2.WEKTORY I PRZESTRZENIE WEKTOROWE

Materiały pomocnicze do laboratorium Podstaw Optymalizacji
Część druga: WEKTORY i PRZESTRZENIE WEKTOROWE
2.WEKTORY I PRZESTRZENIE WEKTOROWE
W dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej E2 punkty są utożsamiane z parami u=(u1,u2). u
może być traktowane jako punkt o współrzędnych (u1,u2) względem stałego punktu
odniesienia 0 =(0,0) albo jako wektor, tj. przesunięcie punktu odniesienia z (0,0) o wielkości
u1 i u2 wzdłuż ustalonych kierunków współrzędnych (rys. 2.1).
u2
(u*1,u*2)
u
u1
Rys. 2.1. Wektory
Te dwie interpretacje będą używane wymiennie. Dalej przyjmiemy notację
u=
u*1
u*2
Najważniejsze własności wektorów w przestrzeni E2
2.1. Mnożenie wektorów przez skalary (rys. 2.2). Każdej parze α i u, gdzie α jest skalarem, a
u wektorem, odpowiada wektor α*u = (α*u1 ,α*u2)T, zwany iloczynem wektora u przez skalar
α. Mnożenie wektorów przez skalary ma następujące własności:
a) α*(β*u) = (α*β)*u
b) α*(u+v) = α*u+α*v
(α+β)*u = α*u+β*u
c) 1*u = u
d) 0*u =0 = [0,0]T.
2.2. Dodawanie wektorów (rys. 2.3)
u2
[αu*1, αu*2]T
α>1
α*u
[v*1, v*2]
v
T
T
[u*1,u*2]
*
u
[α*v 1, α*v*2] T
α*v
α<1
u2
u+v
u
v
u1
u1
Rys. 2.2. Mnożenie wektorów przez skalary
Rys. 2.3. . Dodawanie wektorów
Każdej parze wektorów u=[u1,u2]T i v=[v1,v2]T odpowiada wektor w=u+v = [u1+v1 , u2+v2]T,
zwany sumą wektorów u i v , taki że:
a) u+v = v+u,
b) (u+v) +w = u+(v+w),
1
Materiały pomocnicze do laboratorium Podstaw Optymalizacji
Część druga: WEKTORY i PRZESTRZENIE WEKTOROWE
c) w przestrzeni istnieje tylko jeden wektor zerowy, zwany punktem odniesienia, taki,
że:
u+0 =u dla każdego u w E2,
d) dla każdego u w E2 istnieje jeden i tylko jeden wektor przeciwny – u, taki, że:
u +(-u) = 0.
2.3. Iloczyn skalarny wektorów
Każdej parze wektorów u,v w E2 odpowiada liczba rzeczywista u○v = uTv = (u1*v1+u2*v2),
zwana iloczynem skalarnym wektorów u i v . Iloczyn skalarny posiada następujące
własności:
a) u○v = v○u
b) (α*u+β*v ) ○ w = α*(u○w)+β*(v○w ) dla dowolnych skalarów α, β i wektorów u, v
i w wE2,
c) u○u ≥ 0 i u○u = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy u = 0.
2.4. Długość wektora
u2
u2*
(u1* ) 2 + (u2* ) 2
u2
u1*
u1
Rys. 2.4. Długość wektora
Każdemu wektorowi u w E2 odpowiada liczba rzeczywista
u = u 21 + u22 ,
zwana długością wektora u (rys. 2.4):
a) || u || ≥ 0 i || u || = 0 ⇔ gdy u = 0,
b) ||α*u ||= |α|*||u ||.
Długość spełnia nierówność trójkąta
c) || u+v || ≤ || u || + || v || dal każdego u i v w E2,
u o u = uT u
dx
T
2.5. Pochodna wektora:
= x& = [x&1 x& 2 L x& n ] .
dt
2.6. Zbiór wektorów u1, u2 ,..., un nazywamy liniowo niezależnym, jeśli dla wszystkich liczb
α1, α2, ... , αn równość
α1 *u1 + α2*u2 + ... +αn*un = O
pociąga
α1 = α2 =...= αn= 0.
W przeciwnym przypadku zbiór jest zależny . Na przykład zbiór dwóch wektorów
d) || u || =
u1 = [1 0 ]T i u2 = [1 1 ]T
jest liniowo niezależny.
2
Materiały pomocnicze do laboratorium Podstaw Optymalizacji
Część druga: WEKTORY i PRZESTRZENIE WEKTOROWE
Aby to pokazać napiszemy
α1u1 + α2u2 = α1 [1 0]T + α2 [1 1]T = [0 0]T
stąd
α1 + α2 = 0 i α2 = 0 ,
stąd jedynym rozwiązaniem jest para liczb: α1 = 0 ; α2 = 0.
W podobny sposób można wykazać, że zbiór wektorów :
u1 = [1 0 ]T , u2 = [0 1 ]T , u3 = [1 1]T
jest liniowo zależny. W tym przypadku mamy
(*) α1u1 + α2u2 +α3u3 = α1 [1 0]T + α2 [0 1]T +α3 [1 1]T = [0 0]T
stąd
α1 + α2 = 0 i α2 + α3 = 0,
Otrzymujemy stąd, że α3 = -α1 i α3 = -α2 . W ten sposób dla α1 = α2 = α i α3 = -α , gdzie α
może być dowolną liczbą, równanie (*) jest spełnione.
Ostatni przykład pokazuje własność dwuwymiarowości E2 : istnieją dwa niezależne liniowo
wektory, np. wektory jednostkowe [1,0]T i [0,1]T, podczas gdy każde trzy wektory są już
liniowo zależne.
2.7. Ogólnie dla przestrzeni n-wymiarowej mamy następującą definicję:
n-wymiarowa przestrzeń euklidesowa En jest zbiorem obiektów zwanych wektorami, które
posiadają własności opisane poprzednio w punktach 1÷3 ; w przestrzeni En istnieje układ n
niezależnych wektorów, ale każdy układ n+1 wektorów w En jest układem liniowo zależnym.
W En mamy u= [u1, u2,..., un]T i zachodzi:
α[u1, u2,..., un]T = [αu1, αu2,..., αun]T,
[u1, u2,..., un]T + [v1, v2,..., vn]T = [u1+ v1, u2+ v2, ..., un+ vn]T ,
[u1, u2,..., un]T ○ [v1, v2,..., vn]T = u1v1 + u2v2 + ... +unvn .
2.8. Bazą w En jest zbór n niezależnych wektorów. Każdy wektor w En może być
jednoznacznie wyznaczony jako kombinacja liniowa wektorów dane bazy. Zbiór n wektorów
jednostkowych [1, 0, ..., 0]T, [0, 1, ... , 0]T, ... , [0, 0, ..., 0, 1]T jest bazą w En .
2.9. Jeden warunek liniowy w E2 (np. a1u1 + a2u2 = b, gdzie a1, a2, b są stałymi) określa
prostą; jeden warunek liniowy w E3 określa płaszczyznę; obiekt określony jednym
warunkiem liniowym w En określa hiperpłaszczyznę. Hiperpłaszczyzna H ( a,b ) w En jest
zbiorem wszystkich wektorów u takich, że aTu = b dla danego a ≠ 0 i danej liczby
rzeczywistej b (rys. 2.5).
Hiperpłaszczyzna dzieli En na dwie półprzestrzenie, które oznaczamy
H+(a,b) = (u: aTu ≥ b), H- (a,b) = (u: aTu ≤ b).
H+(a,b) jest półprzestrzenią, tj., częścią En do której należą wszystkie wektory u, dla których
aTu ≥ b, H-(a,b) jest półprzestrzenią, do której należą wszystkie wektory u, dla których
aTu ≤ b.
Dla a= [2,-1]T i b=1 mamy iloczyn skalarny
aTu = 2u1 - u2
3
Materiały pomocnicze do laboratorium Podstaw Optymalizacji
Część druga: WEKTORY i PRZESTRZENIE WEKTOROWE
i dwie półprzestrzenie
H+(a,b) = 2u1 - u2 ≥ 1,
H-(a,b) = 2u1 - u2 ≤ 1,
jak pokazano na rysunku 2.5. Punkty prostej 2u1 - u2 = 1 należą do obu półprzestrzeni.
u2
2u1-u2=1
H
-
1/2
-1
u1
H+
Rys. 2.5. Przykład hiperpłaszczyzny
4