Ekscytony Wanniera–Motta R

Ekscytony Wanniera–Motta
Ekscytony Wanniera–Motta
• Rozpatrzmy oddziaływanie elektronu o wektorze falowym bliskim minimum
pasma przewodnictwa oraz dziury z obszaru blisko wierzchołka pasma
walencyjnego.
• Zakładamy, że oba pasma są sferycznie symetryczne,
a ich ekstrema znajdują się w tym samym punkcie strefy Brillouina
(=> punkt krytyczny M0, odpowiadający przerwie energetycznej Eg).
• Poziomy energetyczne elektronu w paśmie przewodnictwa określone są przez:
(*)
• Analogiczną postać mają energie dozwolone dla dziur w paśmie walencyjnym:
(**)
Ekscytony Wanniera–Motta
• Oddziaływanie elektronu z dziurą opisuje potencjał kulombowski:
• Wartość stałej dielektrycznej zależy od promienia ekscytonu.
• Dla dużych wartości promienia oddziaływanie elektron-dziura jest słabe
i potencjał zmienia się wolno w skali komórki elementarnej.
• Funkcjami falowymi elektronu i dziury w krysztale są funkcje Blocha.
• Funkcję falową ekscytonu możemy przedstawić jako kombinację liniową
funkcji falowych elektronu i dziury:
gdzie k e i k h są wektorami falowymi, odpowiednio elektronu i dziury,
a  k e i  k h są ich funkcjami falowymi.
Ekscytony Wanniera–Motta
• Wprowadźmy funkcję, będącą transformatą Fouriera C k e , k h  :
• Funkcję
nazywamy funkcją obwiedni ekscytonu.
• Przybliżenie masy efektywnej pozwala przedstawić równania opisujące
funkcję obwiedni w postaci analogicznej do dwucząstkowego równania
Schrödingera z masami efektywnymi elektronu i dziury, zamiast masy
elektronu swobodnego:
 2 2

2 2
e2
Re 
Rh 

 R e , R h   E  E g R e , R h 
*
*
2mh
 S Re  Rh 
 2me
gdzie  S jest statyczną stałą dielektryczną,  R i  R operatorami nabla,
h
e
działającymi odpowiednio na zmienne opisujące elektron i dziurę,
a E jest wartością własną energii.
Ekscytony Wanniera–Motta
• Równanie to jest identyczne z równaniem Schrödingera dla atomu wodoru,
gdzie masy efektywne elektronu i dziury odpowiadają masie elektronu
oraz masie jądra atomu wodoru.
• Wprowadźmy współrzędną środka masy R oraz względną współrzędną r :
• Ruch translacyjny środka masy jest analogiczny do ruchu cząstki swobodnej
o masie M  me*  mh* w obszarze o zerowym potencjale.
• Ruch względny odpowiada cząstce o masie zredukowanej
poruszającej się w potencjale:
,
Ekscytony Wanniera–Motta
• Ponieważ wyraz opisujący oddziaływanie kulombowskie nie zależy od R ,
równanie ruchu dla środka masy może być oddzielone od równania ruchu
względnego:
R e , R h    R F r 
gdzie  R  opisuje ruch środka masy, a F r  względny ruch wokół niego
elektronu i dziury.
• Wówczas równania mają postać:
2 2

 R R   ER R 
2M
  2 2 e2 
 
 F r   Er F r 
r 
Sr 
 2
gdzie E  Eg  ER  Er .
(***)
Ekscytony Wanniera–Motta
• Pierwsze równanie opisuje cząstkę swobodną o stanie własnym i energii:
 K R   ei KR
2K 2
ER 
2M
gdzie ER jest energią kinetyczną ruchu środka masy ekscytonu.
• Drugie równanie podobne jest do równania ruchu elektronu w atomie wodoru.
Funkcje falowe i energie indeksowane są za pomocą trzech liczb kwantowych:
głównej (n), pobocznej (l) oraz magnetycznej (m).
• Funkcję falową F r  możemy wyrazić we współrzędnych sferycznych:
gdzie Rnl są uogólnionymi wielomianami Laguerre’a, a Ylm funkcjami
kulistymi (harmonikami sferycznymi).
Ekscytony Wanniera–Motta
• Dla izotropowej masy efektywnej, energia Er zależy jedynie od głównej
liczby kwantowej:
gdzie Er   jest najmniejszą energią w kontinuum ciągłych stanów,
*
a R ekscytonową stałą Rydberga:
e 4

R  2 2 
13.6 eV
2
2  S m S
*
• Zatem funkcja falowa ekscytonu jest postaci:
 nlm R, r   ei KR Rnl r Ylm ,  
a jego energia:
 2 K 2 R*
Enlm  Eg 
 2
2M
n
Ekscytony Wanniera–Motta
• Dla stanu podstawowego:
gdzie
natomiast
jest ekscytonowym promieniem Bohra,
atomowym promieniem Bohra.
• Zależność energii ekscytonu Wanniera od wektora falowego:
Ekscytony Wanniera–Motta
• Wytworzenie ekscytonu w procesie absorpcji fotonu (przejścia proste),
powoduje, że we wzorach (*) oraz (**)
.
• Zmiana wektora falowego następuje podczas przejść skośnych.
• Jeżeli masa efektywna dziur jest znacznie większa od masy efektywnej
elektronów (większość półprzewodników z prostą przerwą),
wówczas masa zredukowana jest bliska masie elektronu.
Oznacza to, że R* jest bliskie energii wiązania donoru.
• Przykładowe energie wiązania ekscytonu
i ekscytonowe promienie Bohra: