10Rachunek prawdopodobieństwa

Matematyka podstawowa X
Rachunek prawdopodobieństwa
Zadania wprowadzające:
1. Rzucasz trzy razy monetą
a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest?
b) Wyrzuciłeś większą liczbę reszek niż orłów. Wypisz wszystkie zdarzenia
elementarne, które sprzyjają temu zdarzeniu losowemu. Ile ich jest?
2. Losujesz dwie niepowtarzające się cyfry ze zbioru 1, 2, 3, 4 i tworzysz z nich liczbę.
a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest?
b) Wylosowałeś cyfry, które dały liczbę parzystą. Wypisz wszystkie zdarzenia
elementarne, które sprzyjają temu zdarzeniu losowemu. Ile ich jest?
3. Zdarzenia A i B należą do . Znajdź ( ∪ ) i ( ∩ ),
( ) = 0,6
( ) = 0,2
jeżeli B⊂ ,
4. A i B są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w , że ⊂ oraz
( ) = 0,3 ( ) = 0,4
Oblicz ( ∪ ).
5. A i B są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w , że ⊂ oraz
( ) = 0,3 ( ) = 0,7. Oblicz prawdopodobieństwo \ .
6. O zdarzeniach losowych A i B wiemy, że: ( ) = ,
( )= ,
( ∪ )= .
Oblicz
a) ( ∩ )
b) ( \ )
7. Dla prawdopodobieństw ( ) = ,
( ∩ ),
( )= ,
( ∪ ) = . Oblicz ( ′), ( ′),
( \ ).
8. Dla prawdopodobieństw ( ′ ) = ,
( )= ,
( ∩
′)
= . Oblicz
( ),
( ′ ),
( ∪ ′ ).
9. Oblicz ( ) wiedząc, że: ( ′ ) = 2 ( )
10. Zdarzenia , ⊂ . Prawdopodobieństwa ( ) ( ′ ) są równe.
Prawdopodobieństwo B jest trzy razy mniejsze niż ′. Oblicz prawdopodobieństwo
sumy zdarzeń A i B jeżeli są to zdarzenia rozłączne.
11. Strzelając do tarczy pewien strzelec uzyskuje co najmniej 9 punktów z
prawdopodobieństwem 0,5, a co najwyżej 9 punktów z prawdopodobieństwem 0,7.
Oblicz prawdopodobieństwo, że ten strzelec uzyska dokładnie 9 punktów.
12. Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz
prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 15.
13. Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz
prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 3 lub 2.
14. W pudełku są trzy białe kule i pięć kul czarnych. Do pudełka można albo dołożyć
jedną kulę białą albo usunąć z niego jedną kulę czarną, a następnie wylosować z tego
pudełka jedną kulę. W którym z tych przypadków wylosowanie kuli białej jest
bardziej prawdopodobne? Wykonaj odpowiednie obliczenia.
15. Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się 9 kul: 4 białe, 3 czarne i 2
zielone. W drugim pojemniku jest 6 kul: 2 białe, 3 czarne i 1 zielona. Z każdego
pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania 2 kul
tego samego koloru.
16. Rzucasz 2 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania
a) W obu rzutach reszki
b) Za pierwszym rzutem orła
c) W obu rzutach tego samego wyniku
17. Adam, Kasia i Damian podchodzą do kasy w sklepie. Oblicz prawdopodobieństwo, że
Kasia nie będzie stała koło Damiana.
18. Losujesz ze zbioru 1, 2, 3, 4, 5, 6 dwie niepowtarzające się cyfry. Układasz z nich
liczbę w kolejności wylosowania. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby
parzystej.
19. Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze
zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest
podzielna przez 3.
20. Rzucamy dwa razy symetryczną, sześcienną kostką do gry. Oblicz
prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego 5.
21. Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia polegającego na tym, że suma liczb oczek otrzymanych na obu kostkach jest
większa od 6 i iloczyn tych liczb jest nieparzysty.
22. W klasie jest 10 dziewczyn. Losujesz z tej klasy ucznia. Prawdopodobieństwo, że
będzie to chłopiec jest równe . Ilu jest chłopców w tej klasie?
Zadania:
1. Rzucono sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo, że wyrzucona liczba
oczek jest liczbą pierwszą stanowi:
a)
b)
c)
d)
"
"
"
"
2. W turnieju szachowym, rozgrywanym systemem każdy z każdym, bez rewanżu,
miało brać udział 8 zawodników. Jeden z nich zrezygnował. Liczba
zaplanowanych rozgrywek zmniejszyła się o:
a) 1
b) 14
c) 7
d) 8
3. Ze zbioru 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 wybieramy losowo jedną
liczbę. Niech oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 4.
Wówczas
a) # <
b) # =
c) # =
d) # >
4. Jeżeli A i B są zdarzeniami losowymi B’ jest zdarzeniem przeciwnym do B,
( ) = 0,3, ( & ) = 0,4 oraz ∩ = ∅, () ( ∪ ) jest równe
a) 0,12
b) 0,18
c) 0,6
d) 0,9
5. Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, ,5 6, 7 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze
zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na
wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez 6.
6. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na tym, że liczba oczek w drugim
rzucie jest o 1 większa od liczby oczek w pierwszym rzucie.
7. Jeżeli A jest zdarzeniem losowym oraz ′ jest zdarzeniem przeciwnym do
zdarzenia A i ( ) = 5 · ( & ), to prawdopodobieństwo zdarzenia ′ jest równe
a)
b)
c)
d)
"
"
8. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, wiedząc, że
a) 9 ( ) · ( & ) = 2
b)
,(-)
,(-. )
=3
9. W pewnej grze rzucamy kostką i monetą. Liczba zdobytych punktów równa się
sumie liczby wyrzuconych oczek oraz liczby uzyskanych orłów.
Prawdopodobieństwo, że w jednym rzucie uzyskamy 7 punktów jest równe:
a)
"
b)
c)
/
d)
10. Rzucamy trzema kostkami do gry. Prawdopodobieństwo, że iloczyn liczby oczek
otrzymanych na tych kostkach jest równy 5, wynosi:
a)
"
b)
c)
d)
/0
"
11. Dane są zdarzenia ,
zdarzenie
a)
b)
c)
d)
0
"
∪
⊂ , takie, że
( )=2· ( )
( ∩ )=
jest zdarzeniem pewnym, to ( ) − ( ) równa się:
. Jeśli
12. W pierwszej urnie są 2 kule białe i 4 kule czarne. W drugiej urnie jest 1 kula biała
i 3 kule czarne. Z każdej urny losujemy po jednej kuli. Zdarzenie A polega na
wylosowaniu kul o takim samym kolorze. Sprawdź czy zdarzenia A i A’ są
jednakowo prawdopodobne.
13. Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się 9 kul: 4 białe, 3 czarne i
2 zielone. W drugim pojemniku jest 6 kul: 2 białe, 3 czarne i 1 zielona. Z każdego
pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania
dwóch kul tego samego koloru.
14. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką, której jedna ściana ma jedno
oczko, dwie ściany maja po dwa oczka i trzy ściany mają po trzy oczka. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia: liczby oczek otrzymane w obu rzutach różnią się
o 1.