umrze w ciagu
2 lat od
,
podpisania umowy po pólrocznym okresie
odroczenia. Wyznaczyć JSN, jeżeli suma
ubezpieczenia jest platna na koniec roku,
w którym nastapi
, la śmierć osoby ubezpieczonej.
JSN = v · P (0.5 ≤ T40 < 1) + v 2P (K40 = 1)
l
−
l
42
= 0.5vq40 + v 2 41
l40
|
{z
}
jeżeli HU
3
Jeżeli HU, to
P (0.5 ≤ T40 < 1) = P (T40 > 0.5)−P (T40 > 1)
= 0.5·P (T40 > 0)+0.5·P (T40 > 1)−P (T40 > 1)
h
i
= 0.5P P (T40 > 0)−P (T40 > 1) = 0.5q40.
4
Przyklad 2
Umowa ubezpieczenia na cale życie (30)
przewiduje wyplate, kwoty 1 na koniec roku,
w którym nastepi
, la śmierć osoby ubezpieczonej. Zgodnie z umowa, skladki oplacane
bed
każdego roku w czasie
,
, a, na poczatku
trwania ubezpieczenia.
Wysokość skladki w k-tym roku trwania
umowy
vP (K30 = k)
= vP (T30 > k) · P (T30 < k + 1|T30 > k)
= v · k p30q[30]+k
jeżeli czynnik dyskonta jest taki sam w
każdym roku.
5
Przyklad 3
Harmonogram splat kredytu znajduje sie, w
poniższej tabeli
miesiac
,
1
2
3
4
5
6
kwota
0
0
2.000
2.000
3.000
4.000.
Raty kredytu sa, platne do 5 każdego miesiaca.
,
Zaproponować ubezpieczenie, które zabezpiecza splate, tego kredytu na wypadek śmierci
kredytobiorcy. Wyznaczyć JSN. Każdy miesiac
,
ma 30 dni
6
Przynajmniej 2 możliwe interpretacje:
1. Ubezpieczyciel zobowiazuje
sie, zaplacić
,
cala, należna, kwote, w terminie splaty
pierwszej raty po śmierci osoby ubezpieczonej.
2. Ubezpieczyciel zobowiazuje
sie, placić
,
raty kredytu po śmierci kredytobiorcy
w terminach uprzednio ustalonych.
7
Pierwsza interpretacja.
Podokres: 5 dni.
v efektywny czynnik dyskonta przy kapitalizacji dziennej.
13
)
72
13
19
(72)
+ 9.000 · v 95 · P (Kx = 0,
< Sx
≤
)
72
72
25
19
(72)
125
< Sx
≤
)
+ 7.000 · v
· P (Kx = 0,
72
72
25
31
(72)
+ 4.000 · v 155P (Kx = 0,
< Sx
≤
).
72
72
(72)
11.000 · v 65 · P (Kx = 0, Sx
≤
8
Druga interpretacja
13 65
(72)
) 2v + 2v 95
P (Kx = 0, Sx
≤
72
+ 3v 125 + 4v 155
19 95
13
(72)
< Sx
≤
) 2v + 3v 125
+ P (Kx = 0,
72
72
+ 4v 155
19
25 125
(72)
155
< Sx
) 3v
+ 4v
+ P (Kx = 0,
≤
72
72
25
31
(72)
+ P (Kx = 0,
< Sx
≤
) · 4v 155 ×1.000
72
72
9
Przypomnijmy, że jeżeli obowiazuje
HU, to
,
l
l
(m)
(m)
P (Kx = k, Sx = ) = P (Kx = k)P (Sx = )
m
m
1
= P (Kx = k).
m
Zatem, w szczególności
(72)
P (Kx = 0,13 < Sx
≤ 19)
(72)
= P (Kx = 0)P (13 < Sx
= qx ·
19
X
k=14
≤ 19)
k
(72)
)
P (Sx
=
72
5
=
· qx.
72
Dlaczego faktyczna skladka jest taka
sama dla wszystkich?
10
Przyklad 4
Wyznaczyć, na podstawie TTŻ, JSN w
ubezpieczeniu na cale życie, jeżeli obowiazuje
,
HCFM.
h i
h
JSN = E Z = E v Tx
Z ∞
=
v tfx(t)dt.
0
i
Przypomnijmy, że HCFM oznacza, że
µ[x]+k+u = µ[x]+k ,
jeżeli k ∈ N0 oraz 0 ≤ u < 1. Uzasadniliśmy
już, że jeżeli HCFM, to
P (Tx > k + u) = k px p[x]+k
u
,
gdzie
p[x]+k = P (Tx > k + 1|Tx > k).
11
Zatem
P (Tx ≤ k + u) = 1 − P (Tx > k + u)
= 1 − k px · p[x]+k
u
.
W konsekwencji, jeżeli k ∈ N0 oraz 0 < u <
1, to dla t = k + u
h
ui0
fx(t) = 1 − k px · p[x]+k
= −k px ln p[x]+k · (p[x]+k )u.
12
Z tego wynika, że
JSN =
∞
X
k px ·ln
1
Z k+1
t−k
t
v p[x]+k
dt
p[x]+k k
ln p[x]+k
k px
=
·
k
ln v · p[x]+k
k=0 p[x]+k
k=0
∞
X
×
v · p[x]+k
k
− v · p[x]+k
k+1
.
13
Funkcje komutacyjne
Zdyskontowana liczba przeżywajacych
,
Dx = v xlx.
Inne funkcje komutacyjne
Cx = v x+1dx,
Mx =
Rx =
∞
X
k=0
∞
X
Cx+k ,
Mx+k .
k=0
14
Znajomość wartości funkcji komutacyjnych
pozwala latwo wyznaczyć JSN w ubezpieczeniach platnych na koniec roku śmierci
Na przyklad
Ax =
A1
=
x : n̄|
n| Ax =
Ax : n̄| =
Mx
,
Dx
Mx − Mx+n
,
Dx
Mx+n
,
Dx
Mx − Mx+n + Dx+n
.
Dx
15
Umowa renty życiowej zaklada wyplaty z
określona, intensywnościa, ustalonych kwot
w czasie kiedy ubezpieczony żyje.
16
Ze wzgledu
na czas objety
umowa, można
,
,
wyróżnić:
• rente, dożywotnia,
• rente, terminowa,
• rente, odroczona.
,
17
Zalożmy, że umowa renty przewiduje wyplaty
kwot ck , k ∈ N0 w kolejnych latach trwania
życia osoby ubezpieczonej, to znaczy wtedy, gdy k ≤ Kx.
Zalóżmy, że Kx = K. Wówczas wartość
obecna wyplat wynosi
K
X
ck v k .
k=0
Zatem zmienna, losowa, opisujac
, a, wartość
obecna, wyplat jest
Kx
X
ck v k .
k=0
18
Jednorazowa skladka netto dla rent o platności
ck w k-tym roku:
E
X
Kx
ck v k =
∞
X


K
X
ck v k P (Kx = K).

K=0 k=0
k=0
Z drugiej strony
E
X
Kx
ck v k = E
k=0
X
∞

χk≤Tx ck v k ,
k=0
gdzie:
χk≤Tx =

1,
0,
Tx ≥ k,
Tx < k.
Zatem
E
X
Kx
k=0
ck v k =
∞
X
h
i
k
ck v E χk≤Tx .
k=0
19
Oczywiście
h
i
E χk≤Tx
= 0·P (Tx < k)+1·P (Tx ≥ k) = P (Tx ≥ k).
Z tego wynika, że
E
X
Kx
k=0
ck v k =
∞
X
ck v k · k p x .
k=0
20
Niech ck = 1 dla każdego k ∈ N0. Wówczas
jednorazowa skladka netto w przypadku renty
wynosi, zgodnie z tym co wyprowadziliśmy
poprzednio
∞
X
P (Tx >k)
z}|{
v k k px .
k=0
Porównajmy z Ax
∞
X
k=0
v k+1k px · q[x]+k .
|
{z
}
P (Kx =k)
21
Porównajmy jeszcze raz
Ax =
∞
X
v k+1P (Kx = k),
k=0
dla renty o warunkach opisanych powyżej
JSN =
∞
X

K
X


v k P (Kx = k).
K=0 k=0
22
Renty na cale życie
• Renta platna z góry na poczatku
każdego
,
roku życia rentobiorcy
äx =
∞
X
v k k px .
k=0
• Renta platna z dolu na koniec roku
przeżytego przez rentobiorce,
∞
i
X
k
ax = E
v =
v k k px = äx − 1.
k=1
k=1
Kx
hX
23
Renty terminowe
• Renta terminowa na życie platna z góry
ck =

1,
0,
k = 0, . . . , n − 1,
.
k = n, n + 1, . . .
Zatem
äx : n̄| =
n−1
X
v k k px .
k=0
• Renta na życie platna z dolu
ck =



0,



1,
0,
k = 0,
k = 1, . . . , n
k = n, n + 1, . . .
Zatem
ax : n̄| =
n
X
v k · k px .
k=1
24
Renty odroczone
• Dożywotnia renta platna z góry odroczona o m
ck =

0,
1,
k = 0, 1, . . . , m − 1,
k = m, m + 1, . . .
wiec
,
m| äx =
∞
X
v k k px .
k=m
• Dożywotnia renta plarna z dolu odroczona o m
ck =

0,
1,
k = 0, . . . , m,
k = m + 1, m + 2, . . .
wiec
,
m| ax =
∞
X
v k k px .
k=m+1
25
Renty stale, platne cześciej
niż raz w
,
roku
Przypadek renty platnej z góry, o platności
1 , m-krotnie w ciagu roku.
,
m
Wartość obecna wyplaty
(m)
1
1/m
K
+S
−1/m .
x
x
1+v
+ ··· + v
Z=
m
Zatem
(m)
1
E
m
m(Kx +S
Xx
=E
k=0
∞
1 X
m k=0
)−1
v k/m
v k/mχ
(m)
{m(Kx +Sx
)−1≥k}
X
∞
1 k/m
=E
v
· χ{Tx≥k/m}
m
k=0
∞
X
1 k
=
v m · k px .
m
m
k=0
26
Obserwacja 1 Jednorazowa skladka renty
na cale życie, platnej po 1/m, z góry, mkrotnie w roku, wynosi
(m)
1 − Ax
(m)
,
äx =
(m)
d
jeżeli zachodzi HU, to dodatkowo
(m)
äx
=
i A
1 − (m)
x
i
d(m)
,
gdzie:
(m)
• Ax
jest jednorazowa, skladka, netto
ubezpieczenia na cale życie na sume,
1, platnego na koniec 1/m-tej cześci
,
roku po śmierci,
• d(m) jest stopa, procentowa, z góry,
odpowiadajac
, a, nominalnej stopie procentowej i(m) przy m-krotnej kapitalizacji, czyli
d(m) =
i(m)
.
(m)
1+i
/m
27
Inwestujemy kwote, C oczekujac
, stopy
procentowej i. Jaka, cześć
kwoty C
,
możmy otrzymać natychmiast, aby po
roku otrzymać znowu C?
i
1+i
d nazywa sie, stopa, procentowa, z góry.
Civ = Cd → d =
Ten sam argument zastosowany do sytuacji, gdy kapitalizacja m-krotnie w roku z
nominalna, stopa, procentowa, i(m) dla wyznaczenia nominalnej stopy procentowej z
góry przy kapitalizacji m-krotnie w ciagu
,
roku
d(m) =
i(m)
(m)
1 + im
.
28