Rozkład według wartości osobliwych

RACHUNEK
PRAWDOPODOBIEŃSTWA
WYKŁAD 3.
ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA.
Zmienną losową X nazywamy funkcję
(praktycznie każdą) przyporządkowującą
zdarzeniom
elementarnym
liczby
rzeczywiste.
X :Ω
→ R
1
(dokładniej:
przeciwobrazy
zbiorów
borelowskich powinny należeć do σ - ciała
zdarzeń S, co w sposób równoważny
można
zapisać
następująco
∧ {ω ∈ Ω : X (ω ) < x}∈ S ).
x∈R
2
Przykłady zmiennych losowych
Dla przestrzeni probabilistycznej – dwa
rzuty kostką.
X –
suma oczek, (wartości: 2, 3, ..., 12).
X – wynik rzutu o większej liczbie
oczek (wartości: 1, 2, ..., 6).
3
Dla rzutu monetą aż wypadnie orzeł.
X – liczba rzutów monety do wypadnięcia
pierwszego orła, (wartości: 0, 1, ...).
X – numer rzutu w którym wypadł
pierwszy orzeł, (wartości: 1, 2, ...).
4
Dla losowego wyboru dwóch punktów w
kole ośrodku O i promieniu R.
X – odległość między wylosowanymi
punktami, (wartości: przedział [0, 2R]).
X – odległość środka odcinka utworzonego
przez wylosowane punkty od punktu O ,
(wartości: przedział [0, R]).
5
Dla uproszczenia
-
zapis
zapis
zapis
zapis
zapis
P(X < x)
P(X ≤ x)
P(X = x)
P(X > x)
P(X ≥ x)
oznacza
oznacza
oznacza
oznacza
oznacza
6
P({ω∈Ω: X(ω) < x}),
P({ω∈Ω: X(ω) ≤ x}),
P({ω∈Ω: X(ω) = x}),
P({ω∈Ω: X(ω) > x}),
P({ω∈Ω: X(ω) ≥ x}),
zapis P( x1 < X < x2) oznacza
P({ω∈Ω: x1 < X(ω) < x2}),
- zapis P( x1 ≤ X < x2) oznacza
P({ω∈Ω: x1 ≤ X(ω) < x2}),
- zapis P( x1 < X ≤ x2) oznacza
P({ω∈Ω: x1 < X(ω) ≤ x2}),
- zapis P( x1 ≤ X ≤ x2) oznacza
P({ω∈Ω: x1 ≤ X(ω)≤ x2}),
7
Zdarzeniom są przyporządkowane podzbiory
zbioru
R,
musimy
tym
podzbiorom
przyporządkować odpowiadające im prawdopodobieństwa. Przyporządkowanie to nazywamy
rozkładem
prawdopodobieństwa
zmiennej
losowej X i oznaczamy PX.
8
(
PX ( B) = P X −1 ( B)
)
dla B ∈ Β(R),
B(R) - zbiory borelowskie
Tak określone PX spełnia aksjomaty
prawdopodobieństwa.
9
X
Ω
B=X(A)
A=X-1(B)
P
PX
1
0
P(A)=PX(B)
10
R
Zmienne losowe równe sobie z prawdopodobieństwem
1 będziemy traktować jako nieodróżnialne.
11
Dystrybuantą zmiennej losowej X
→ R określoną
nazywamy funkcję F: R 
wzorem:
F ( x ) = P ( X < x ) = PX (( −∞ , x ))
12
Własności dystrybuanty:
a) F jest funkcją niemalejącą,
b) F jest funkcją lewostronnie ciągłą,
c) F ( −∞ ) = 0; F ( ∞ ) = 1 ,
13
d) dystrybuanta
zmiennej losowej wyznacza
jednoznacznie jej rozkład,
e) P ( a ≤ X < b) = F (b) − F ( a );
+
f) P ( X = a ) = F ( a ) − F ( a );
a <b
gdzie F (a + )
oznacza granicę prawostronną, (jeśli a
jest punktem ciągłości dystrybuanty to
P(X = a ) = 0).
14
Uwaga
Jeśli funkcja rzeczywista spełnia własności
a), b), c) to jest dystrybuantą pewnej
zmiennej losowej, jej rozkład jest
wyznaczony jednoznacznie co oznacza, że
rozkłady
zmiennych
losowych
określających taką dystrybuantę mają takie
samo prawdopodobieństwo dla wszystkich
zbiorów borelowskich.
15
Przykład.
Poniższe funkcje są dystrybuantami.
1
1
1
0,5
-0,5
-0,5
-1
16
1
Poniższe funkcje nie są dystrybuantami.
1
1
1
0,5
-1
1
Nie sp. wł. b).
1
-1
1
Nie sp. wł. a), b), c).
17
Nie sp. wł. a), c).
Przykład.
Dla jakich wartości A, B, C, D funkcja
A
 2
 Bx
F ( x) = 
C (2 − x) + 1
 D
dla
x≤0
dla
0 < x ≤1
dla 1 < x ≤ 2
dla
jest dystrybuantą
losowej?
pewnej
18
x>2
zmiennej
A = 0, D = 1 z własności c). Lewostronna ciągłość jest
zapewniona. Należy sprawdzić własność a). Aby w
przedziałach funkcje były niemalejące, musi być B ≥
0, C ≤ 0; oprócz tego należy sprawdzić tą własność
dla
x = 1 i x = 2.
Dla x = 2, C - dowolne.
Dla x = 1 B ≤ C(2 - 1) + 1, B ≤ 1.
Zatem ostatecznie 0 ≤ B ≤ 1 - dowolne, 0 ≥ C ≥ B - 1.
19
Zmienna losowa jest skokowa (dyskretna)
jeśli zbiór wszystkich jej wartości jest
skończony lub przeliczalny.
20
Rozkład zmiennej losowej skokowej często określamy
za pomocą funkcji prawdopodobieństwa:
P( X = x k ) = pk
∑k pk = 1; pk > 0 )
(własność:
Liczby pk nazywamy skokami, a wartości
xk punktami skokowymi.
21
Znając funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej
skokowej można wyznaczyć jej dystrybuantę
F (x ) =
∑ pk
k
x k <x
oraz jej rozkład prawdopodobieństwa
P( X ∈ B) =
∑p
k
x k ∈B
22
k
Przykład
Funkcja
rozkładu
prawdopodobieństwa
zmiennej losowej X dana jest w tabeli:
xk 1 2 3
pk 0,2 0,6 0,2
23
Jej dystrybuanta ma postać
0
0,2

F ( x) = 
0,8
1
dla
x ≤1
dla 1 < x ≤ 2
dla 2 < x ≤ 3
dla
x>3
1
0,8
0,2
1
2
3
Zauważmy, że punkty skokowe są
punktami nieciągłości dystrybuanty a skoki
wyznaczają przyrosty dystrybuanty (jej
skoki) w tych punktach.
24
Zmienna losowa X o dystrybuancie F jest ciągła
jeśli jej dystrybuanta da się przedstawić w postaci
x
F ( x) =
∫ f (t )dt
−∞
25
x ∈R
gdzie f jest funkcją spełniającą warunki:
∞
∫ f (t )dt = 1
f ( x ) ≥ 0; x ∈ R;
−∞
i nazywamy ją gęstością prawdopodobieństwa
zmiennej losowej X.
26
Przykład.
1
1
2
-1
1
-1
1
1
1
2
Te funkcje są gęstościami prawdopodobieństwa
pewnych zmiennych losowych ciągłych.
27
1
1
1
-2
2
1
-1
1
0,5
-1
1
Te funkcje nie są gęstościami prawdopodobieństwa.
28
Własności zmiennej losowej ciągłej:
a
a)
b)
P( X < a ) =
∫ f ( x)dx
= F (a )
−∞
,
P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) =
b
= P(a < X < b) = ∫ f ( x)dx= F (b) − F (a)
a
∞
c)
P( X > b) = ∫ f ( x )dx = 1 − F (b) ,
b
d)
P ( X = a ) = 0, dla dowolnego a ∈ R ;
(brak punktów skokowych),
e)
F jest funkcją ciągłą i prawie wszędzie
F ′( x ) = f ( x )
różniczkowalną
(równość
zachodzi dla punktów ciągłości gęstości).
Wyznaczając gęstość przez różniczkowanie
dystrybuanty, w punktach w których F nie jest
różniczkowalna można przyjąć, że gęstość jest
równa zero.
29
Przykład.
Wyznaczymy wartości c dla której funkcja
cx
f ( x) = 
0
x ∈ (0 , 1]
x ∉ (0 , 1]
dla
dla
jest gęstością pewnej zmiennej losowej
ciągłej?
30
Aby gęstość była nieujemna i
∞
∫ f ( x)dx = 1 ,
−∞
musi być c > 0 i pole odpowiedniego
trójkąta prostokątnego równe 1. Stąd c = 2.
31
Dystrybuanta tej zmiennej losowej ma
postać
x
dla
dla
dla
F ( x ) = ∫ 0dt = 0
x ∈ (− ∞ ; 0]
x ∈ (0 , 1]
x ∈ (1 , ∞ ]
−∞
0
F ( x) =
∫
−∞
x
0dt + ∫ 2tdt = x 2
0
0
1
x
−∞
0
1
F ( x) = ∫ 0dt + ∫ 2tdt +∫ 0dt = 1
32
Ostatecznie
0
 2
F ( x) =  x
1

dla
dla
dla
33
x ∈ (− ∞ ; 0]
x ∈ (0, 1]
x ∈ (1, ∞]
Obliczymy prawdopodobieństwo
P(0,25 ≤ X ≤ 0,75) .
Sposób I. Za pomocą gęstości
0 , 75
P (0,25 ≤ X ≤ 0,75) =
∫ 2 xdx = x
0 , 25
34
2 0 , 75
0 , 25
= 0,5
Sposób II. Za pomocą dystrybuanty
P (0,25 ≤ X ≤ 0,75) = F (0,75) − F (0,25) = 0,5
35
Twierdzenie Lebesgue'a
o
rozkładzie
dystrybuanty.
Każdą dystrybuantę F można przedstawić w
postaci
F = c1F1 + c2 F2 + c3 F3
gdzie
c1 + c2 + c3 = 1, c1 , c2 , c3 ≥ 0
F1 - dystrybuanta skokowa,
F2 - dystrybuanta ciągła,
F3 - dystrybuanta osobliwa,
36
Uwagi o rozkładzie funkcji zmiennej losowej.
Jeśli X - skokowa, o funkcji prawdopodobieństwa
P(X = xi) = pi,
g - dowolna to funkcja prawdopodobieństwa
zmiennej losowej Y = g(X) ma postać:
g(x1) g(x2) ...
g(xk)
p1
pk
p2
...
Po uporządkowaniu rosnąco wartości g(xi) i
zsumowaniu odpowiednich prawdopodobieństw.
37
Dokładniej


P(Y = y ) = P( g ( X ) = y ) = P U ( X = xi ) =
 {i:g ( xi ) = y}

= ∑ P( X = xi ) = ∑ pi
{i:g ( xi ) = y }
{i:g ( xi ) = y }
38
Przykład.
X - zmienna losowa skokowa o funkcji prawdopodobieństwa:
-4 -2 -1
0
1
2
0,4 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2
wyznaczymy funkcję prawdopodobieństwa
zmiennej losowej Y = sgnX .
39
sgn(-4) = sgn(-2) = sgn(-1) = -1.
sgn(0) = 0.
sgn(1) = sgn(2) = 1.
Zatem funkcja prawdopodobieństwa
zmiennej losowej Y jest następująca
-1
0
1
0,6 0,1 0,3
40
X - dana zmienna losowa ciągła o gęstości f.
Y = g(X) g - borelowska,
tzn. g-1(B) ∈B(R) dla B ∈B(R),
Wyznaczyć gęstość g(y) zmiennej losowej Y.
41
1) Jeśli g - ściśle monotoniczna i różniczkowalna
w przedziale (a, b) koncentracji X to:
g ( y ) = f (h( y ) ) h ( y )
'
gdzie h = g-1.
Należy pamiętać o przekształceniu przedziału
koncentracji.
42
Przykład.
Jeśli X ma rozkład o gęstości
0
f ( x) =  − x
e
dla x ≤ 0
Y = X − 2,
dla x > 0
wtedy
, h′( y ) = 2( y + 2) ,
g(0) = -2, g(∞) = ∞,
h( y ) = ( y + 2 )
2
0
g ( y) = 
− ( y + 2) 2
2( y + 2)e
43
dla x ≤ −2
dla x > −2 ,
2) Jeśli g - przedziałami ściśle monotoniczna i
różniczkowalna w przedziale (a, b) koncentracji X to:
k
g ( y ) = ∑ f (hi ( y ) ) hi ( y )
'
i =1
gdzie hi - funkcje odwrotne do g dla
poszczególnych przedziałów,
k - liczba wartości funkcji odwrotnej
odpowiadających danemu y.
44
Przykład.
Y = |X|, wtedy g ( y) = f (− y ) + f ( y ) y > 0 ,
45
Przykład.
Y = X2, wtedy
1
1
(
)
(
)
g ( y) = f − y
+ f y
2 y
2 y
46
y>0
,
W niektórych zagadnieniach wyznaczania rozkładu
funkcji zmiennej losowej najpierw wyznaczamy
dystrybuantę rozkładu zmiennej losowej Y = g(X), wg
schematu
(
FY ( y ) = P(Y < y ) = P( g ( X ) < y ) = P X ∈ g −1 ((−∞, y ) ) < y
)
następnie jeśli to możliwe, wyznaczamy funkcję
prawdopodobieństwa (gdy jest to rozkład
skokowy) lub gęstość (gdy jest to rozkład ciągły).
47
Przykład.
Jeśli X ma rozkład o gęstości
0 dla x ∉ [0 , 3]

f ( x) =  1
 3
dla x ∈ [0 , 3] (rozkład jednostajny na [0, 3])
Y = max (2, X ) ,
48
wtedy
FY ( y ) = P(Y < y ) = P(max(2, X ) < y ) =
0
1

= y
3
1
dla y ≤ 2
dla 2 < y ≤ 3
dla y > 3
49
Nie jest to ani rozkład skokowy ani ciągły. Nie można więc
wyznaczyć ani funkcji prawdopodobieństwa ani gęstości.
Jest to rozkład mieszany skokowo - ciągły i zgodnie
z twierdzeniem o rozkładzie dystrybuanty powyższą
dystrybuantę można przedstawić w postaci
FY = c1F1 + c2 F2
gdzie
c1 = 2/3,
c2 = 1/3,
0
F1 ( y ) = 
1
0

F2 ( y ) =  y - 2
1

50
dla y ≤ 2
dla y > 2 ,
dla y ≤ 2
dla 2 < y ≤ 3
,
dla y > 3