Teoria falek (część V)

Teoria falek (część V)∗
Grzegorz Zwara
21 maja 2004
Falki dwuwymiarowe
Podamy 3 sposoby uogólniania falek na przestrzeń Hilberta L2 (R2 ). Dwa pierwsze
używają funkcji postaci
f = f1 ⊗ f2 ,
f (s, t) = f1 (s) · f2 (t).
Jeśli funkcje f1 , f2 należą do L2 (R), to f1 ⊗ f2 należy do L2 (R2 ).
Twierdzenie. Niech Ψ = Ψ1 ⊗ Ψ2 , gdzie Ψ1 , Ψ2 są falkami w przestrzeni L2 (R).
Wówczas układ
2
j1 +j2
2
j1
j2
· Ψ(2 · s − k1 , 2 · t − k2 )
.
j1 ,j2 ,k1 ,k2 ∈Z
jest bazą ortonormalną w L2 (R2 ).
Główna wada powyższej bazy polega na tym, że liczby całkowite j1 , j2 są zupełnie
dowolne, co oznacza że zanikanie funkcji bazowej w różnych kierunkach może być diametralnie odmienne. Sposobem na uniknięcie tego typu trudności jest tensorowanie
nie falek, ale analiz wielorozdzielczych. W tym celu dla domkniętych podprzestrzeni
V , V 0 w L2 (R) określamy domkniętą podprzestrzeń w L2 (R2 ):
V ⊗ V 0 = span{f ⊗ g; f ∈ V, g ∈ V 0 }.
W szczególności L2 (R) ⊗ L2 (R) = L2 (R2 ).
Przypuśćmy, że w L2 (R) mamy dane dwie analizy wielorozdzielcze z funkcjami
skalującymi i związanymi z nimi falkami:
. . . ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ . . . ,
0
. . . ⊂ V−1
⊂ V00 ⊂ V10 ⊂ V20 ⊂ . . . ,
Φ(t), Ψ(t),
Φ0 (t), Ψ0 (t).
Określamy podprzestrzenie domknięte Fj ⊂ L2 (R2 ) jako
Fj = Vj ⊗ Vj0 = span{f ⊗ f 0 ; f ∈ Vj , f 0 ∈ Vj0 }.
∗
Wykład monograficzny, IV rok informatyki, 2003/2004.
1
Ciąg podprzestrzeni (Fj )j∈Z ma następujące własności:
(1) . . . ⊂ F−1 ⊂ F0 ⊂ F1 ⊂ . . .,
(2)
S
Fj = L2 (R2 ),
j→+∞
j∈Z
(3)
T
Fj = {0},
j∈Z
lim PFj (f ) = f
lim PFj (f ) = 0
j→−∞
(4) f (s, t) ∈ Fj ⇐⇒ f (2−j · s, 2−j · t) ∈ F0 ,
∀ f ∈ L2 (R2 ) ∀ j ∈ Z,
(5) f (s, t) ∈ F0 ⇐⇒ f (s − k, t − k 0 ) ∈ F0 ,
∀ f ∈ L2 (R2 ) ∀ k, k 0 ∈ Z,
(6) Układ Φ1 ⊗ Φ2 (s − k, t − k 0 )
k,k0 ∈Z
jest bazą ortonormalną w F0 .
Korzystając z rozkładów ortogonalnych V1 = V0 ⊕ W0 oraz V10 = V00 ⊕ W00 otrzymujemy
F1 = V1 ⊗ V10 = (V0 ⊕ W0 ) ⊗ (V00 ⊕ W00 )
= (V0 ⊗ V00 ) ⊕ (V0 ⊗ W00 ) ⊕ (W0 ⊗ V00 ) ⊕ (W0 ⊗ W00 )
= F0 ⊕ (V0 ⊗ W00 ) ⊕ (W0 ⊗ V00 ) ⊕ (W0 ⊗ W00 ).
Dodatkowo,
Φ ⊗ Ψ0 (s − k, t − k 0 )
k,k0 ∈Z
jest bazą ortonormalną w V0 ⊗ W00 ,
k,k0 ∈Z
jest bazą ortonormalną w W0 ⊗ V00 ,
k,k0 ∈Z
jest bazą ortonormalną w W0 ⊗ W00 .
Ψ ⊗ Φ0 (s − k, t − k 0 )
Ψ ⊗ Ψ0 (s − k, t − k 0 )
Korzystając z powyższych własności otrzymujemy drugi sposób konstrukcji bazy
ortonormalnej w L2 (R2 ):
Twierdzenie. Niech Ψ(t) będzie falką powiązaną z analizą wielorozdzielczą w L2 (R)
z funkcją skalującą Φ(t) oraz Ψ0 (t) będzie falką powiązaną z analizą wielorozdzielczą
w L2 (R) z funkcją skalującą Φ0 (t). Niech Λ1 = Φ⊗Ψ0 , Λ2 = Ψ⊗Φ0 oraz Λ3 = Ψ⊗Ψ0 .
Wówczas układ
2j · Λi (2j · s − k, 2j · t − k 0 ); j, k, k 0 ∈ Z, i = 1, 2, 3
jest bazą ortonormalną w L2 (R2 ).
W powyższym twierdzeniu uzyskaliśmy właściwie 3 falki: Λ1 , Λ2 , Λ3 . Falki te
będą o nośnikach zwartych oraz r-krotnie różniczkowalne w sposób ciągły o ile tylko
funkcje Φ, Φ0 , Ψ, Ψ0 będą posiadały te własności. Istnieje również dwuwymiarowa
wersja szybkiej transformaty falkowej bazująca na powyższym sposobie, która została zaimplementowana między innymi w systemie MATLAB, gdzie przyjmuje się
dla uproszczenia, że Φ0 = Φ, Ψ0 = Ψ.
2
Przejdziemy teraz do trzeciego sposobu konstrukcji falek dwuwymiarowych, który właściwie jest uogólnieniem sposobu drugiego.
"
# Kluczowym pojęciem jest tutaj
a b
macierz dylatacji, to znaczy macierz A =
o współczynnikach całkowitych,
c d
której wszystkie (zespolone) wartości własne mają moduł większy niż 1. Przypomnijmy, że wielomian charakterystyczny macierzy A wynosi
det(A − λ · 1) = λ2 − (a + d) · λ + (ad − bc).
Powyższy warunek na macierz A oznacza, że przekształcenie liniowe
R2 → R2 ,
x 7→ A · x
jest „rozciągające”. Ponadto liczba q = | det(A)| = |ad − bc| jest całkowita oraz
większa od 1, jako moduł z iloczynu wartości własnych macierzy A. W szczególności
macierz A jest odwracalna.
"
#
"
#
0 −1
0 −2
Przykład. Wielomiany charakterystyczne macierzy A =
oraz B =
1 0
1 0
wynoszą odpowiednio
√
√
λ2 + 1 = (λ − i) · (λ + i)
oraz
λ2 + 2 = (λ − 2i) · (λ + 2i).
Ponieważ |i| = √
1, więc A nie
macierzą dylatacji. Natomiast B jest macierzą
√ jest √
dylatacji, gdyż | 2i| = | − 2i| = 2 > 1.
Możemy teraz podać nową wersję analizy wielorozdzielczej:
Dwuwymiarową analizą wielorozdzielczą z macierzą dylatacji A nazywamy ciąg (Vj )j∈Z podprzestrzeni domkniętych w L2 (R2 ) spełniający następujące
warunki:
(1) . . . ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ . . .,
(2)
S
2
2
Vj = L (R ),
lim PVj (f ) = f
j→+∞
j∈Z
(3)
T
j∈Z
Vj = {0},
lim PVj (f ) = 0
j→−∞
(4) f (s, t) ∈ Vj ⇐⇒ f (A · (s, t)) ∈ Vj+1 ,
(5) f (s, t) ∈ V0 ⇐⇒ f (s − k, t − k 0 ) ∈ V0 ,
∀ f ∈ L2 (R2 ) ∀ j ∈ Z,
∀ f ∈ L2 (R2 ) ∀ k, k 0 ∈ Z,
(6) Istnieje funkcja Φ(s,
t) ∈ V0 zwana funkcją skalującą taka, że układ
0
Φ(s − k, t − k ) 0 jest bazą ortonormalną w V0 .
k,k ∈Z
3
Notacja w warunku (4) wymaga wyjaśnienia, mianowicie przez A · (s, t) rozumiemy (as + bt, cs + dt), czyli liniowe przeskalowanie zmiennych s, t.
Niech q = | det(A)| ­ 2 oraz W0 będzie dopełnieniem ortogonalnym podprzestrzeni domkniętej V0 w V1 , czyli V1 = V0 ⊕ W0 . Okazuje się, że istnieją funkcje Ψi
należące do W0 dla i = 1, 2, . . . , q − 1 takie, że układ
Ψi (s − k, t − k 0 ); i = 1, 2, . . . , q − 1; k, k 0 ∈ Z
jest bazą ortonormalną w W0 . Stąd możemy uzyskać bazę ortonormalną dla całej
przestrzeni L2 (R2 ), co zostało wyrażone w poniższym fakcie:
Twierdzenie. Dla każdej dwuwymiarowej analizy wielorozdzielczej z macierzą dylatacji A istnieje zbiór falkowy {Ψ1 , Ψ2 , . . . , Ψq−1 }, gdzie q = | det(A)|, dla którego
układ
q
j
0
0
j
q · Ψi A · (s, t) − (k, k ) ; i = 1, 2, . . . , q − 1; j, k, k ∈ Z
jest bazą ortonormalną w L2 (R2 ).
Uwaga. Wspomnieliśmy wcześniej, że trzeci sposób na otrzymanie bazy ortonormalnej w L2 (R2 ) jest uogólnieniem drugiego. Istotnie, tensorując dwie jednowymiarowe analizy wielorozdzielcze otrzymamy dwuwymiarową analizę wielorozdzielczą
z macierzą dylatacji
"
#
2 0
A=
.
0 2
Wówczas q = | det(A)| = 4, więc otrzymamy zbiór falkowy składający się z q − 1 = 3
falek.
Uwaga. Macierz dylatacji, analizę wielorozdzielczą oraz zbiór falkowy łatwo uogólnić na przypadek przestrzeni L2 (Rd ), gdzie d jest dowolną liczbą naturalną. Jednak
z powodu wzrostu złożoności obliczeń z każdym wymiarem nie należy spodziewać
się zastosowań praktycznych wielowymiarowej teorii falek dla d ­ 3.
4