Równanie Fresnela

napisał Michał Wierzbicki
Równanie Fresnela
W anizotropowych kryształach optycznych zależność między wektorami indukcji i natężenia pola elektrycznego (równanie materiałowe) jest następująca
⃗ = ϵ 0 ϵˆ · E⃗
D
(1)
gdzie ϵˆ jest tensorem względnej przenikalności elektrycznej kryształu. Przy odpowiednim wyborze osi układu współrzędnych kartezjańskich względem kierunków krystalograficznych kryształu tensor ϵˆ ma postać diagonalną:


 ϵ 1 0 0 


ϵˆ =  0 ϵ 2 0 
(2)


0 0 ϵ3
Załóżmy, że w krysztale rozchodzi się monochromatyczna płaska fala elektromagnetyczna postaci
⃗ r , t) = E⃗0 eiφ ,
E(⃗
⃗ r , t) = B
⃗0 eiφ
B(⃗
(3)
gdzie faza fali wynosi
φ = k⃗ · ⃗r − ωt
(4)
Pola elektromagnetyczne muszą spełniać równania Maxwella:
1. Prawo Faraday’a
∂ B⃗
∇ × E⃗ = −
∂t
2. Prawo Ampera z prądem przesunięcia
⃗
∂D
∇ × B⃗ = µ0
∂t
3. Prawa Gaussa
⃗ =0,
∇·D
⃗=0
∇·B
Zakładamy, że kryształ nie ma własności magnetycznych oraz że jest obojętny elektrycznie. Podstawiając wzory (3) do równań Maxwella otrzymujemy układ równań dla amplitud pól:
1
k⃗ × E⃗0 = ω B⃗0 ,
⃗0
k⃗ × B⃗0 = −µ0 ωD
⃗0 = 0 ,
k⃗ · D
(5)
k⃗ · B⃗0 = 0
(6)
⃗ są
Ze wzorów (5) wynika, że wektory indukcji pola magnetycznego B⃗ i elektrycznego D
⃗
prostopadłe do kierunku propagacji fali k. Ze wzoru (1) wynika, że w krysztale anizotro⃗
powym wektor natężenia pola elektrycznego E⃗ ma inny kierunek niż wektor indukcji D.
Wektor natężenia pola elektrycznego fali nie jest więc prostopadły do kierunku propagacji fali. Kierunek przenoszenia energii prze falę elektgromagnetyczną zadaje wektor
Poyntinga:
1
⃗
S⃗ = E⃗ × B
µ0
(7)
⃗
Kierunek przenoszenia energii S⃗ jest inny niż kierunek propagacji fali k.
D
E
k
B
S
Rysunek 1: Wzajemna orientacja wektorów pola
Na podstawie wzorów (5) obliczmy wyrażenie:
k⃗ × (k⃗ × E⃗0 ) = ωk⃗ × B⃗0 = −ω2 µ0 ϵ 0 ϵˆ · E0
(8)
Wartość wektora falowego możemy zapisać tak jak dla dielektryka izotropowego:
ω2
(9)
c2
gdzie n jest współczynnikiem załamania dielektryka. Równanie (8) przyjmuje postać
k=n
n2 ⃗e × (⃗e × E⃗0 ) = −ϵˆ · E⃗0
(10)
⃗ Wykonując podwójny iloczyn wektorowy równanie (10) możemy
gdzie wersor e = k/k.
zapisać jako:
n2 [⃗e (⃗e · E⃗0 ) − E⃗0 ] + ϵˆ · E⃗0 = 0
2
(11)
Jest to równanie Fresnela. Dla zadanego kierunku ⃗e propagacji fali na jego podstawie
można wyznaczyć współczynnik załamania n i kierunek polaryzacji fali E⃗0 . Równanie
Fresnela można zapisać w postaci macierzowej 1 :
M̂ · E⃗0 = 0
(12)
M̂ = n2 ( ⃗e⃗e − 1̂) + ϵˆ
(13)
gdzie macierz (diada) M̂ wynosi
Równanie (13) jest układem trzech równań liniowych jednorodnych ze względu na składowe wektora E⃗0 . Warunkiem jego rozwiązalności jest znikanie wyznacznika
[
]
det n2 ( ⃗e⃗e − 1̂) + ϵˆ = 0
(14)
Kryształ jednoosiowy
Założmy, że dwie składowe tensora przenikalności elektrycznej ϵˆ są równe. Niech


 ϵ 1 0 0 


ϵˆ =  0 ϵ 1 0 
(15)


0 0 ϵ2
Własności dielektryczne kryształu nie zmieniają się przy jego obrocie wokół osi z kartezjańskiego układu współrzędnych. Zapisując składowe kartezjańskie wersora ⃗e we współrzędnych sferycznych:
[
]
⃗e = cos φ sin θ, sin φ sin θ, cos θ
możemy obliczyć2 wyznacznik (14). Wynosi on
[
]
det = (n2 − ϵ 1 ) · n2 (ϵ 1 sin2 θ + ϵ 2 cos2 θ) − ϵ 1 ϵ 2 = 0
(16)
(17)
Jak widać wyznacznik równania Fresnela nie zależy od kąta φ układu sferycznego. Możemy więc ograniczyć się do kierunku propagacji fali leżącego w płaszczyźnie x, z dla
φ = 0. Zwyczajny (ang. ordinary) współczynnik załamania kryształu nie zależy od kierunku propagacji fali i wynosi
n2o = ϵ 1
1
(18)
W niektórych książkach równanie Fresnela zapisuje się jako równanie macierzowe na wartości własne
λ = 1/n2 .
2
W programie Mathematica iloczyn diadyczny wektorów a i b zapisujemy jako Outer[Times,a,b],
macierzą jednostkową 3×3 jest IdentityMatrix[3], a wyznacznik macierzy M oblicza funkcja Det[M].
3
z
D
θ
k
D
Rysunek 2: Współczynniki załamania w krysztale jednoosiowym
Nadzwyczajny (ang. extraordinary) współczynnik załamania zależy od kąta θ pomiędzy
kierunkiem propagacji i osią z układu współrzędnych:
n2e (θ) =
ϵ1ϵ2
ϵ 1 sin2 θ + ϵ 2 cos2 θ
(19)
Łatwo sprawdzić, że n2e (0) = ϵ 1 oraz n2e (π/2) = ϵ 2 . Dla kierunku propagacji wzdłuż osi z
oba współczynniki załamania są sobie równe. Oś z nazywamy osią optyczną kryształu.
Składowe wektora ne ⃗e w płaszczyźnie φ = 0, równe
x = ne sin θ ,
z = ne cos θ
(20)
spełniają równanie elipsy
x 2 z2
+
=1
(21)
ϵ2 ϵ1
Równanie (14) jest warunkiem koniecznym na istnienie rozwiązania układu równań (12).
Podstawiając do niego znalezione wyrażenia na współczynniki załamania możemy ob⃗ 0 prostopadły do kierunku biegu fali.
liczyć wektor E⃗0 polaryzacji fali, a także wektor D
1. W przypadku fali zwyczajnej E0 ∼ [0, 1, 0], co oznacza polaryzację fali w kierunku y, prostopadłym do płaszczyzny rysunku 2.
2. W przypadku fali nadzwyczajnej E⃗0 ∼ [ϵ 2 cos θ, 0, −ϵ 1 sin θ] co oznacza polary⃗ 0 ∼ ϵˆ · E⃗0 ∼
zację fali w płaszczyźnie rysunku 2. Wektor indukcji elektrycznej D
4
[cos θ, 0, − sin θ]. Łatwo zauważyć, że jest on prostopadły do wersora propagacji
fali ⃗e = [cos θ, 0, sin θ].
Kryształ dwuosiowy
W tak zwanym krysztale dwuosiowym każda składowa diagonalna tensor przenikalności
elektrycznej ma inną wartość:


 ϵ 1 0 0 


ϵˆ =  0 ϵ 2 0 
(22)


0 0 ϵ3
Równanie Fresnela przyjmuje prostą postać w płaszczyźnie x, z dla φ = 0. Przyjmując
wersor kierunku propagacji fali w postaci:
⃗e = [sin θ, 0, cos θ]
(23)
Wyznacznik (14) przy pomocy programu Mathematica daje się zapisać jako:
det = (n2 − ϵ 2 ) · [n2 (ϵ 1 sin2 θ + ϵ 3 cos2 θ) − ϵ 1 ϵ 3 ]
(24)
Zwyczajny współczynnik załamania wynosi
n2o = ϵ 2
(25)
Nadzwyczajny współczynnik załamania wynosi
n2e =
ϵ1ϵ3
ϵ 1 sin θ + ϵ 3 cos2 θ
2
(26)
Równość współczynników załamania zachodzi dla kąta θ0 spełniającego równanie3
ϵ3 ϵ1 − ϵ2
·
(27)
ϵ2 ϵ1 − ϵ3
Jeśli fala propaguje się w płaszczyźnie x, z pod katem θ0 do osi z to oba współczynniki załamania są sobie równe. W płaszczyźnie x, z kryształu wystepują więc dwie osie
optyczne, obie pod kątem θ0 do osi z.
Rozwiązania równania (12) są następujące:
sin2 θ0 =
⃗ 0 ∼ [0, 1, 0]. Polaryzacja prostopadła do płaszczyzny
1. Dla fali zwyczajnej E0 ∼ D
rysunku 3.
⃗ 0 ∼ [cos θ, 0, − sin θ]. Pola2. Dla fali nadzwyczajnej E⃗0 ∼ [ϵ 3 cos θ, 0, −ϵ 1 sin θ], D
ryzacja w płaszczyźnie rysunku 3.
3
Równanie to ma rozwiązanie jeśli ϵ 1 > ϵ 3 > ϵ 2 albo ϵ 1 < ϵ 3 < ϵ 2 .
5
z
D
θ0
θ0
k
D
Rysunek 3: Współczynniki załamania w krysztale dwuosiowym, w płaszczyźnie x, z zawierającej osie optyczne.
Dla ogólnego kierunku propagacji fali przy φ ̸= 0 wygodniej jest zapisać wersor ⃗e w
postaci kartezjańskiej:
⃗e = [x, y, z] ,
x 2 + y2 + z 2 = 1
(28)
Wyznacznik (14) równania Fresnela prowadzi wówczas do następującego równania bikwadratowego na współczynnik załamania n:
an4 + bn2 + c = 0
(29)


a = ϵ 1 x 2 + ϵ 2 y2 + ϵ 3 z 2



b = −ϵ 1 ϵ 2 (x 2 + y2 ) − ϵ 2 ϵ 3 (y2 + z2 ) − ϵ 3 ϵ 1 (z2 + x 2 )



 c=ϵ ϵ ϵ
1 2 3
(30)
gdzie
Delta równania kwadratowego (29) jest różna od zera, co oznacza że dwa współczynniki
załamania są zawsze różne od siebie.
⃗ 0 dla obu współczynników załamania są zawsze prostopadłe do kieWektory indukcji D
runku propagacji fali zgodnie z równaniem (6). Są one także zawsze prostopadłe (orto⃗ w równaniu (12) jest hermitowska. Dla
gonalne) do siebie nawzajem, gdyż macierz M
ogólnego kierunku propagacji fali nie są one jednak zorientowane względem płaszczyzny rysunku 3. Wektory natężenia pola elektrycznego E⃗0 odpowiadające obu współczynnikom załamania nie są do siebie prostopadłe i nie są prostopadłe do kierunku propagacji.
6
z
k
θ
Rysunek 4: Współczynniki załamania w krysztale dwuosiowym, w płaszczyźnie nie zawierającej osi optycznych.
7