1. Wiadomo´sci wst˛epne

1
1. Wiadomości wst˛epne
A. MACIERZE (przypomnienie)
Symbol K bedzie
˛
w dalszym ciagu
˛ oznaczać ciało R liczb rzeczywistych lub ciało C liczb
zespolonych.
˛
oznaczać zbiór wszystkich macierzy
Niech n, m ∈ N. Symbolem L (Km , Kn ) bedziemy
wymiaru n × m (tzn. majacych
˛
n wierszy i m kolumn), których wyrazy należa˛ do ciała K.
Niech A ∈ L (Km , Kn ) , A = [aij ] , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m. Dla i ∈ {1, ..., n} i-tym
wierszem macierzy A nazywamy macierz jednowierszowa˛
Wi = [ai1 , ai2 , ..., aim ] .
Dla j ∈ {1, 2, ..., m} j-ta˛ kolumna˛ macierzy A nazywamy macierz jednokolumnowa˛


a1j
 a2j 


Kj =  ..  .
 . 
anj
Możemy zapisać:



A=

W1
W2
..
.
Wn

 
 = K1 K2 · · · Km .

˛
macierza˛ kwadratowa˛ stopnia n. Dla
Niech A ∈ L (Kn , Kn ) , A = [aij ] , 1 ≤ i ≤ n, bedzie
i, j ∈ {1, ..., n} dopełnieniem algebraicznym wyrazu aij macierzy A nazywamy liczbe˛
Aij określona˛ wzorem
Aij = (−1)i+j Mij ,
gdzie Mij jest wyznacznikiem macierzy otrzymanej z A przez usuniecie
˛ wiersza o numerze
i oraz kolumny o numerze j, czyli macierzy


W1
 .. 
 . 


 Wi−1  
 = K1 · · · Kj−1 Kj+1 · · · Km .
 Wi+1 
 . 
 .. 
Wn
(Mij nazywamy minorem głównym macierzy A).
Transponowana˛ macierz dopełnień algebraicznych wyrazów macierzy A nazywamy macierza˛
dołaczon
˛
a˛ i oznaczamy symbolem Aad . Tak wiec
˛


A11 A21 · · · An1
 A12 A22 · · · An2 

Aad = [Aij ]T = 
 ··· ··· ··· ··· .
A1n A2n · · · Ann
2
TWIERDZENIE 1 (twierdzenie Laplace’a). Dla każdej macierzy A ∈ L (Kn , Kn )
zachodzi równo´s´c:
A · Aad = (det A) · In ,
gdzie det A oznacza wyznacznik macierzy A, za´s In jest macierza˛ jednostkowa˛ stopnia n.
Łatwym wnioskiem z tego twierdzenia jest fakt, że jeżeli macierz A jest nieosobliwa
(tzn gdy det A = 0), to jej macierz odwrotna A−1 dana jest wzorem:
1
−1
A =
Aad .
det A
TWIERDZENIE 2 (twierdzenie Cauchy’ego). Dla wszystkich macierzy A, B ∈ L (Kn , Kn )
zachodzi równo´s´c:
det (AB) = (det A) (det B) .
Z powyższego twierdzenia wynika m. in. to, że macierz osobliwa nie posiada macierzy
odwrotnej.
B. PRZESTRZENIE UNORMOWANE. OPERATORY LINIOWE (przypomnienie)
Przestrzenia˛ metryczna˛ nazywamy pare˛ (X, d) , gdzie X = ∅, zaś d : X × X → R
jest funkcja˛ spełniajac
˛ a˛ nastepuj
˛ ace
˛ warunki:
(a) d (x, y) ≥ 0 i d (x, y) = 0 ⇔ x = y,
(b) d (x, y) = d (y, x) ,
(c) d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z)
dla wszystkich x, y, z ∈ X. Funkcje˛ d nazywamy metryka.
˛ Dla x, y ∈ X liczbe˛ d (x, y)
nazywamy odległościa˛ punktów x i y.
Niech (X, d) bedzie
˛
przestrzenia˛ metryczna.
˛ Powiemy, że ciag
˛ (xn ) punktów tej przestrzeni
spełnia warunek Cauchy’ego (jest ciagiem
˛
Cauchy’ego), jeżeli
d (xn , xm ) < ε
ε>0 n0 ∈N n,m≥n0
lub, co jest równoważne, gdy
lim d (xn , xm ) = 0. W przestrzeni metrycznej każdy ciag
˛
n,m→∞
zbieżny jest ciagiem
˛
Cauchy’ego (lecz oczywiście niekoniecznie na odwrót).
Niech (X, d) bedzie
˛
przestrzenia˛ metryczna.˛ Przestrzeń nazywamy zupełna,
˛ jeżeli
każdy ciag
˛ punktów tej przestrzeni spełniajacy
˛ warunek Cauchy’ego jest w tej przestrzeni
zbieżny.
Niech X bedzie
˛
przestrzenia˛ liniowa˛ nad ciałem K. Symbolem 0 oznaczymy wektor
zerowy przestrzeni X.
Norma˛ w przestrzeni X nazywamy funkcje˛ · : X → R przyporzadkowuj
˛
ac
˛ a˛ każdemu
wektorowi x ∈ X liczbe˛ x (zwana˛ długościa˛ lub norma˛ wektora x), spełniajac
˛ a˛ warunki:
3
(1) x ≥ 0 i x = 0 ⇔ x = 0,
(2) tx = |t| · x ,
(3) x + y ≤ x + y
dla wszystkich x, y ∈ X i t ∈ K. Pare˛ (X, ·) nazywamy .przestrzenia˛ unormowana.
˛
(Czesto
˛
przestrzeń unormowana˛ oznaczamy krótko: X, gdy nie ma watpliwości,
˛
jaka norma
jest w niej rozważana).
W każdej przestrzeni liniowej o dodatnim wymiarze istnieje norma (zob. zad. 7), a
nawet nieskończenie wiele różnych norm.
Jeżeli (X, ·) jest przestrzenia˛ unormowana,˛ to funkcja d : X × X → R określona
wzorem:
d (x, y) = x − y
(x, y ∈ X) jest metryka˛ w X. Nazywamy ja˛ metryka˛ generowana˛ przez norm˛e.
Przestrzeń (X, ·) nazywamy przestrzenia˛ Banacha, jeżeli jest zupełna w metryce
generowanej przez norm˛e · .
Niech X bedzie
˛
przestrzenia˛ liniowa˛ nad ciałem K.
Iloczynem skalarnym w przestrzeni X nazywamy funkcje˛ ·, · : X × X → K przyporzadkowuj
˛
ac
˛ a˛ każdej parze (x, y) wektorów x, y ∈ X liczbe˛ x, y (zwana˛ iloczynem
skalarnym wektorów x i y), spełniajac
˛ a˛ warunki:
(1) x + y, z = x, z + y, z ,
(2) tx, y = t x, y ,
(3) x, y = y, x,
(4) x, x ≥ 0 i x, x = 0 ⇔ x = 0
dla wszystkich x, y, z ∈ X i t ∈ K. Pare˛ (X, ·, ·) nazywamy .przestrzenia˛ unitarna˛ lub
przestrzenia˛ z iloczynem skalarnym.
(W przestrzeni rzeczywistej, tj. gdy K = R, warunek (3) przybiera postać
(3’) x, y = y, x
dla wszystkich x, y ∈ X).
W każdej przestrzeni liniowej o dodatnim wymiarze istnieje iloczyn skalarny (zob. zad.
8), a nawet nieskończenie wiele różnych iloczynów skalarnych.
Jeżeli (X, ·, ·) jest przestrzenia˛ unitarna,
˛ to funkcja · : X → R określona wzorem:
x = x, x
(x ∈ X) jest norma˛ w X. Nazywamy ja˛ norma˛ generowana˛ przez dany iliczyn skalarny.
Tak wiec
˛ kazda przestrzeń unitarna jest przestrzenia˛ unormowana.
˛
Przestrzeń unitarna˛ (X, ·, ·) nazywamy przestrzenia˛ Hilberta, jeżeli jest zupełna w
normie generowanej przez iloczyn skalarny ·, · . Tak wiec
˛ każda przestrzeń Hilberta jest
przestrzenia˛ Banacha.
Niech X, Y bed
˛ a˛ przestrzeniami liniowymi (nad tym samym ciałem K). Odwzorowanie
A : X → Y nazywamy operatorem liniowym (operacja˛ liniowa,
˛ przekształceniem liniowym), jeżeli spełnione sa˛ warunki:
(1) A (x + y) = A (x) + A (y) ,
(2) A (tx) = tA (x)
dla wszystkich x, y ∈ X i t ∈ K.
4
Operatory liniowe można dodawać i mnożyć przez skalary, tj. elementy ciała K. Mianowicie, jeżeli A, B : X → Y sa˛ operatorami liniowymi i x ∈ X, t ∈ K, to
(A + B) (x) = A (x) + B (x) ,
(tA) (x) = t · A (x) .
A + B : X → Y oraz tA : X → Y sa˛ wówczas operatorami liniowymi. Także superpozycja (przy odpowiednich założeniach) operatorów liniowych jest operatorem liniowym.
Jeżeli operator A : X → Y posiada przekształcenie odwrotne A−1 (jak mówimy, gdy jest
odwracalny), to A−1 ; Y → X jest operatorem liniowym.
Jeżeli A : X → Y jest operatorem liniowym i x ∈ X, to piszemy czesto:
˛
Ax zamiast
A (x) .
Niech (X, ·X ) i (Y, ·Y ) bed
˛ a˛ przestrzeniami unormowanymi (nad tym samym ciałem
K) i niech A : X → Y bedzie
˛
operatorem liniowym. Norme˛ operatorowa˛ (krótko:
norm˛e) operatora A określa wzór:
A = sup {AxY : x ∈ X ∧ xX ≤ 1} .
Operator A nazywamy ograniczonym, jeżeli A < +∞. Zbiór wszystkich operatorów
ograniczonych A : X → Y bedziemy
˛
oznaczać symbolem L (X, Y ) .
Prawdziwe sa˛ nastepuj
˛ ace
˛ twierdzenia, których nie bedziemy
˛
tutaj dowodzić.
˛ a˛ przestrzeniami unormowanymi
TWIERDZENIE 3. Niech (X, ·X ) i (Y, ·Y ) bed
(nad tym samym ciałem K). Operator liniowy A : X → Y jest ograniczony wtedy i tylko
wtedy, gdy jest ciagłym
˛
odwzorowaniem przestrzeni X w Y.
TWIERDZENIE 4. Niech (X, ·X ) i (Y, ·Y ) bed
˛ a˛ przestrzeniami unormowanymi
(nad tym samym ciałem K). Jeżeli X jest przestrzenia˛ o wymiarze skończonym, to każdy
operator liniowy A : X → Y jest ograniczony.
TWIERDZENIE 5. Niech (X, ·X ) i (Y, ·Y ) bed
˛ a˛ przestrzeniami unormowanymi
(nad tym samym ciałem K). Wtedy (L (X, Y ) , ·) jest przestrzenia˛ unormowana˛ nad
ciałem K ( · oznacza norme˛ operatorowa).
˛ Jeżeli (Y, ·Y ) jest przestrzenia˛ Banacha, to
(L (X, Y ) , ·) jest również przestrzenia˛ Banacha.
Prawdziwe sa˛ także nastepuj
˛ ace
˛ fakty.
FAKT 1. Niech (X, ·X ) i (Y, ·Y ) bed
˛ a˛ przestrzeniami unormowanymi (nad tym
samym ciałem K) i niech A ∈ L (X, Y ) . Zachodza˛ równo´sci:
(1) A = sup {AxY : x ∈ X ∧ xX = 1} .
(2) A = inf {L ≥ 0 : AxY ≤ L xX dla każdego x ∈ X} .
Dowód - patrz zad. 10.
Podstawowa˛ role˛ w rozważaniach dotyczacych
˛
operatorów w przestrzeniach unormowanych
odgrywa nastepuj
˛ ace
˛ spostrzeżenie.
FAKT 2. Niech (X, ·X ) i (Y, ·Y ) bed
˛ a˛ przestrzeniami unormowanymi (nad tym
samym ciałem K) i niech A ∈ L (X, Y ) . Wtedy
AxY ≤ A · xX
5
dla wszystkich x ∈ X.
Dowód - patrz zad. 11.
C. ZWIAZEK
˛
POMIEDZY
˛
MACIERZAMI I OPERATORAMI (przypomnienie)
Niech X, Y bed
˛ a˛ przestrzeniami liniowymi (nad tym samym ciałem K) o wymiarach
skończonych, dim X = m, dim Y = n (m, n ∈ N) i niech T : X → Y bedzie
˛
operatorem
liniowym.
Ustalmy bazy: (e1 , ..., em ) w przestrzeni X i (f1 , ..., f
n ) w przestrzeni Y. Każdy wektor
m
x ∈ X można jednoznacznie zapisać w postaci:
n x = j=1 xj ej , a każdy wektor y ∈ Y
można jednoznacznie zapisać w postaci: y = i=1 yi fi , gdzie xj , yi ∈ K, j ∈ {1, ..., m} ,
i ∈ {1, ..., n} .
Wektory T ej należa˛ do Y dla j ∈ {1, ..., m} i mamy
T e1 = a11 f1 + a21 f2 + ... + an1 fn ,
T e2 = a12 f1 + a22 f2 + ... + an2 fn ,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ··
T em = a1m f1 + a2m f2 + ... + anm fn ,
ogólnie,
T ej =
n
aij fi , j ∈ {1, ..., m} ,
i=1
gdzie aij ∈ K, i ∈ {1, ..., n} , j ∈ {1, ..., m} .
Macierz AT = [aij ] , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, wymiaru n × m,


a11 a12 · · · a1m
 a21 a22 · · · a2m 

AT = 
 ··· ··· ··· ··· 
an1 an2 · · · anm
nazywamy macierza˛ operatora
m A w bazach (ej ) oraz (fi ) . n
Wybierzmy x ∈ X, x = j=1 xj ej i niech y = T x, y = i=1 yi fi . Przyporzadkujmy
˛
wektorom x i y jednokolumnowe macierze [x] i [y] ich współrzednych
˛
w bazach (ej ) oraz
(fi ) , odpowiednio:




x1
y1
 x2 
 y2 




[x] =  ..  ,
[y] =  ..  .
 . 
 . 
xm
yn
Zachodzi elegancka równość:
[y] = AT · [x] .
6
(Symbol · oznacza mnożenie macierzy).
Określona powyżej odpowiedniość T ↔ AT pomiedzy
˛
operatorami i ich macierzami
(przy ustalonych bazach) zachowuje sie˛ przy działaniach na operatorach. Mianowicie, jeżeli
T, S : X → Y sa˛ operatorami liniowymi i t ∈ K, to
AT +S = AT + AS , AtT = t · AT .
Jeżeli X, Y, Z sa˛ przestrzeniami liniowymi i ustalimy w nich bazy, a S : X → Y i T :
Y → Z sa˛ operatorami liniowymi, to AT ◦S = AT · AS . (Symbol ◦ oznacza tutaj składanie
przekształceń). Jeżeli operator T : X → X jest odwracalny, to AT −1 = A−1
T . Operatorowi
tożsamościowemu IX : X → X, IX (x) = x dla każdego x ∈ X, odpowiada macierz
AIX = In jednostkowa, stopnia n (n = dim X).
Wszystko to tłumaczy stosowany czesto
˛
w algebrze liniowej zwyczaj oznaczania ta˛
sama˛ litera˛ operatora liniowego i jego macierzy (a nawet identyfikowania operatora z jego
macierza).
˛ Należy jednak przy tym pamietać
˛
o nastepuj
˛ acej
˛ uwadze.
UWAGA. Macierz AT operatora T : X → Y opisana powyżej zależy od wyboru baz
(ej ) oraz (fi ) w przestrzeniach liniowych X i Y, odpowiednio.
Zadania
A. MACIERZE
1. Znaleźć macierze dołaczone
˛

−1

1
A=
5
macierzy:

5 −3
2
1 ,
3
7
2. Znaleźć macierze odwrotne do macierzy:
A=
1 1
0 1
,


i 1 1
B =  0 i 1 .
0 0 i


−1
5 −3
B= 1
2
1 .
5 −3
7
3. Udowodnić, że jeżeli A ∈ L (Kn , Kn ) i det A = 0, to nie istnieje taka macierz
B ∈ L (Kn , Kn ) , że AB = In (In oznacza macierz jednostkowa˛ stopnia n).
4. Dana jest macierz


−1
5 −3
A= 1
2
1 .
5 −3
7
Czy istnieje taka niezerowa macierz X ∈ L (K3 , K3 ) , dla której AX = O3 (O3 oznacza
macierz zerowa˛ stopnia 3) ?
5. Macierz A ∈ L (Rn , Rn) nazywamy macierza˛ ortogonalna,
˛ jeżeli AAT = AT A =
In (In oznacza macierz jednostkowa˛ stopnia n). Udowodnić, że jeżeli A jest macierza˛
ortogonalna,˛ to det A = ±1.
7
6. Udowodnić, że jeżeli A ∈ L (R2 , R2 ) jest macierza˛ ortogonalna,
˛ to ma ona jedna˛ z
dwóch postaci:
cos α − sin α
cos α
sin α
A=
,
A=
,
sin α
cos α
sin α − cos α
gdzie α ∈ R jest pewna˛ liczba˛ rzeczywista.˛
B. PRZESTRZENIE UNORMOWANE. OPERATORY LINIOWE
7. Udowodnić, że w każdej przestrzeni liniowej o dodatnim wymiarze istnieje norma.
8. Udowodnić, że w każdej przestrzeni liniowej o dodatnim wymiarze istnieje iloczyn
skalarny.
9. Przypomnieć określenia klasycznych przestrzeni Banacha: c, c0 , l∞ , lp dla p ≥ 1,
C ([a, b]) , L∞ ([a, b]) , Lp ([a, b]) dla p ≥ 1 (a, b ∈ R, a < b) oraz przestrzeni Hilberta l2 i
L2 ([a, b]) . Podać przykład przestrzeni liniowej unormowanej (X, ·) nie bed
˛ acej
˛ przestrzenia˛
zupełna.˛
10. Niech (X, ·X ) i (Y, ·Y ) bed
˛ a˛ przestrzeniami unormowanymi (nad tym samym
ciałem K) i niech A ∈ L (X, Y ) . Udowodnić, że zachodza˛ równości:
(1) A = sup {AxY : x ∈ X ∧ xX = 1} .
(2) A = inf {L ≥ 0 : AxY ≤ L xX dla każdego x ∈ X} .
11. Niech (X, ·X ) i (Y, ·Y ) bed
˛ a˛ przestrzeniami unormowanymi (nad tym samym
ciałem K) i niech A ∈ L (X, Y ) . Udowodnić, że
AxY ≤ A · xX
dla wszystkich x ∈ X.
12. Dla każdego x = (x1 , x2 ) ∈ R2 niech
x1 − x2 x1 + x2
A (x1 , x2 ) =
,
.
2
2
i niech
x2 = x21 + x22 , x1 = |x1 | + |x2 | , x∞ = max {|x1 | , |x2 |} .
W każdym z poniższych przypadków wyznaczyć norm˛e operatora liniowego A pomiedzy
˛
wskazanymi przestrzeniami.
(a) A : (R2 , ·2 ) → (R2 , ·2 ) .
(b) A : (R2 , ·∞) → (R2 , ·1 ) .
(c) A : (R2 , ·∞ ) → (R2 , ·∞ ) .
(d) A : (R2 , ·1 ) → (R2 , ·1 ) .
(e) A : (R2 , ·∞ ) → (R2 , ·2 ) .
(f) A : (R2 , ·1 ) → (R2 , ·2 ) .
8
13. Wykazać, że nastepuj
˛ ace
˛ operatory liniowe sa˛ ograniczone i wyznaczyć ich normy.
(a) A : C ([0, 1]) → C ([0, 1]) ,(Az) (t) = tz (t) , t ∈ [0, 1] .
1
(b) A : C ([0, 1]) → K, Af = 0 f (x) dx.
(c) A : C ([−1, 1]) → C ([0, 1]) , (Af ) (x) = f (x) , x ∈ [0, 1] .
(d) A : lp → lp (1 ≤ p ≤ +∞), A (x1 , x2 , x3 , ...) = (0, x1 , x2 , x3 , ...) .
(e) A : lp → lp (1 ≤ p ≤ +∞), A (x1 , x2 , x3 , ...) = (x2 , x3 , x4 , ...) .
C. ZWIAZEK
˛
POMIEDZY
˛
MACIERZAMI I OPERATORAMI
14. Znaleźć macierz operacji liniowej T : R3 → R3 określonej dla x ∈ R3 , x = (x1 x2 , x3 )
wzorem:
1
T (x1 , x2 , x3 ) = 3x1 − x2 + 2x3 , x1 − 2x2 , x2 + x3
2
w bazie kanonicznej przestrzeni R3 (tzn. bazie (e1 , e2 , e3 ) , gdzie dla j ∈ {1, 2, 3} wektor ej
ma j-ta˛ współrzedn
˛ a˛ równa˛ 1, a pozostałe współrzedne
˛
sa˛ równe 0).
15. Znaleźć macierz operacji liniowej T : R2 → R2 określonej dla x ∈ R2 , x = (x1 x2 )
wzorem:
T (x1 , x2 ) = (2x1 − x2 , x1 + x2 )
(a) w bazie kanonicznej przestrzeni R2 .
(b) w bazie (a1 , a2 ) , gdzie a1 = (1, 1) , a2 = (1, −1) .
9
2. Funkcje macierzowe 1
Symbolem K [x] bedziemy
˛
oznaczać pierścień wielomianów f (x) zmiennej x o współczynnikach należacych
˛
do ciała K.
Ustalmy n ∈ N. Dla wszystkich i, j ∈ {1, ..., n} niech aij (x) ∈ K [x] . Niech A (x) bedzie
˛
macierza,˛ której wyrazami sa˛ wielomiany aij (x) :
A (x) = [aij (x)] , i, j ∈ {1, ..., n} .
Macierz A (x) określa funkcje˛ A (·) : K → L (Kn , Kn ) , gdzie A (t) = [aij (t)] ∈ L (Kn , Kn ) ,
i, j ∈ {1, ..., n} , dla każdego t ∈ K. Przy tym jeżeli wszystkie wielomiany aij (x) (i, j ∈
{1, ..., n}) sa˛ wielomianami zerowymi, to A (x) = On jest macierza˛ zerowa˛ stopnia n i
przyjmujemy, że A (t) = On dla każdego t ∈ K.
W dalszym ciagu
˛ symbole: In , On bed
˛ a˛ oznaczać, odpowiednio, macierz jednostkowa˛
stopnia n oraz macierz zerowa˛ stopnia n.
Z algebraicznego punktu widzenia macierz A (x) jest macierza,˛ której wyrazy należa˛
do pierścienia K [x] . Jeżeli wiec
˛ A (x) = On nie jest macierza˛ zerowa,˛ to można ja˛ jednoznacznie przedstawić w postaci:
A (x) =
m
Aj xj = Am xm + Am−1 xm−1 + ... + A1 xm + A0 ,
(MW)
j=0
gdzie Aj ∈ L (Kn , Kn ) dla j ∈ {0, ..., m} i Am = On, tzn. w postaci wielomianu o
współczynnikach macierzowych.
DEFINICJA 2.1. Macierz A (x) dana˛ wzorem (MW) nazywamy macierza˛ wielomianowa.
˛ Macierze Aj ∈ L (Kn , Kn ) , j ∈ {0, ..., m} nazywamy jej współczynnikami.
Liczbe˛ m ∈ N0 = N∪ {0} nazywamy stopniem macierzy wielomianowej A (x) i piszemy:
deg A (x) = m. (Macierzy wielomianowej zerowej nie przypisujemy żadnego stopnia).
Macierz wielomianowa˛ A (x) postaci (MW) nazywamy regularna,
˛ gdy det Am = 0.
Niech A (x) , B (x) bed
˛ a˛ macierzami wielomianowymi o współczynnikach macierzowych
tego samego stopnia:
A (x) =
m
Aj xj , B (x) =
j=0
p
Bj xj
(*)
j=0
(gdzie Aj , Bi ∈ L (Kn , Kn ) , j ∈ {0, ..., m} , i ∈ {0, ..., p} , Am = On , Bp = On ) i niech np.
m ≥ p. Sum˛e, różnice˛ oraz iloczyn macierzy wielomianowych (*) określaja˛ wzory:
m
p+1
A (x) ± B (x) = Am x + ... + Ap+1 x
+
p
(Ai ± Bi ) xi ,
i=0
m+p
A (x) B (x) =
j=0
r+s=j,r≤m,s≤p
Ar Bs xj =
10
= Am Bp xm+p + (Am Bp−1 + Am−1 Bp ) xm+p−1 + ... + A0 B0 .
Ponadto A (x) ± On = A (x) , A (x) · On = On · A (x) = On . (W przypadku gdy m ≤ p,
wzory wygladaj
˛ a˛ podobnie).
Oczywiście na ogół jest A (x) B (x) = B (x) A (x) . Ponadto deg (A (x) B (x)) ≤ deg A (x)+
deg B (x) , przy czym nierówność może być ostra (zob. zad. 2). Jeżeli jednak przynajmniej jedna z macierzy wielomianowych A (x) , B (x) jest regularna, to deg (A (x) B (x)) =
deg A (x) + deg B (x) (zob. zad. 3).
m
j
˛
niezerowa˛ macierza˛ wielomiDEFINICJA 2.2. Niech F (x) =
j=0 Fj x bedzie
n
n
anowa,˛ Fj ∈ L (K , K ) , j ∈ {0, ..., m} , Fm = On , i niech A ∈ L (Cn , Cn ) .
(a) Prawostronna˛ warto´scia˛ macierzy wielomianowej F (x) dla x = A nazywamy
macierz F (A) ∈ L (Cn , Cn ) okre´slona˛ wzorem:
F (A) =
m
Fj Aj = Fm Am + Fm−1 Am−1 + ... + F1 A + F0 .
j=0
Jeżeli macierz wielomianowa F (x) jest macierza˛ zerowa,˛ to przyjmujemy, że F (A) =
On .
(b) Lewostronna˛ warto´scia˛ macierzy wielomianowej F (x) dla x = A nazywamy
macierz F (A) ∈ L (Cn , Cn ) okre´slona˛ wzorem:
F (A) =
m
Aj Fj = Am Fm + Am−1 Fm−1 + ... + AF1 + F0 .
j=0
Jeżeli macierz wielomianowa F (x) jest macierza˛ zerowa,˛ to przyjmujemy, że F (A) =
On .
Uwaga. Macierz wielomianowa˛
F (x) =
m
Fj xj = Fm xm + Fm−1 xm−1 + ... + F1 x + F0
(**)
j=0
bedziemy
˛
także zapisywać w postaci
F (x) =
m
xj Fj = xm Fm + xm−1 Fm−1 + ... + xF1 + F0 ,
(***)
j=0
traktujac
˛ obydwa zapisy (**) i (***) jako identyczne (określajace
˛ ta˛ sama˛ macierz wielo
mianowa).
˛ Nie oznacza to oczywiście, że F (A) = F (A) dla A ∈ L (Cn , Cn ) - przeciwnie,
na ogół F (A) = F (A) .
Rozważmy dowolny wielomian niezerowy f (x) ∈ K [x] , f (x) = kj=0 aj xj , gdzie ak =
0. Dla dowolnej macierzy A ∈ L (Cn , Cn ) możemy utworzyć macierz f (A) ∈ L (Cn , Cn ) ,
gdzie
f (A) =
k
j=0
aj Aj = a0 In + a1 A + ... + ak−1 Ak−1 + ak Ak .
11
Jeżeli f (x) = 0 jest wielomianem zerowym, to przyjmujemy, że f (A) = On dla każdej
macierzy A ∈ L (Cn , Cn ) . W ten sposób każdy wielomian f (x) wyznacza funkcje˛ f (·) :
L (Cn , Cn ) → L (Cn , Cn ) okreslona˛ powyzszym wzorem. Nazywamy ja˛ wielomianem
macierzowym wyznaczonym przez wielomian f (x) . Wielomian ten możemy zapisać w
postaci:
f (X) =
k
aj X j = a0 In + a1 X + ... + ak−1 X k−1 + ak X k .
(WM)
j=0
DEFINICJA 2.3. Niech A ∈ L (Kn , Kn ) . Wielomianem charakterystycznym
macierzy A nazywamy wielomian fA (x) ∈ K [x] , okre´slony wzorem:
fA (x) = det (A − xIn ) .
Jeżeli zatem A = [aij ] , i, j ∈ {1, ..., n} , to

a12
a11 − x
 a21
a22 − x
fA (x) = det 
 ···
···
an1
an2
···
···
···
···

a1n
a2n 

··· 
ann − x
i nietrudno spostrzec, że deg f (x) = n. Ponadto, jeżeli wielomian fA (x) zapiszemy w
postaci
fA (x) = cn xn + cn−1 xn−1 + ... + c1 x + c0 ,
to cn = ±1.
TWIERDZENIE 2.1 (twierdzenie Cayley’a-Hamiltona). Niech A ∈ L (Kn , Kn ) i
niech fA (x) bedzie
˛
wielomianem charakterystycznym macierzy A. Zachodzi równo´s´c:
fA (A) = On .
Dowód. Niech
fA (x) = cn xn + cn−1 xn−1 + ... + c1 x + c0 .
Dla wielomianu macierzowego fA (X) wyznaczonego przez wielomian fA (x) mamy wtedy
(zob. wzór (WM)):
fA (A) = cn An + cn−1 An−1 + ... + c1 A + c0 In .
Z drugiej strony z twierdzenia Laplace’a (Twierdzenie 1.1, rozdz. 1) wynika, że dla każdego
t ∈ K mamy
(A − tIn ) (A − tIn )ad = det (A − tIn ) · In = fA (t) · In,
12
co prowadzi do równości macierzy wielomianowych:
(A − xIn ) (A − xIn )ad = det (A − xIn ) · In = fA (x) · In .
Macierz (A − xIn )ad jest pewna˛ macierza˛ wielomianowa.˛ Niech P (x) = (A − xIn ) (A − xIn )ad .
Mamy wtedy:
P (x) = fA (x) · In = (cn In ) xn + (cn−1 In ) xn−1 + ... + (c1 In ) x + c0 In ,
wiec
˛
P (A) = P (A) = fA (A) .
Ale łatwo można spostrzec, że P (A) = On . Stad
˛ fA (A) = On . ♠
˛
Niech f (x) ∈ K [x] , f (x) = am xm +am−1 xm−1 +...+a1 x+a0 . Wielomian f (x) bedziemy
nazywać wielomianem unormowanym, jeżeli an = 1.
Rozważmy wielomian f (x) ∈ K [x] i niech A ∈ L (Kn , Kn ) . Powiemy, że f (x) jest
wielomianem zerujacym
˛
(lub anihilujacym)
˛
dla macierzy A, jeżeli dla wielomianu macierzowego f (X) wyznaczonego przez wielomian f (x) zachodzi równość:
f (A) = On .
Na mocy twierdzenia Cayley’a-Hamiltona (Twierdzenie 1) wielomian charakterystyczny
fA (x) macierzy A jest wielomianem zerujacym
˛
dla tej macierzy. Zauważmy, że albo fA (x) ,
albo też −fA (x) jest wielomianem unormowanym.
DEFINICJA 2.4. Niech A ∈ L (Kn , Kn ) . Wielomianem minimalnym macierzy
A nazywamy niezerowy wielomian mA (x) ∈ K [x] spełniajacy
˛ warunki:
(a) mA (x) jest wielomianem zerujacym
˛
dla macierzy A.
(b) mA (x) jest wielomianem unormowanym.
(c) Każdy niezerowy wielomian f (x) ∈ K [x] zerujacy
˛ macierz A spełnia nierówno´sć:
deg mA (x) ≤ deg f (x) .
TWIERDZENIE 2.2. Dla każdej macierzy A ∈ L (Kn , Kn ) istnieje dokładnie jeden
wielomian minimalny mA (x) ∈ K [x] , okre´slony wzorem:
mA (x) =
±fA (x)
det (xIn − A)
=
,
d (x)
d (x)
(2.1)
gdzie fA (x) jest wielomianem charakterystycznym macierzy A, za´s d (x) jest (unormowanym)
˛ acych
˛
wyrazami
najwiekszym
˛
wspólnym dzielnikiem wielomianów bij (x) , i, j ∈ {1, ..., n} , bed
macierzy wielomianowej
[bij (x)]1≤i,j≤n = (A − xIn )ad .
Zadania
13
1. Macierze wielomianowe
 3

2x − x + 1, x − 3,
3x2 + x + 1
,
−x,
5
(a) A (x) =  x2 − 2x,
3
2
x,
−2x + 1, 5x − 2
3
x + i, 2ix2 − 5x
(b) A (x) =
2x − 4, (1 + i) x3 − 3x2 + 1
j
m
m−1
+ ... + A1 xm + A0 . Czy sa˛ to
zapisać w postaci: A (x) = m
j=0 Aj x = Am x + Am−1 x
macierze regularne?
2. Podać przykład macierzy wielomianowych A (x) i B (x) , dla których
deg (A (x) B (x)) < deg A (x) + deg B (x) .
3. Udowodnić, że jeżeli przynajmniej jedna z macierzy wielomianowych A (x) , B (x)
jest regularna, to deg (A (x) B (x)) = deg A (x) + deg B (x) .
1 2
2
2
4. Dana jest macierz A ∈ L (R , R ) , A =
. Znaleźć wielomian charakterysty0 3
czny fA (x) tej macierzy. Dla wielomianu macierzowego fA (X) wyznaczonego przez fA (x)
(zob. wzór (WM)) sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że fA (A) = O2 .
5. Znaleźć wielomian charakerystyczny fA (x) macierzy
(a) A ∈ L (C, C) , A = [5] .
1 −1
2
2
(b) A ∈ L (C , C ) , A =
.
1
1
1 1
2
2
(c) A ∈ L (C , C ) , A =
.
0 1
0 −1
2
2
(d) A ∈ L (C , C ) , A =
.
1
0
1 0
2
2
(e) A ∈ L (C , C ) , A =
.
0 1
0 1
2
2
(f) A ∈ L (C , C ) , A =
.
1 0
5 −12
2
2
(g) A ∈ L (C , C ) , A =
.
−12 −5
6. Znaleźć wielomian charakerystyczny fA (x) macierzy
 2

− 13 − 13
3
2
− 13  .
(a) A ∈ L (C3 , C3 ) , A =  − 13
3
1
1
2
−3 −3
3


0 1 0
(b) A ∈ L (C3 , C3 ) , A =  1 0 0  .
−2 1 1
14


3 −3
2
5 −2  .
(c) A ∈ L (C3 , C3 ) , A =  −1
−1
3
0


1 1 1
(d) A ∈ L (C3 , C3 ) , A =  1 1 1  .
1 1 1


0 1 0
(e) A ∈ L (C3 , C3 ) , A =  1 0 0  .
−2 1 1


−1 −3 −9
6 18  .
(f) A ∈ L (C3 , C3 ) , A =  0
0 −2 −6


29
18
18
(g) A ∈ L (C3 , C3 ) , A =  −18 −10 −12  .
−24 −16 −14
7. Znaleźć wielomian minimalny fA (x) macierzy A z zadań: 5, 6(c), 6(d), 6(e), 6(g).
15
3. Funkcje macierzowe 2
W tym rozdziale bedziemy
˛
rozważać macierze A ∈ L (Cn , Cn ) traktujac
˛ je jako macierze
n
n
odpowiednich
liniowych A : C → C w bazie kanonicznej przestrzeni Cn , tzn.
(1) operatorów
(n)
w bazie e , ..., e
, gdzie dla każdego k ∈ {1, ..., n} wektor e(k) ma na k-tym miejscu
1, a pozostałe wyrazy ciagu
˛ e(k) równe sa˛ 0. Bedziemy
˛
identyfikować macierz operatora
n
A z tym operatorem, stosujac,
˛ dla w ∈ C , zapis Aw na oznaczenie wektora bed
˛ acego
˛
obrazem wektora w w przekształceniu A, czyli wektora, którego współrzedne
˛
zapisane w
formie jednokolumnowej macierzy [Aw] dane sa˛ wzorem: [Aw] = A · [w] , gdzie [w] jest
jednokolumnowa˛ macierza˛ współrz˛ednych wektora w w bazie kanonicznej (zob. rozdział
1.C).
DEFINICJA 1. Niech A ∈ L (Cn, Cn ) . Liczbe˛ zespolona˛ λ nazywamy warto´scia˛
własna˛ macierzy A, jeżeli istnieje wektor niezerowy w ∈ Cn taki, że
Aw = λw.
(Ww)
Każdy taki wektor w nazywamy wektorem własnym odpowiadajacym
˛
warto´sci własnej
λ. Zbiór wszystkich wektorów własnych odpowiadajacym
˛
warto´sci własnej λ, z dołaczonym
˛
n
˛
oznacza´c symbolem Xλ .
wektorem zerowym przestrzeni C , bedziemy
Zbiór wszystkich warto´sci własnych macierzy A nazywamy widmem tej macierzy i
oznaczamy symbolem σ (A) .
Nietrudno wykazać nastepuj
˛ ace
˛ fakty.
LEMAT 1. Niech A ∈ L (Cn , Cn ) i niech λ ∈ C. Nastepuj
˛ ace
˛ warunki sa˛ równoważne:
(a) λ ∈ σ (A) .
(b) λ jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego fA (x) macierzy A
(czyli fA (λ) = 0).
Dowód - zob. zad. 1.
LEMAT 2. Niech A ∈ L (Cn , Cn ) .
(a) Dla każdego λ ∈ σ (A) zbiór Xλ jest podprzestrzenia˛ liniowa˛ przestrzeni Cn , o
wymiarze dodatnim.
(b) Dla dowolnych λ, µ ∈ σ (A) , jeżeli λ = µ, a wektory wλ i wµ sa˛ wektorami własnymi odpowiadajacymi
˛
warto´sciom własnym λ i µ, odpowiednio, to wektory te sa˛ liniowo
niezależne w przestrzeni Cn .
Dowód - zob. zad. 2.
DEFINICJA 2. Niech A ∈ L (Cn , Cn ) i niech λ ∈ σ (A) . Krotno´scia˛ algebraiczna˛ warto´sci własnej λ nazywamy liczbe˛ naturalna˛ ka (λ) równa˛ krotno´sci liczby λ
jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego fA (x) macierzy A. Natomiast krotno´scia˛ geometryczna˛ warto´sci własnej λ nazywamy liczbe˛ naturalna˛ kg (λ) dana˛ wzorem:
kg (λ) = dim Xλ .
16
Krotności: algebraiczna i geometryczna wartości własnej λ moga˛ być różne (zob. zad.
3).
Zadania
1. Niech A ∈ L (Cn , Cn ) i niech λ ∈ C. Udowodnić, że nastepuj
˛ ace
˛ warunki sa˛
równoważne:
(a) λ ∈ σ (A) .
(b) λ jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego fA (x) macierzy A.
2. Niech A ∈ L (Cn , Cn ) . Udowodnić, że:
(a) Dla każdego λ ∈ σ (A) zbiór Xλ jest podprzestrzenia˛ liniowa˛ przestrzeni Cn , o
wymiarze dodatnim.
(b) Dla dowolnych λ, µ ∈ σ (A) , jeżeli λ = µ, a wektory wλ i wµ sa˛ wektorami własnymi odpowiadajacymi
˛
wartościom własnym λ i µ, odpowiednio, to wektory te sa˛ liniowo
niezależne w przestrzeni Cn .
3. Dla macierzy A z zadań: rozdz. 2, zad. 8, 9(a), 9(b), 9(c), 9(d) i 9(e) znaleźć
widmo σ (A) . Dla każdego λ ∈ A wyznaczyć podprzestrzeń Xλ oraz krotności: algebraiczna˛
i geometryczna˛ wartości własnej λ.
4. Niech A, S ∈ L (Cn , Cn ) i niech det S = 0. Udowodnić, że macierze A oraz SAS −1
maja˛ identyczne wielomiany charakterystyczne.
5. Niech A ∈ L (Cn , Cn ) i niech A bedzie
˛
norma˛ operatora A. Zakładamy, że w
n
przestrzeni C dany jest euklidesowy iloczyn skalarny
x, y =
n
xk y k
k=1
oraz euklidesowa norma
n
x = x2 .
k
k=1
Wykazać, że dla każdego λ ∈ σ (A) zachodzi nierówność: |λ| ≤ A .
17
4. Funkcje macierzowe 3
Rozważmy przestrzeń liniowa˛ L (Km , Kn ) macierzy wymiaru n × m, których wyrazy
należa˛ do ciała K. Jest to przestrzeń liniowa nad ciałem K o wymiarze skończonym
dim L (Km , Kn ) = mn. Jeżeli w tej przestrzeni wprowadzimy norm˛e · , to bedzie
˛
można
mówić o zbieżności ciagu
˛ nieskończonego (Ak ) , k ∈ N, gdzie Ak ∈ L (Km , Kn ) ,
(k)
Ak = aij , i ∈ {1, ..., n} , j ∈ {1, ..., m}
(1)
dla każdego k ∈ N. Tak jak w każdej przestrzeni unormowanej, zbieżność powyższego ciagu
˛
do macierzy B ∈ L (Km , Kn ) oznacza, że
lim Ak − B = 0.
k→∞
Piszemy wtedy: limk→∞ Ak = B.
Podobnie ma sie˛ sprawa z szeregami macierzowymi nieskończonymi postaci ∞
k=0 Ak .
Szereg taki jest zbieżny w przestrzeni (L (Km , Kn ) , ·) do sumy S ∈ L (Km , Kn ) , jeżeli
ciag
˛ sum cześciowych
˛
(Sk ) , k ∈ N0 = N ∪ {0} , gdzie
Sk =
k
Ak
j=0
da˛ży do S. Piszemy wtedy: ∞
k=1 Ak = S.
Skorzystamy w dalszym ciagu
˛ z kilku znanych twierdzeń analizy funkcjonalnej.
FAKT 1. Niech X bedzie
˛
przestrzenia˛ liniowa˛ o wymiarze skończonym nad ciałem
K. Wtedy dowolne dwie normy ·1 , ·2 w przestrzeni X sa˛ równoważne, co oznacza, że
istnieja˛ stałe dodatnie m, M czyniace
˛ zado´s´c warunkowi:
m x1 ≤ x2 ≤ M x1
dla każdego x ∈ X.
Wynika stad
˛ m. in., że jeżeli (xk ) , k ∈ N, jest dowolnym ciagiem
˛
wektorów z X, to
ciag
˛ ten jest zbieżny w przestrzeni (X, ·1 ) do granicy x0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest on
zbieżny w przestrzeni (X, ·2 ) , i to do tej samej granicy x0 . (Analogiczna uwaga dotyczy
szeregów nieskończonych).
FAKT 2. Niech X bedzie
˛
przestrzenia˛ liniowa˛ o wymiarze skończonym
m ∈ N nad ciałem K i niech · bedzie
˛
dowolna˛ norma˛ w tej przestrzeni. Ustalmy baze˛ e(1) , e(2) , ..., e(m)
w przestrzeni X. Niech y ∈ X i niech (xk ) , k ∈ N, bedzie
˛
dowolnym ciagiem
˛
punktów z
X,
xk =
m
(k)
xj e(j) ,
j=1
Nastepuj
˛ ace
˛ warunki sa˛ równoważne:
y=
m
j=1
yj e(j) .
18
(a) limk→∞ xk = y.
(b) limk→∞ x(k)
j = yj dla każdego j ∈ {1, ..., m} .
z przestrzenia˛
Przestrzeń L (Km , Kn ) jest (co można łatwo sprawdzić) izomorficzna
K , a kanoniczna˛ baza˛ w tej przestrzeni jest układ macierzy E (i,j) , i ∈ {1, ..., n} , j ∈
{1, ..., m} , gdzie na przecieciu
˛
i-tego wiersza oraz j-tej kolumny macierzy E (i,j) znajduje
sie˛ jedynka, a pozostałe wyrazy tej macierzy równe sa˛ zeru. Wyrazy aij dowolnej macierzy
A = [aij ] , i ∈ {1, ..., n} , j ∈ {1, ..., m} , sa˛ współrzednymi
˛
tej macierzy w bazie E (i,j) ,
tzn.
mn
A=
n m
aij E (i,j) .
i=1 j=1
Z Faktów 1 i 2 wynika wiec,
˛ że jeżeli (Ak ) , k ∈ N, jest nieskończonym ciagiem
˛
macierzy postaci (1), to ciag
˛ ten jest zbieżny do macierzy B ∈ L (Km , Kn ) , B = [bij ] ,
i ∈ {1, ..., n} , j ∈ {1, ..., m} , wtedy i tylko wtedy, gdy
(k)
bij = lim aij
k→∞
∞
dla wszystkich i ∈ {1, ..., n} , j ∈ {1, ..., m} . Podobnie szereg macierzowy
k=0 Ak ,
którego wyrazami sa˛ macierze postaci (1) jest zbieżny do sumy S = [sij ] , i ∈ {1, ..., n} , j ∈
(k)
{1, ..., m} , wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne sa˛ wszystkie szeregi ∞
k=0 aij i równości:
∞
(k)
aij = sij
k=0
zachodza˛ dla wszystkich i ∈ {1, ..., n} , j ∈ {1, ..., m} .
FAKT 3. Niech (X, ·) bedzie
˛
przestrzenia˛ Banacha nad ciałem K (o dowolnym
wymiarze) i niech
(x
)
,
k
∈
N
,
b
edzie
˛
dowolnym
agiem
˛
punktów tej przestrzeni. Jeżeli sz0
∞ k
ci
∞
ereg liczbowy k=0 xk jest zbieżny, to szereg k=0 xk jest zbieżny w przestrzeni (X, ·) .
∞
Szeregi ∞
˛
zbieżnymi.
k=0 xk , dla których
k=0 xk < +∞, nazywamy bezwzglednie
FAKT 4. Każda przestrzeń liniowa unormowana (X, ·) o wymiarze skończonym nad
ciałem K jest przestrzenia˛ Banacha.
Niech teraz n = m. W przestrzeni L (Kn , Kn ) wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n bedziemy
˛
rozważać norm˛e operatorowa˛ przyjmujac
˛ dla A ∈ L (Kn , Kn ) , że A jest
n
n
równa normie operatora liniowego A : K → K , którego macierza˛ w bazie kanonicznej
przestrzeni Kn jest macierz A (zob. rozdz. 1.B i 1.C).
LEMAT 1. Dla dowolnych macierzy A, B ∈ L (Kn , Kn ) zachodzi nierówno´s´c:
AB ≤ A · B .
W szczególno´sci Ak ≤ Ak dla wszystkich A ∈ L (Kn , Kn ) i k ∈ N.
19
Dowód - zob. zad. 2.
Wynika stad,
˛ że dla każdej macierzy A ∈ L (Kn , Kn ) oraz t ∈ R zbieżny jest szereg
macierzowy
exp (tA) =
∞
Ak
k=0
k!
= In + tA +
t2 A2 t3 A3
+
+ ... ,
2!
3!
(2)
ponieważ dla każdego k ∈ N jest
k k
t A |t|k Ak
,
k! ≤
k!
∞ Ak wiec
˛ szereg liczbowy k=0 k! ma majorante˛ zbieżna˛
∞
|t|k Ak
k!
k=0
= e|t|·
A
.
Na mocy Faktu 3 szereg (2) jest zbieżny. (Używa sie˛ także czesto
˛
oznaczenia: etA =
exp (tA)).
Przypomnimy teraz kilka faktów z teorii funkcji zmiennej zespolonej. Niech D ⊂ C
bedzie
˛
obszarem na płaszczyźnie zespolonej C. Funkcje˛ f : D → C, w = f (z) nazywamy
analityczna˛ w obszarze D, jeżeli pochodna zespolona f ′ (z) istnieje w każdym punkcie
z ∈ D. Jeżeli z0 ∈ D, to taka funkcja w pewnym otoczeniu punktu z0 jest suma˛ tzw.
szeregu Taylora:
f (z) =
∞
f (k) (z0 )
k=0
k!
(z − z0 )k .
Szereg Taylora funkcji analitycznej jest szczególnym przypadkiem szeregu potegowego.
˛
Niech z0 ∈ C i niech (ak ) , k ∈ N0 , bedzie
˛
ciagiem
˛
liczb zespolonych. Szeregiem pote˛
gowym o środku z0 nazywamy szereg postaci
∞
ak (z − z0 )k ,
(3)
k=0
Liczby ak nazywamy współczynnikami tego szeregu.
Tzw. promień zbieżności r szeregu (3) określa wzór Hadamarda:
1
= lim sup k |ak |,
r
k→∞
przy czym przyjmuje
sie˛ umow˛e, że r = +∞, gdy lim supk→∞
k
gdy lim supk→∞ |ak | = +∞.
Koło otwarte
(4)
k
K (z0 ; r) = {z ∈ C : |z − z0 | < r} ,
|ak | = 0, natomiast r = 0,
20
gdzie r > 0 jest dane wzorem (4) nazywamy kołem zbieżności szeregu (3). (W przypadku
r = +∞ przyjmujemy, że K (z0 ; +∞) = C).
Prawdziwe jest twierdzenie, którego dowodu nie bedziemy
˛
podawać.
TWIERDZENIE 1. Dany jest szereg potegowy
˛
(3), którego promień zbieżno´sci r > 0
okre´sla wzór (4). Dla każdego z ∈ K (z0 ; r) (gdzie K (z0 ; r) jest kołem zbieżno´sci szeregu)
szereg (3) jest zbieżny bezwzglednie
˛
do sumy
f (z) =
∞
ak (z − z0 )k .
k=0
Funkcja f : K (z0 ; r) → C okre´slona w ten sposób jest analityczna. Ponadto dla
każdego ρ ∈ (0, 1) szereg (3) jest zbieżny do funkcji f jednostajnie i bezwzglednie
˛
w kole
{z ∈ C : |z − z0 | ≤ ρ} .
Jeżeli promień zbieżno´sci r = 0, to szereg jest zbieżny tylko w punkcie z = z0 .
W szczególności funkcja˛ analityczna˛ jest każdy wielomian f (z) ∈ C [z]. Jego szereg
Taylora jest oczywiscie suma˛ skończona˛ i promień zbieżności równy jest +∞.
k
˛ aca
˛ suma˛ szDEFINICJA 1. Dana jest funkcja analityczna f (z) = ∞
k=0 ak z bed
eregu potegowego
˛
o ´srodku w punkcie z0 = 0.
Funkcje˛ A → f (A) dana˛ wzorem
f (A) =
∞
ak Ak ,
(5)
k=0
okre´slona˛ w zbiorze tych wszystkich macierzy A ∈ L (Cn , Cn ) , dla których szereg po prawej
stronie wzoru (5) jest zbieżny, nazywamy funkcja˛ macierzowa˛ wyznaczona˛ przez funkcje˛
f.
Nawet w przypadku, gdy wiemy, że szereg (5) jest dla danej macierzy A ∈ L (Cn , Cn )
zbieżny, to nie jest na ogół łatwo obliczyć bezpośrednio jego sum˛e. Zajmiemy sie˛ teraz tym
zagadnieniem. W wielu przypadkach rozwiazanie
˛
problemu daje nastepuj
˛ ace
˛ twierdzenie,
którego nie bedziemy
˛
dowodzić.
TWIERDZENIE 2. Dana jest macierz A ∈ L (Cn , Cn ) . Niech σ (A) = {λ1 , ..., λk }
(zatem λi = λj , gdy i = j). Dla każdego j ∈ {1, ..., k} niech sj oznacza krotno´s´c algebraiczna˛ warto´sci własnej λj (zatem s1 + ... + sk = n). Niech w (z) = z n−1 . Dla
f (z) ∈ C [z] , i ∈ N0 niech f (i) (z) oznacza pochodna˛ rzedu
˛ i wielomianu f (z) (przyjmujemy umowe,
˛ że f (0) (z) = f (z)), za´s f (i) (A) niech oznacza warto´sć wielomianu macierzowego f (i) (X) wyznaczonego przez wielomian f (i) (z) (zob. rozdz. 2, wzór (WM)) dla
X = A.
21
Wtedy układ równań macierzowych

k 


w(0) (λj ) Gj1 + w(1) (λj ) Gj2 + ... + w (sj −1) (λj ) Gjsj
= w(0) (A) ,


j=1



k 
 w(1) (λj ) Gj1 + w(2) (λj ) Gj2 + ... + w (sj ) (λj ) Gjsj
= w(1) (A) ,
j=1



····························································



k 


w(n−1) (λj ) Gj1 + w(n) (λj ) Gj2 + ... + w(sj +n−2) (λj ) Gjsj = w(n−1) (A)

(6)
j=1
ma dokładnie jedno rozwiazanie
˛
(G11 , G12 , ..., G1s1 , G21 , G22 , ..., G2s2 , ..., Gk1 , Gk2 , ..., Gksk ) ∈ [L (Cn , Cn )]n .
k
˛ acej
˛ suma˛ szeregu pote˛
Ponadto dla każdej funkcji analitycznej f (z) = ∞
k=0 ak z bed
gowego o ´srodku w punkcie z0 = 0 i promieniu zbieżno´sci r takim, że
max {|λj | : j ∈ {1, ..., k}} < r,
zachodzi równo´s´c:
f (A) =
k
(0)
f (λj ) Gj1 + f (1) (λj ) Gj2 + ... + f (sj −1) (λj ) Gjsj .
(7)
j=1
Macierze Gij wystepuj
˛ ace
˛ we wzorze (6) nazywamy składowymi macierzy A.
Uwaga. Składowe macierzy A ∈ L (Cn , Cn ) można wyznaczać nie tylko z układu (6),
lecz także (co, jak nietrudno sprawdzić, jest równoważne) z układu n równań macierzowych,
który otrzymujemy kładac
˛ we wzorze (7) kolejno f = f0 , f = f1 , ... f = fn−1 , gdzie
m
fm (z) = z dla każdego m ∈ {0, 1, ..., n − 1} .
Jednym z zastosowań równości (7) jest pewien sposób wyznaczania rozwiazań
˛
zadania
Cauchy’ego dla układu równań różniczkowych zwyczajnych I rzedu
˛
o stałych współczynnikach w przestrzeni Rn , który teraz przedstawimy.
Przypuśćmy, że w Rn dany jest układ równań różniczkowych zwyczajnych

x′1 = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn ,



x′2 = a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn ,
·······································



x′n = an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn ,
z tzw. warunkiem poczatkowym:
˛

(0)

x1 (0) = x1 ,



x2 (0) = x(0)
2 ,

 ···············

 x (0) = x(0) ,
n
2
22
#
$
(0)
(0)
gdzie A = [aij ] ∈ L (Rn , Rn ) , i, j ∈ {1, ..., n} , oraz x(0) = x1 , ..., xn ∈ Rn jest danym
wektorem.
W tzw. postaci macierzowej możemy powyższy układ wraz z warunkiem poczatkowym
˛
zapisać w postaci:
%
x′ = Ax,
(8)
x (0) = x(0) ,
gdzie



x′1



x′ =  ...  , x = 
x′n



 (0) 
x1
x1 (0)
x1
..  , x (0) =  ..  , x(0) =  ..  .
 . 
 . 
. 
(0)
xn
xn (0)
xn
Poszukujemy rozwiazania
˛
tego zadania Cauchy’ego, tj. funkcji wektorowej x : R → Rn ,


x1 (t)


x (t) =  ... 
xn (t)
takiej, że x′ (t) = Ax (t) dla każdego t ∈ R i x (0) = x(0) . Jak wiadomo z teorii równań
różniczkowych zwyczajnych, takie rozwiazanie
˛
zawsze istnieje i to dokładnie jedno.
Udowodnimy, że rozwiazaniem
˛
powyższego zadania Cauchy’ego jest funkcja wektorowa
dana wzorem:
x (t) = etA · x(0)
(9)
dla wszystkich t ∈ R. Ponieważ (zob. zad. 4)
x (0) = e0·A x(0) = eOn · x(0) = In · x(0) = x(0) ,
(10)
wystarczy wykazać, że funkcja ta spełnia dane równanie różniczkowe. Mówi o tym nastepu˛
jacy
˛ lemat.
LEMAT 2. Funkcja (9) jest różniczkowalna w zbiorze liczb rzeczywistych i mamy:
x (t) = A · etA · x(0) dla wszystkich t ∈ R.
′
Dowód - zob. zad. 9.
˛
Wobec tego x′ (t) = Ax (t) , co wraz z (10) oznacza, że nasza funkcja jest rozwiazaniem
zadania Cauchy’ego (8).
W analogiczny sposób pokazujemy, że rozwiazaniem
˛
zadania Cauchy’ego z warunkiem
poczatkowym
˛
zadanym w dowolnym punkcie t0 ∈ R (rozważaliśmy przypadek ,gdy t0 = 0),
tj. zadania Cauchy’ego
%
x′ = Ax,
x (t0 ) = x(0) ,
23
jest funkcja
x (t) = e(t−t0 )A · x(0)
dla wszystkich t ∈ R.
Zadania
1. Znaleźć macierze A, B ∈ L (R2 , R2 ) , gdzie
& '
&
k
∞
2k
1 + k1 ,
3k
, B=
A = lim 1
1
1
k→∞
k
+
...
+
,
k
2
2k
k=0
(Wsk.
∞
1
k=0 (k+1)2
=
1
,
3k
1
,
(k+1)2
1
(k+1)(k+2)
1
k!
'
.
π2
).
6
2. Udowodnić, że dla dowolnych macierzy
A, B ∈ L (Kn , Kn ) zachodzi nierówność:
AB ≤ A · B . W szczególności Ak ≤ Ak dla wszystkich A ∈ L (Kn , Kn ) i k ∈ N.
(Tutaj · oznacza norm˛e operatorowa,
˛ zob. rozdz. 1.B i 1.C).
3. Podać przykład macierzy A ∈ L (R2 , R2 ) takiej, że A2 < A2 .
4. (a) Korzystajac
˛ ze wzoru (2) udowodnić, że dla dowolnych macierzy A, B ∈ L (Kn , Kn )
przemiennych, tzn. takich, że AB = BA, zachodzi równość:
eA+B = eA · eB .
(b) Wykazać, że eOn = In oraz że dla każdej macierzy A ∈ L (Kn , Kn ) jest e−A =
−1
eA
.
5. Korzystajac
˛ ze wzoru Hadamarda wyznaczyć koła zbieżności szeregów potegowych
˛
ez =
∞
zk
k=1
cos z =
k!
sin z =
,
k=0
∞
(−1)k z 2k
k=0
∞
(−1)k z 2k+1
(2k)!
6. Znaleźć macierz eA , gdy
(a) A ∈ L (C, C) , A = [5] .
1 −1
2
2
(b) A ∈ L (C , C ) , A =
.
1
1
1 1
2
2
.
(c) A ∈ L (C , C ) , A =
0 1
(2k + 1)!
∞
,
,
1
=
zk.
1−z
k=0
24
2
2
(d) A ∈ L (C , C ) , A =
0 −1
1
0
.
7. Dla danej macierzy A znaleźć macierze eA , sin A, cos A, ln A, gdy
1 −2
2
2
(a) A ∈ L (R , R ) , A =
.
−2
1


3 −3
2
5 −2  .
(b) A ∈ L (R3 , R3 ) , A =  −1
−1
3
0
8. Wyznaczyć macierz An , n ∈ N, gdy
1 −1
2
2
(a) A ∈ L (R , R ) , A =
.
1
1


0 1
0
0 .
(b) A ∈ L (R3 , R3 ) , A =  1 0
0 0 −1
9. Dana jest macierz A ∈ L (Rn , Rn ) i wektor x(0) ∈ Rn . Udowodnić, że funkcja
dana wzorem x (t) = etA · x(0) dla wszystkich t ∈ R jest różniczkowalna w zbiorze liczb
rzeczywistych i zachodzi równość: x′ (t) = A · etA · x(0) dla każdego t ∈ R.
10. Znaleźć rozwiazanie
˛
zadania Cauchy’ego
(a)

x′1 = x1 − 2x2 ,

x′2 = 2x1 + x2 ,

(x1 (0) , x2 (0)) = (0, 1) .
(b)




x′1 = x3 ,
x′2 = x2 ,
x′3 = x1 ,



(x1 (0) , x2 (0) , x3 (0)) = (1, 0, −1) .
25
5. O widmach operatorów liniowych
Bedziemy
˛
rozważać operatory liniowe w przestrzeniach liniowych unormowanych rzeczywistych i zespolonych, w szczególności w przestrzeniach Banacha (zob. rozdz. 1.B). Jak
w poprzednich rozdziałach, symbol K bedzie
˛
oznaczać ciało liczb rzeczywistych R lub ciało
liczb zespolonych C. Jeżeli X, Y sa˛ przestrzeniami liniowymi unormowanymi nad ciałem K,
to przez L (X, Y ) bedziemy
˛
oznaczać przestrzeń wszystkich operatorów liniowych ograniczonych A : X → Y (zob. rozdz. 1.B). Dla A ∈ L (X, Y ) symbol A bedzie
˛
oznaczać
norm˛e operatorowa˛ operatora A (zob. rozdz. 1.B).
DEFINICJA 1. Niech X bedzie
˛
przestrzenia˛ Banacha nad ciałem K i niech A ∈
L (X, X) . Liczbe˛ λ ∈ K nazywamy warto´scia˛ własna˛ operatora A, gdy istnieje wektor
niezerowy x ∈ X taki, że Ax = λx. Każdy taki wektor nazywamy wektorem własnym
odpowiadajacym
˛
warto´sci własnej λ, a zbiór
Xλ = {x ∈ X : Ax = λx}
nazywamy przestrzenia˛ własna˛ operatora A odpowiadajac
˛ a˛ warto´sci własnej λ. Zbiór
wszystkich warto´sci własnych operatora A oznaczamy symbolem σ p (A) i nazywamy widmem punktowym tego operatora.
LEMAT 1. Niech X bedzie
˛
przestrzenia˛ Banacha i niech A ∈ L (X, X) . Dla każdego
λ ∈ σ p (A) przestrzeń własna Xλ operatora A odpowiadajaca
˛ warto´sci własnej λ jest
domkniet
˛ a˛ podprzestrzenia˛ liniowa˛ przestrzeni X.
Dowód - patrz zad. 1.
LEMAT 2. Niech X bedzie
˛
przestrzenia˛ Banacha i niech A ∈ L (X, X) . Niech λ i µ
bed
˛ a˛ dwiema różnymi warto´sciami własnymi operatora A. Wtedy dowolne dwa niezerowe
wektory x ∈ Xλ i y ∈ Xµ sa˛ liniowo niezależne.
Dowód. Przypuśćmy, że sx + ty = 0, gdzie s, t ∈ K. (symbolem 0 bedziemy
˛
oznaczać
wektor zerowy przestrzeni X). Mamy:
0 = A (0) = A (sx + ty) = sA (x) + tA (y) = sλx + tµy.
Otrzymujemy układ równań
%
sx + ty = 0,
λsx + µty = 0.
Mnożac
˛ pierwsze z tych równań obustronnie przez µ i odejmujac
˛ od drugiego dostajemy
równość (λ − µ) sx = 0, a ponieważ z założenia jest λ = µ i x = 0, wiec
˛ musi być s = 0.
W konsekwencji także t = 0, co dowodzi, że wektory x i y sa˛ liniowo niezależne. ♠
Wyróżnimy teraz pewne klasy operatorów liniowych ograniczonych w przestrzeniach
Hilberta (zob. rozdz. 1.B). Mamy dwie definicje:
26
DEFINICJA 2. Niech (H, ·, ·) bedzie
˛
przestrzenia˛ Hilberta nad ciałem K. Operator
A ∈ L (H, H) nazywamy samosprzeżonym
˛
(lub hermitowskim), jeżeli równo´sć
Ax, y = x, Ay
(1)
zachodzi dla wszystkich wektorów x, y ∈ H.
DEFINICJA 3. Niech (H, ·, ·) bedzie
˛
przestrzenia˛ Hilberta nad ciałem K. Operator
U ∈ L (H, H) nazywamy unitarnym, jeżeli U (H) = H i równo´sć
Ux, Uy = x, y
(2)
zachodzi dla wszystkich wektorów x, y ∈ H.
W przypadku gdy przestrzeń H jest rzeczywista, operatory unitarne nazywa sie˛ czesto
˛
ortogonalnymi.
LEMAT 3. Niech H bedzie
˛
przestrzenia˛ Hilberta nad ciałem K i niech A ∈ L (H, H)
bedzie
˛
operatorem samosprze˛żonym. Wtedy Ax, x ∈ R dla każdego x ∈ H.
Dowód. Jeżeli x ∈ H, to z równości (1) mamy Ax, x = x, Ax . Z drugiej strony z
własności iloczynu skalarnego (zob. rozdz. 1.B) wynika, że x, Ax = Ax, x. Wobec tego
Ax, x = Ax, x, co oznacza, że Ax, x ∈ R. ♠
TWIERDZENIE 1. Niech H bedzie
˛
przestrzenia˛ Hilberta nad ciałem K i niech
A ∈ L (H, H) bedzie
˛
operatorem samosprze˛żonym. Wtedy każda warto´sć własna operatora
A jest liczba˛ rzeczywista.˛
Dowód. Niech λ ∈ σ p (A) i niech x ∈ H bedzie
˛
wektorem własnym odpowiadajacym
˛
wartości własnej λ. Wtedy Ax = λx. Mnożac
˛ obustronnie powyższa˛ równość skalarnie
przez x dostajemy: Ax, x = λx, x = λ x, x . Ale x, x = x2 ∈ R i x, x = 0, gdyż
x = 0 (zob. rozdz. 1.B), natomiast Ax, x ∈ R na mocy Lematu 3. Wiec
˛ λ ∈ R. ♠
Przypomnijmy, że wektory x, y należace
˛ do przestrzeni Hilberta (H, ·, ·) nazywamy
prostopadłymi (ortogonalnymi), jeżeli x, y = 0. Mówimy, że podzbiory niepuste K, M
przestrzeni Hilberta H sa˛ ortogonalne, jeżeli x, y = 0 dla wszystkich x ∈ K i y ∈ M.
WNIOSEK 1. Niech H bedzie
˛
przestrzenia˛ Hilberta nad ciałem K i niech A ∈
L (H, H) bedzie
˛
operatorem samosprze˛żonym. Niech λ i µ bed
˛ a˛ dwiema różnymi warto´sciami własnymi operatora A. Wtedy podprzestrzenie własne Hλ oraz Hµ operatora A sa˛
ortogonalne.
Dowód - patrz zad. 2.
WNIOSEK 2. Niech H bedzie
˛
przestrzenia˛ Hilberta nad ciałem K i niech U ∈
L (H, H) bedzie
˛
operatorem unitarnym. Wtedy |λ| = 1 dla każdego λ ∈ σ p (U ) .
Dowód - patrz zad. 3.
27
Niech X bedzie
˛
przestrzenia˛ liniowa˛ nad ciałem K. Przypomnijmy, że operator liniowy
A : X → X jest różnowartościowy wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór
ker A = {x ∈ X : Ax = 0}
(tzw. jadro
˛
operatora A) jest zbiorem jednoelementowym i ker A = {0} (zob. zad.
9). Taki operator bedziemy
˛
nazywać odwracalnym. Z różnowartościowości operatora
odwracalnego wynika, że posiada on odwzorowanie odwrotne A−1 , którego dziedzina˛ jest
obraz A (X) przestrzeni X w przekształceniu A, tzn. A−1 : A (X) → X. (Jeżeli, dodatkowo,
A przekształca X na cała˛ przestrzeń X, czyli A (X) = X, to A−1 : X → X. Mówimy wtedy,
że A jest bijekcja).
˛
Można łatwo pokazać (zob. zad. 10), że jeżeli operator A : X → X jest odwracalny,
to odwzorowanie odwrotne A−1 : A (X) → X też jest operatorem liniowym.
Niech teraz X bedzie
˛
przestrzenia˛ Banacha nad ciałem K. Symbolem IX bedziemy
˛
oznaczać operator tożsamościowy: IX (x) = x dla każdego x ∈ X. Zajmiemy sie˛ ważnym
zagadnieniem odwracalności operatora liniowego λIX − A : X → X, gdzie A ∈ L (X, X) i
λ ∈ K. Mówiac
˛ dokładniej, chodzi o zbadanie kiedy (dla jakich liczb λ) operator λIX − A
jest bijekcja˛ taka,˛ że operator odwrotny (λIX − A)−1 : X → X jest ograniczony, tzn.
(λIX − A)−1 ∈ L (X, X) . (Zauważmy, że sam operator λIX − A jest zawsze ograniczony, zob. twierdzenie 5, rozdz. 1.B). W przypadku przestrzeni o wymiarze skończonym
odpowiedź daje nastepuj
˛ ace
˛ twierdzenie.
TWIERDZENIE 2. Niech X bedzie
˛
przestrzenia˛ liniowa nad ciałem K o wymiarze
skończonym dim X = n i niech A ∈ L (X, X) . Nastepuj
˛ ace
˛ warunki sa˛ równoważne:
(a) λ ∈ K \ σ p (A) .
(b) Operator liniowy (λIX − A) jest odwracalny i (λIX − A)−1 ∈ L (X, X) .
Dowód. Przypuśćmy, że zachodzi warunek (a), czyli że λ ∈ K nie jest wartościa˛ własna˛
operatora A. Wykażemy, że operator λIX −A jest różnowartościowy. Wystarczy w tym celu
(zob. zad. 9) wykazać, że ker (λIX − A) = {0} . Przypuśćmy, że x ∈ ker (λIX − A) . Zatem
(λIX − A) x = 0, czyli λx = Ax. Gdyby było x = 0, to oznaczałoby to, że wektor x jest
wektorem własnym operatora A i wtedy liczba λ byłaby wartościa˛ własna˛ tego operatora,
wbrew założeniu (a). Zatem x = 0 i dlatego ker (λIX − A) = {0} .
Operator λIX − A jest wiec
˛ różnowartościowy. Z algebry liniowej wiadomo, że w takim
razie
dim (λIX − A) (X) = n,
co oznacza, że (λIX − A) (X) = X. Operator λIX − A jest wiec
˛ bijekcja.˛ Operator do
niego odwrotny (λIX − A)−1 odwzorowuje przestrzeń X na X i oczywiście jest liniowy
(zob. zad. 10). Ponieważ w przestrzeniach o skończonym wymiarze każdy operator liniowy
jest ograniczony (zob. Twierdzenie 4, rozdz. 1.C), wiec
˛ (λIX − A)−1 ∈ L (X, X) , czyli
zachodzi warunek (b).
Przypuśćmy teraz, że n ie zachodzi warunek (a), czyli że λ ∈ K jest wartościa˛ własna˛
operatora A. Wobec tego istnieje niezerowy wektor x ∈ X taki, że λx = Ax, czyli
(λIX − A) x = 0 i x ∈ ker (λIX − A) . Wobec tego ker (λIX − A) = {0} i operator λIX − A
nie jest odwracalny, czyli nie zachodzi warunek (b). ♠
28
DEFINICJA 4. Niech X bedzie
˛
przestrzenia˛ Banacha nad ciałem K i niech A ∈
L (X, X) . Liczbe˛ λ ∈ K nazywamy warto´scia˛ regularna˛ operatora A, jeżeli operator
λIX −A jest bijekcja˛ przestrzeni X na X i (λIX − A)−1 ∈ L (X, X) . Zbiór ρ (A) wszystkich
warto´sci regularnych nazywamy zbiorem rezolwenty operatora A. Rezolwenta˛ operatora
A nazywamy odwzorowanie RA : ρ (A) → L (X, X) okre´slone wzorem
RA (λ) = (λIX − A)−1
dla wszystkich λ ∈ ρ (A) .
Dopełnienie σ (A) = K \ ρ (A) zbioru rezolwenty nazywamy widmem operatora A.
Oczywiście σ p (A) ⊂ σ (A) (zob. zad. 4). Mówimy, że operator A ∈ L (X, X) ma
widmo czysto punktowe, jeżeli σ p (A) = σ (A) . Z Twierdzenia 2 wynika natychmiast
wniosek:
WNIOSEK 3. Niech X bedzie
˛
przestrzenia˛ Banacha nad ciałem K o wymiarze skończonym. Wtedy każdy operator liniowy ograniczony A ∈ L (X, X) ma widmo czysto punktowe, czyli σ p (A) = σ (A) .
Widma operatorów w przestrzeniach o wymiarze nieskończonym moga˛ być bardziej
skomplikowane i nietrudno o przykład, w którym σ p (A) = σ (A) (zob. zad. 5 i 7).
WNIOSEK 4. Niech X bedzie
˛
przestrzenia˛ Banacha nad ciałem K o wymiarze skończonym. Wtedy dla każdego A ∈ L (X, X) widmo σ (A) = σ p (A) operatora A jest identyczne
ze zbiorem K∩σ (MA ) , gdzie σ (MA ) oznacza widmo macierzy MA operatora A w dowolnie
wybranej bazie przestrzeni X.
Dowód. Przypuścmy, że dim X = n, n ∈ N. Niech A ∈ L (X, X) i λ ∈ K. Ustalmy baze˛
(e1 , ..., en ) przestrzeni X i niech MA = [aij ] ,i, j ∈ {1, ..., n} , bedzie
˛
macierza˛ operatora A
n
w tej bazie. Wektor niezerowy x ∈ X, x = i=1 xi ei jest wektorem własnym operatora A
wtedy i tylko wtedy (zob. rozdz. 1.C), gdy jego współrzedne
˛
spełniaja˛ układ równań

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = λx1 ,



a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = λx2 ,
······························



an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = λxn ,
czyli

(a11 − λ) x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0,



a21 x1 + (a22 − λ) x2 + ... + a2n xn = 0,
······························



an1 x1 + an2 x2 + ... + (ann − λ) xn = 0.
Z teorii układów równań liniowych wiadomo, że powyższy układ ma niezerowe rozwiazanie
˛
w ciele K wtedy i tylko wtedy, gdy det (MA − λIn ) = 0, czyli gdy liczba λ jest pierwiastkiem
˛
do
wielomianu charakterystycznego macierzy MA (zob. Definicja 4, rozdz. 2). należacym
ciała K. ♠
29
Niech X bedzie
˛
przestrzenia˛ rzeczywista˛ o wymiarze skończonym dim X = n. Ponieważ
wielomian charakterystyczny macierzy operatora liniowego A ∈ L (X, X) ma stopień n, to
zgodnie z Wnioskiem 4 widmo punktowe σ p (A) tego operatora jest zawsze niepuste, gdy
n jest liczba˛ nieparzysta.˛ Jeżeli n jest liczba˛ parzysta,˛ to może być σ p (A) = ∅ (zob. zad.
6). Natomiast jeżeli X jest przestrzenia˛ zespolona,˛ to zawsze jest σ p (A) = ∅. Wynika to
ze znanego faktu:
FAKT 1. Każdy wielomian f (z) ∈ C [z] dodatniego stopnia n ma w ciele liczb zespolonych pierwiastek. Suma krotno´sci wszystkich pierwiastków zespolonych wielomianu
f (z) wynosi n.
W przeztrzeniach o wymiarze nieskończonym jest nieco inaczej. Nawet w przypadku
gdy przestrzeń jest zespolona, może być σ p (A) = ∅ (zob. zad. 5). Natomiast widmo
σ (A) operatora A ∈ L (X, X) jest zawsze niepuste. Mówi o tym jedno z dwóch twierdzeń,
których nie bedziemy
˛
tutaj dowodzić.
TWIERDZENIE 3. Jeżeli X jest zespolona˛ przestrzenia˛ Banacha i A ∈ L (X, X) ,
to σ (A) = ∅.
TWIERDZENIE 4. Niech X bedzie
˛
zespolona˛ przestrzenia˛ Banacha i niech A ∈
L (X, X) . Wtedy zbiór rezolwenty ρ (A) operatora A jest zbiorem otwartym na płaszczy´znie
zespolonej, a σ (A) jest zbiorem domknietym
˛
zawartym w kole {λ ∈ C : |λ| ≤ A} . Dla
wszystkich liczb zespolonych λ takich, że |λ| > A , zachodzi równo´sć
∞
An
RA (λ) =
n+1 .
λ
n=0
Zadania
1. Niech X bedzie
˛
przestrzenia˛ Banacha i niech A ∈ L (X, X) . Udowodnić, że dla
każdego λ ∈ σ p (A) przestrzeń własna Xλ operatora A odpowiadajaca
˛ wartości własnej λ
jest domkniet
˛ a˛ podprzestrzenia˛ liniowa˛ przestrzeni X.
2. Niech H bedzie
˛
przestrzenia˛ Hilberta nad ciałem K i niech A ∈ L (H, H) bedzie
˛
operatorem samosprze˛ żonym. Niech λ i µ bed
˛ a˛ dwiema różnymi wartościami własnymi operatora A. Udowodnić, że podprzestrzenie własne Hλ oraz Hµ operatora A sa˛ ortogonalne.
3. Niech H bedzie
˛
przestrzenia˛ Hilberta nad ciałem K i niech U ∈ L (H, H) bedzie
˛
operatorem unitarnym. Udowodnić, że |λ| = 1 dla każdego λ ∈ σ p (U ) .
4. Niech X bedzie
˛
przestrzenia˛ Banacha nad ciałem K i niech A ∈ L (X, X) . Udowodnić, że σ p (A) ⊂ σ (A) .
5. Wyznaczyć widma punktowe σ p (A) nastepuj
˛ acych
˛
operatorów liniowych ograniczonych:
(a) A : l2 → l2 , gdzie A (x1 , x2 , x3 , ...) = (x2 , x3 , x4 , ...) , zaś l2 jest przestrzenia˛ rzeczywista.˛
30
(b) A : l2 → l2 , gdzie A (z1 , z2 , z3 , ...) = (z2 , z3 , z4 , ...) , zaś l2 jest przestrzenia˛ zespolona.˛
(c) A : C ([0, 1]) → C ([0, 1]) , gdzie (Ax) (t) = tx (t) , t ∈ [0, 1] , zaś C ([0, 1]) jest
przestrzenia˛ rzeczywista.˛
(d) A : C ([0, 1]) → C ([0, 1]) , gdzie (Az) (t) = tz (t) , t ∈ [0, 1] , zaś C ([0, 1]) jest
przestrzenia˛ zespolona.˛
(e) A : l2 → l2 , gdzie A (x1 , x2 , x3 , ...) = (0, x1 , x
2t, x3 , ...) .
(f) A : C ([0, 1]) → C ([0, 1]) , gdzie (Ax) (t) = 0 x (s) ds.
6. Wyznaczyć widmo punktowe operatora A : K2 → K2 danego wzorem: A (x1 , x2 ) =
(−x2 , x1 ) , gdy
(a) K = R.
(b) K = C.
7. Wyznaczyć widma σ (A) operatorów liniowych ograniczonych z zadań 7(a), 7(b),
7(c) i 7(d).
8. Podać wzór na rezolwente˛ operatora A : R2 → R2 danego wzorem: A (x1 , x2 ) =
(x1 + x2 , x2 ) .
9. Niech X bedzie
˛
przestrzenia˛ liniowa˛ nad ciałem K. Udowodnić, że operator liniowy
A : X → X jest różnowartościowy wtedy i tylko wtedy, gdy ker A = {0} .
10. Niech X bedzie
˛
przestrzenia˛ liniowa˛ nad ciałem K. Udowodnić, że jeżeli operator
A : X → X jest odwracalny, to odwzorowanie odwrotne A−1 : A (X) → X też jest
operatorem liniowym.