Algebra abstrakcyjna i liniowa lista 10

Algebra abstrakcyjna i liniowa
lista 10 - 22 kwietnia 2007
I rok informatyki, IZ
Temat: przestrzeń euklidesowa, iloczyn skalarny, baza ortonormalna, ortogonalizacja GramaSchmidta, rzut ortogonalny, forma kwadratowa.
1. Niech x = [x1 , x2 ]T , y = [y1 , y2 ]T ∈ R2 . Czy wyrażenie
< x, y >= 5x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 10x2 y2
definiuje iloczyn skalarny w R2 ?
2. Dane są następujące wartości iloczynów skalarnych i norm wektorów u, v, w
< u, v >= 2,
< v, w >= −3,
< u, w >= 5,
||u|| = 1,
||v|| = 2,
||w|| = 3.
Oblicz wartość następujących iloczynów skalarnych i norm:
< 2v −w, 3u+2w >,
√
Przypomnienie. ||u|| = < u, u >.
< u−v −2w, 4u+v >,
< u+v, v +w >,
||u+v||,
||2w −v||.
3. Udowodnij następujący związek między normami
||u + v||2 + ||u − v||2 = 2||u||2 + 2||v||2 .
4. Niech < u, v >= 0. Udowodnij, że ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2 .
5. Niech p(x) i q(x) będą wielomianami z przestrzeni liniowej P2 wielomianów stopnia ¬ 2
o współczynnikach rzeczywistytch. Pokaż, że
< p, q >= p(0)q(0) + p(1/2)q(1/2) + p(1)q(1)
definiuje iloczyn skalarny w P2 .
Uwaga. W następnych zadaniach rozważa się standardowy iloczyn skalarny w Rn :
< x, y >= y T x.
6. Dla jakich wartości parametru k wektor u jest prostopadły do wektora v:
(a) u = [2, 1, 3]T , v = [1, 7, k]T ,
(b) u = [k, k, 1]T , v = [k, 5, 6]T .
7. Wyznaczyć w przestrzeni euklidesowej R4 wektory o normie 1, które są prostopadłe do
następujących trzech wektorów:
u = [2, 1, −4, 0]T ,
v = [−1, −1, 2, 2]T ,
w = [3, 2, 5, 4]T
8. Czy następujące układy wektorów tworzą bazę ortonormalną przestrzeni R3 :
(a) [ √12 , 0, √12 ]T ,
−1 T
[ √13 , √13 , √
] ,
3
−1
[√
, 0, √12 ]T ,
2
1
1 T
T
(b) [ 23 , −2
[ 23 , 31 , −2
[ 13 , 32 , 23 ]T ,
3 , 3] ,
3 ] ,
(c) [1, 0, 0]T , [0, 0, 1], [0, 21 , 12 ]T .
9. Zastosować ortogonalizacje Grama-Schmidta do przekształcenia bazy
u1 = [1, 1, 1]T ,
u2 = [−1, 1, 0]T ,
u3 = [1, 2, 1]T .
przestrzeni R3 w bazę ortonormalną.
10. Wyznaczyć współrzędne wektora v = [2, −1, 3]T w bazie
u1 = [1, 0, 0]T ,
u2 = [2, 2, 0]T ,
u3 = [3, 3, 3]T .
To samo wykonać dla:
v = [5, −12, 3]T ,
u1 = [1, 2, 3]T ,
u2 = [−4, 5, 6]T ,
u3 = [7, −8, 9]T .
11. Niech S będzie podprzestrzenią liniową rozwiązań układu Ax = 0. Udowodnić, że wektor
x należy do S wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadły do każdego wiersza macierzy
A.
12. Sprawdzić, czy wektor v = [2, −3, 0]T ∈ R3 jest prostopadły do każdego wektora z
podprzestrzeni W = {[x1 , x2 , x3 ]T : 2x1 = 3x2 = 5x3 }.
13. Wyznaczyć dowolną bazę podprzestrzeni
W = {[x1 , x2 , x3 , x4 ]T ∈ R4 : 2x1 + 3x3 + x4 = 0, x1 − x2 − x3 + x4 = 0}.
Następnie za pomocą ortogonalizacji Grama-Schmidta wyznaczyć bazę ortonormalną.
14. Niech podprzestrzeń liniowa W przestrzeni R3 będzie rozpięta (generowana) przez wektory: [2, 1, 3]T , [1, 6, 2]T . Wyznaczyć bazę ortonormalną podprzestrzeni W za pomocą
ortogonalizacji Grama-Schmidta.
15. Wyznaczyć rzut ortogonalny wektora v = [−1, 2]T na podprzestrzeń liniową:
W = {[x1 , x2 ]T : x1 − 3x2 = 0}.
16. Znaleźć macierz A następującej formy kwadratowej: xT Ax = 3x21 + 4x1 x2 − 2x22 .
17. Znaleźć formę kwadratową xT Ax, która ma następującą macierz


0 −2 −2


3
1 .
A =  −2
−2
1 −1
Czy ta forma kwadratowa jest dodatnio określona?
Literatura pomocnicza:
1. J. Klukowski, I. Nabiałek, Algebra dla studentów, WNT, Warszawa 2005.
2. T. Jurlewicz, Zb. Skoczylas, Algebra Liniowa 2, GIS, Wrocław.
3. H. Anton, Ch. Rorres, Elementary linear algebra. Applications version, Wiley 1995.
Krystyna Ziętak
2