Operatory samosprzezone

Operatory samosprzężone
grudzień 2013
Operatory samosprzężone
Operatory hermitowskie
(g, Lf ) = (Lg, f )
(3.29)
albo
(3.30)
Z
∞
g ∗ (x){L(x)f (x)}w(x)dx =
−∞
Z
∞
∗
{L(x)g(x)} f (x)w(x)dx.
−∞
(Użyliśmy nawiasu klamrowego jako ogranicznika obszaru działania
operatora L.)
(3.31)
L(x) = α(x)
d2
d
+ β(x)
+ γ(x),
dx2
dx
gdzie funkcje α(x), β(x) i γ(x) są rzeczywistymi1 funkcjami zmiennej
x w interesującym nas przedziale (a, b).
1 Tzn.
α∗ (x) = α(x), itd.
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
warunki
Warunek (3.29), to znaczy
(g, Lf ) − (Lg, f ) = 0
wymaga aby:
x=+∞
w(x)α(x){g ∗ (x)f 0 (x) − f (x)g ∗ 0 (x)} x=−∞
Z +∞
−
{g ∗ (x)f 0 (x) − f (x)g ∗ 0 (x)}{[w(x)α(x)]0 − w(x)β(x)}dx = 0.
−∞
Występujące w powyższych wzorach funkcje f i g można traktować
zupełnie dowolnie. Warunek hermitowskości (3.29) ma postać mocno
skomplikowaną. . .
x=+∞
(3.35)
w(x)α(x){g ∗ (x)f 0 (x) − f (x)g ∗ 0 (x)} x=−∞ = 0
oraz
(3.36)
[{w(x)α(x)}0 − w(x)β(x)] = 0.
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
postać kanoniczna
(3.37) α(x)w(x)
dy
d2 y
+ β(x)w(x)
+ γ(x)w(x)y(x) = −λw(x)y(x).
2
dx
dx
Ale zgodnie z (3.36) β(x)w(x) = [α(x)w(x)]0 . Oznaczając
p(x)
q(x)
def
=
def
=
α(x)w(x)
γ(x)w(x)
równanie (3.37) zapiszemy w postaci
d
dy
(3.38)
p(x)
+ q(x)y(x) + λw(x)y(x) = 0
dx
dx
stanowiącej chyba najczęściej spotykane i zarazem najpoprawniejsze
(formalnie) sformułowanie problemu własnego.
d
dy
(1 − x2 )
+ l(l + 1)y(x) = 0,
dx
dx
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
postać kanoniczna a Wrońskian
d
dy1 (x)
p(x)
+ q(x)y1 (x) = 0,
dx
dx
d
dy2 (x)
p(x)
+ q(x)y2 (x) = 0.
dx
dx
Przemnożenie pierwszego z powyższych równań przez y2 (x)
a drugiego – przez y1 (x) i odjęcie tak otrzymanych równań stronami
daje równanie
d
dy1 (x)
d
dy2 (x)
y2 (x)
p(x)
− y1 (x)
p(x)
=0
dx
dx
dx
dx
albo, po wykonaniu różniczkowania i redukcji,
(3.42)
d
[W (x)p(x)] = 0,
dx
p(x) =
const
,
W (x)
gdzie W (x) = W [y1 (x), y2 (x)] = y1 (x)y20 (x) − y10 (x)y2 (x).
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
funkcje i wartości własne . . .
. . . Funkcje własne operatora hermitowskiego H tworzą zbiór zupełny
funkcji ortogonalnych z wagą w(x). Wartości własne operatora
hermitowskiego są rzeczywiste.
Hui (x)
=
−λi ui (x)
Huk (x)
=
−λk uk (x)
Hu∗k (x)
=
−λ∗k u∗k (x)
(nie zapominajmy, że H = H∗ !). Warunek hermitowskości H to
(uk , Hui ) = (Huk , ui )
Z
∞
u∗k (x){H(x)ui (x)}w(x)dx
Z
−∞
(3.44)
∞
{H(x)u∗k (x)}ui (x)w(x)dx
−
−∞
= −(λi −
λ∗k )
Z
∞
u∗k (x)ui (x)w(x)dx = 0.
−∞
2
Dla i = k całka z |ui (x)| w(x) nie może być równa zeru
(3.45)
λ∗i = λi
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
Metoda ortogonalizacji Schmidta
. . . do konstrukcji ortogonalnego zbioru funkcji wystarczy:
1. wyspecyfikowanie konkretnego przedziału zmiennej x
2.funkcji wagowej w(x)
3.także dysponowanie zbiorem liniowo niezależnych funkcji – np.
{un (x)}. Procedura kreacji takiego zbioru funkcji {φn (x)},
Z
b
φn (x)φm (x)w(x)dx = Nn δnm
(3.59)
a
nazywa się ortogonalizacją Schmidta. (Dla uproszczenia zakładamy, że
φn są rzeczywiste.)
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
Metoda ortogonalizacji Schmidta, c.d.
Ortogonalizacja Schmidta jest procedurą sekwencyjną – aby
wyznaczyć kolejne φn musimy dysponować wszystkimi poprzednimi:
φ0 , φ1 , . . . , φn−1 .
(3.60)
φn (x) = un (x)+an0 φ0 (x)+an1 φ1 (x)+. . .+ank φk (x)+. . .+an,n−1 φn−1 (x).
Z
b
Z
φn (x)φj (x)w(x)dx
a
(3.61)
b
un (x)φj (x)w(x)dx
=
+
a
n−1
X
k=0
(3.62)
anj
1
=−
Nj
Z
Z
b
ank
φk (x)φj (x)w(x)dx
a
b
un (x)φj (x)w(x)dx,
j = 0, 1, . . . , n − 1.
a
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
Klasyfikacja wielomianów ortogonalnych w problemie
S-L
(3.63)
LWn (x) = −λn Wn (x)
przy ogólnej postaci operatora
L = α(x)
d2
d
+ γ(x)
+ β(x)
dx2
dx
Z
(3.67)
(3.68)
w(x)α(x) = C exp
x
β(x0 ) 0
dx
.
α(x0 )

α(x) = α0 + α1 x + α2 x2 , 
β(x) = β0 + β1 x,

γ(x) = γ0 .
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
1. α(x) – funkcja kwadratowa
Jak wynika z równania (3.67) nasze rozwiązanie to
Z x
β0 + β1 s
(3.71)
w(x)α(x) = C exp
ds
.
α0 + α1 s + α2 s2
(3.72)
α(x)
=
1 − x2
(3.73)
β(x)
=
β0 + β1 x ≡ (q − p) − (p + q + 2)x,
gdzie nowa para współczynników p, q określa jednoznacznie problem
Sturma-Liouville’a. Przy tych nowych oznaczeniach
(3.74)
q − p − (p + q + 2)x
q+1
p+1
β(x)
=
=
−
α(x)
1 − x2
1+x 1−x
i z równania (3.71) otrzymujemy
(3.75)
w(x)α(x) = C(1 − x)p+1 (1 + x)q+1
albo
(3.76)
w(x) = C(1 − x)p (1 + x)q .
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
1. α(x) – funkcja kwadratowa, c.d.
Na pierwszy rzut oka sytuacja wygląda kiepsko. Rozwiązanie
w(x)α(x) zachowuje się przecież jak funkcja potęgowa i spełnienie
warunku zerowania się funkcji na krańcach oraz istnienie skończonej
wartości całki z wielomianówwydają się stać pod znakiem zapytania.
Chyba, że przyjmiemy zamiast powyższych równań nieco bardziej
skomplikowane:
(3.77)
(1 − x)p+1 (1 + x)q+1 ;
−1 ¬ x ¬ 1; p, q > −1
w(x)α(x) =
0
|x| > 1
(3.78)
w(x) =
(1 − x)p (1 + x)q ;
0
−1 ¬ x ¬ 1;
|x| > 1.
p, q > −1
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
1. α(x) – funkcja kwadratowa, c.d.
. . . wielomiany, które stanowią rozwiązanie problemu
Sturma-Liouville’a nazywają się wielomianami Jacobiego i oznaczane
są zwykle
(3.79)
def
Wn (p, q; x) = Jnp,q (x);
−1 ¬ x ¬ 1.
Dla p = q = m; m > −1 wielomiany te noszą nazwę funkcji
ultrakulistych Gegenbauera:
def
m,m
Gm
(x).
n (x) = Jn
Dla m = −1/2 mamy wielomiany Czebyszewa
def
Tn (x) = Jn−1/2,−1/2 (x)
i mające spore zastosowania w metodach numerycznych (zagadnienia
interpolacji funkcji, różniczkowanie numeryczne, itp.)
W końcu dla m = 0 spotykamy się z dobrze już nam znanymi
wielomianami Legendre’a.
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
wielomiany(funkcje) stowarzyszone
def
(3.80) Plm (x) = (1 − x2 )m/2
dm
Pl (x);
dxm
l = 0, 1, . . .;
m = 0, 1, . . .l.
Tak określone funkcje2 są – ale tylko dla m parzystego – wielomianami
l−tego rzędu. Dla dowolnego m i l są one ortogonalne w przedziale
−1 ¬ x ¬ 1 z wagą w(x) = 1.
Twierdzenie:
Jeżeli wielomiany {Wn (x)} stanowią układ Sturma-Liouville’a, tzn. są
ortogonalne w przedziale x ∈ (a, b) z wagą w(x), spełniającą warunek
(k)
(3.36), to ciąg wielomianów {Wn (x)}, powstałych z k-krotnego
zróżniczkowania ciągu {Wn (x)}, stanowi też układ Sturma-Liouville’a,
ale z wagą w(x)αk (x).
2W
powyższym wzorze używamy wskaźników l i m, tradycyjnie skojarzonych
z wielomianami Legendre’a.
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
dowód
def
Z
∞
Imn =
(3.81)
0
∗
Wm
(x)Wn0 (x)w(x)α(x)dx;
n, m ­ 1.
−∞
Całkując przez części a następnie korzystając z warunków
„samosprzężoności” operatora i ortogonalności Wn (x)
Z ∞
∞
∗
∗
Imn = Wm
(x)Wn0 (x)w(x)α(x)|−∞ −
Wm
(x)Wn0 (x)[w(x)α(x)]0 dx
−∞
Z ∞
∗
−
Wm
(x)[α(x)Wn00 (x)]w(x)dx
−∞
Z ∞
∗
= −
Wm
(x)Wn0 (x)[w(x)β(x)]dx
−∞
Z ∞
∗
−
Wm
(x){−β(x)Wn0 (x) − [γ(x) + λn ]Wn (x)}w(x)dx
−∞
=
(γ0 + λn )δmn Nn .
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
2. α(x) – funkcja liniowa
Kładąc w równaniu (3.67) α = x i wykonując rachunki otrzymujemy
Z x
β0 + β1 s
(3.82)
w(x)α(x) = C exp
ds = Cxβ0 eβ1 x .
s
(3.83)
w(x)α(x) =
(3.84)
(3.85)
w(x) =
xs+1 e−x ;
0
xs e−x ;
0
Lsn (x) = (−1)s
x ­ 0; s > −1
x < 0,
x ­ 0; s > −1
x < 0.
ds
Ln+s (x).
dxs
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
2. α(x) – stała
(3.87)
Z
w(x)α(x) = w(x) = C exp
x
β1
β0 2
(β0 + β1 s)ds = C exp
(x + ) .
2
β1
Przyjmując α(x) jako stałą zrezygnowaliśmy z obu stopni swobody
problemu – a w takim razie przyjęcie konkretnych wartości stałych
β0,1 będzie podyktowane wygodą i koniecznością spełnienia przez
w(x) warunku (??). Kładziemy: C = 1, β0 = 0 i β1 = −2 otrzymując
funkcję wagową
(3.88)
2
w(x) = e−x ;
−∞ < x < ∞.
Taka postać funkcji wagowej oznacza, że dopuszczamy możliwość
zmienności x-a bez żadnych ograniczeń. Wielomiany ortogonalne to –
ostatnia z możliwości – wielomiany Hermite’a:
Wn (x) = Hn (x)
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
wartości własne
Wielomiany:
Wn (x)
Jacobiego
Gegenbauera
Czebyszewa
Legendre’a
Laguerre’a
Hermite’a
Jnp,q (x)
Gm
n (x)
Tn (x)
Pn (x)
Ln (x)
Hn (x)
λn
n(n + p + q + 1)
n(n + 2m + 1)
n2
n(n + 1)
n
2n
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
Wzór Rodriguesa. Funkcje tworzące.
(3.91)
Wn (x) = Wn
1 dn n
[α (x)w(x)],
w(x) dxn
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
Wzór Rodriguesa
(3.94) Jnp,q (x)
=
(3.95) Gm
n (x)
=
(3.96) Tn (x)
=
(3.97) Pn (x)
=
(3.98) Ln (x)
=
(3.99) Lsn (x)
=
(3.100) Hn (x)
=
pn =
jnp,q
dn
[(1 − x)p+n (1 + x)q+n ]
(1 − x)p (1 + x)q dxn
dn
gnm (1 − x2 )−m n [(1 − x2 )n+m ]
dx
n
2 −1/2 d
tn (1 − x )
[(1 − x2 )n−1/2 ]
dxn
dn
pn n [(1 − x2 )n ]
dx
dn
ln ex n [xn e−x ]
dx
dn
lns ex x−s n [xn+s e−x ]
dx
n
2
x2 d
hn e
(e−x ).
n
dx
(−1)n
,
2n n!
ln =
1
,
n!
i
hn = (−1)n .
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
Funkcje tworzące.
(3.101)
g(x, t) =
∞
X
cn (x) tn .
k=0
Współczynniki cn są funkcjami zmiennej x . . .
cn (x) = Wn (x);
czasami będzie słuszne bardziej ogólne
cn (x) = Cn Wn (x),
gdzie stałe Cn mogą zależeć od n.
(3.102)
gW (x, t) =
∞
X
Cn Wn (x) tn ,
k=0
i n−ty wielomian Wn będzie określony jako
(3.103)
Wn (x) =
1 ∂ n gW (x, t) .
Cn n!
∂tn
t=0
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
Reprezentacje całkowe (Wzory Schaefli)
(3.107)
Wn (x) =
(3.108)
f (n) (z0 ) =
1 ∂ n gW (x, t) .
Cn n!
∂tn
t=0
n!
2πi
I
f (ζ)
dζ,
(ζ − z0 )n+1
Wzór Rodriguesa
Wn (x) = Wn
(3.109)
1 dn n
[α (x)w(x)],
w(x) dxn
1 1
Wn (x) =
Cn 2πi
I
gW (x, ζ)
dζ.
ζ n+1
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
Ortogonalne i zupełne zbiory funkcji
Z
b
φm (x)φn (x)dx = δmn .
(3.110)
a
Oznacza to przyjęcie funkcji wagowej w(x) w postaci
1 a ¬x¬b
w(x) =
0 x < a; x > b.
F (x) =
(3.111)
∞
X
an φn (x),
n=0
z współczynnikami an określonymi przez
Z b
(3.112)
an =
F (x)φn (x)dx.
a
Rozważmy teraz sumę
(3.113)
def
K(x, t) = K(t, x) =
∞
X
φn (x)φn (t).
n=0
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
Ortogonalne i zupełne zbiory funkcji, c.d.
Przypuśćmy, że utworzymy całkę
#"∞
#
Z b
Z b "X
∞
X
F (t)K(x, t)dt =
ap φp (t)
φn (x)φn (t) dt =
a
a
=
∞
X
p=0
∞
X
#
b
ap
φp (t)φn (t)dt φn (x)
a
n,p/0
=
n=0
"Z
ap δnp φn (x) =
=
ap φp (x)
p=0
n,p/0
(3.114)
∞
X
F (x).
Funkcja K(x, t) zachowuje się dokładnie tak jak nasza „funkcja” delta
Diraca !
(3.115)
K(x, t) = δ(x − t) =
∞
X
φk (x)φk (t).
k=0
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
Funkcja Greena
Niejednorodne równanie Helmholtza:
(3.122)
∆i(r) + k 2 i(r) = −ρ(r),
którego jednorodny odpowiednik : ∆i(r) + k 2 i(r) = 0 ma ewidentną
postać problemu własnego. Przypuśćmy, że udało nam się znaleźć
funkcje i wartości własne tego problemu3 , spełniające:
(3.123)
∆φn (r) + kn2 φn (r) = 0.
Rozwiązanie równania niejednorodnego
Z
(3.124)
i(r1 ) =
G(r1 , r2 )ρ(r2 )dτ2 ,
V2
(3.125)
∆(1) G(r1 , r2 ) + k 2 G(r1 , r2 ) = −δ(r1 − r2 ).
3 Oznacza
to, że dysponowaliśmy pewnymi, dodatkowymi przesłankami
dotyczącymi zachowania się rozwiązań i/lub ich pochodnych na brzegu obszaru.
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
Funkcja Greena, c.d.
(3.126)
− δ(r1 − r2 ) = −
∞
X
φn (r1 )φn (r2 );
n=0
(3.127)
G(r1 , r2 ) =
∞
X
gn (r2 )φn (r1 ).
n=0
Współczynniki gn (r2 ) wyliczymy podstawiając z równań (3.126)
i (3.127) do (3.125). Otrzymujemy
(3.128)
∞
∞
∞
X
X
X
∆(1)
gn (r2 )φn (r1 ) + k 2
gn (r2 )φn (r1 ) = −
φn (r1 )φn (r2 ),
n=0
n=0
n=0
Zagadnienie Sturma-Liouville’a
Funkcja Greena, c.d.
a po skorzystaniu z równania (3.123)
(3.129)
∞
∞
∞
X
X
X
−
gn (r2 )kn2 φn (r1 ) + k 2
gn (r2 )φn (r1 ) = −
φn (r1 )φn (r2 ).
n=0
(3.130)
n=0
gn (r2 ) =
n=0
φn (r2 )
,
kn2 − k 2
tak więc
(3.131)
G(r1 , r2 ) =
∞
X
φn (r1 )φn (r2 )
.
kn2 − k 2
n=0
Zagadnienie Sturma-Liouville’a