Wstęp do analizy matematycznej

SYLABUS - Karta programu przedmiotu
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI
Rodzaj studiów: studia stacjonarne pierwszego stopnia
Kierunek: MATEMATYKA
Rok akad.: 2010/2011
Przedmiot podstawowy
Przedmiot: WSTĘP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ
Rok studiów:
Semestr:
I
1
ECTS: 11
Rodzaj zajęć:
W
Ć
Liczba godzin w semestrze:
60
60
S
L
Przedmioty wprowadzające / wymagania wstępne
Przedmiot stanowi wprowadzenie do analizy matematycznej. Wymagana jest znajomość matematyki na poziomie szkoły średniej (profilu podstawowego).
Założenia i cele przedmiotu
Zadaniem przedmiotu jest po pierwsze powtórzenie i uzupełnienie wiadomości ze szkoły średniej
dotyczących funkcji elementarnych, ciągów liczbowych oraz udoskonalenie biegłości wykonywania
działań na logarytmach i potęgach (itd.). Głównym celem przedmiotu jest zapoznanie studenta z
tematyką ciągów i szeregów liczbowych oraz podstawowymi własnościami ciągłych funkcji
rzeczywistych zmiennej rzeczywistej.
Metody dydaktyczne
Wykład i ćwiczenia audytoryjne.
Forma i warunki zaliczenia przedmiotu:
Student musi uzyskać zaliczenie ćwiczeń (na podstawie kolokwiów i aktywności w
rozwiązywaniu zadań podczas ćwiczeń) oraz zdać pisemną i ustną część egzaminu.
Aby uzyskać zaliczenie przedmiotu student powinien posiąść następujące umiejętności:
-biegłość w rozwiązywaniu równań, nierówności, w których występują funkcje elementarne;
-wyznaczania zbiorów rozwiązań na osi liczbowej (lub płaszczyźnie);
-badania monotoniczności i ograniczoności ciągu;
-badania zbieżności ciągu;
-liczenia granic ciągów liczbowych (przy użyciu rachunku granic oraz twierdzeń poznanych na
wykładzie);,
-wyznaczania podciągów zbieżnych oraz granic górnej i dolnej;
-badania zbieżności szeregu o wyrazach nieujemnych przy użyciu podstawowych kryteriów
zbieżności;
-badania zbieżności i zbieżności bezwzględnej szeregu;
-liczenia granic funkcji (przy użyciu np. granic specjalnych, twierdzeń rachunku granic)
-znajomość symboli nieoznaczonych
-badania ciągłości funkcji;
-wyznaczania punktów ciągłości (nieciągłości) funkcji (i ich rodzaju);
-określania własności funkcji elementarnych i wykonywania działań na liczbach rzeczywistych.
TREŚCI PROGRAMOWE
Wykłady:
Przypomnienie i poszerzenie wiadomości ze szkoły średniej dotyczących ciągów i funkcji
elementarnych.
Ciągi arytmetyczny i geometryczny, sumy częściowe ich wyrazów, monotoniczność ciągu,
ograniczoność ciągu, własności funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej (parzystość,
nieparzystość, okresowość, monotoniczność, ograniczoność); powtórzenie i uzupełnienie
wiadomości o potędze naturalnej, całkowitej i (w tym momencie informacyjnie) rzeczywistej,
działania na potęgach, logarytm i prawa rachunku logarytmów; rozwiązywanie równań i nierówności,
w których występują funkcje wymierne, potęgowe i logarytmiczne; trygonometria: podstawowe
tożsamości, własności funkcji sinus, cosinus, tangens i cotangens, równania i nierówności
trygonometryczne.
Ciągi liczbowe.
Granica ciągu liczbowego; ciągi rozbieżne do nieskończoności; twierdzenia rachunku granic; granice
specjalne; twierdzenie o trzech ciągach; twierdzenie o granicy ciągu średnich geometrycznych i
arytmetycznych wyrazów ciągów zbieżnych; twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym;
punkty skupienia ciągu; granice górna i dolna; twierdzenie Weierstrassa o podciągu ciągu
ograniczonego; ciąg Cauchy'ego; zupełność prostej rzeczywistej.
Szeregi liczbowe.
Granica szeregu; warunek konieczny zbieżności szeregu; warunek Cauchy’ego zbieżności szeregu;
kryterium zbieżności szeregów harmonicznych rzędu ; kryteria zbieżności szeregów o wyrazach
nieujemnych (porównawcze, ilorazowe, Cauchy’ego, d’Alemberta, Raabego, Abela i Dirichleta);
szeregi naprzemienne; kryterium Leibniza; zbieżność bezwzględna i jej związek ze zbieżnością;
zmiana kolejności sumowania; twierdzenie Riemanna o zmianie kolejności sumowania wyrazów
szeregu zbieżnego, który nie jest zbieżny bezwzględnie; iloczyn Cauchy’ego szeregów.
Ciągłość funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej.
Definicje granicy i ciągłości funkcji w punkcie Cauchy’ego i Heinego i ich równoważność;
twierdzenia rachunku granic; funkcje ciągłe; operacje na funkcjach ciągłych; własność Darboux;
twierdzenie o przyjmowaniu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym; ciągłość funkcji
odwrotnej; jednostajna ciągłość; ciągłość funkcji elementarnych. Przegląd funkcji elementarnych i
ich własności (liniowe, wielomianowe, wymierna, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczna,
trygonometryczne, cyklometryczne, hiperboliczne).
Ćwiczenia audytoryjne
Przypomnienie i poszerzenie wiadomości ze szkoły średniej dotyczących ciągów i funkcji
elementarnych.
Sprawdzanie, czy ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny, wyznaczanie sum częściowych
wyrazów tych typów ciągów, badanie monotoniczności ciągu, sprawdzanie, czy ciąg jest
ograniczony, badanie
własności funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej (parzystość,
nieparzystość, okresowość, monotoniczność, ograniczoność); wykonywanie działań na potęgach i
logarytmach; rozwiązywanie równań i nierówności, w których występują funkcje wymierne, potęgowe
i logarytmiczne; trygonometria: dowodzenie tożsamości trygonometrycznych,
równania i
nierówności trygonometryczne.
Ciągi liczbowe.
Badanie zbieżności ciągu z definicji; badanie rozbieżności do nieskończoności z definicji; liczenie
granic ciągów przy użyciu poznanych twierdzeń i granic specjalnych; wyznaczanie punktów
skupienia ciągu oraz granic górnej i dolnej; przykłady zastosowania twierdzenia Weierstrassa o
podciągu ciągu ograniczonego; badanie, czy ciąg spełnia warunek Cauchy'ego; wykorzystanie
zupełności prostej rzeczywistej.
Szeregi liczbowe.
Granica szeregu; wyznaczanie sumy częściowej szeregu i badanie na tej podstawie zbieżności
szeregu; warunek konieczny zbieżności szeregu i jego wykorzystanie do badania zbieżności ciągów
i szeregów; badanie zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych przy użyciu poznanych na
wykładzie kryteriów; szeregi naprzemienne i stosowanie kryterium Leibniza; badanie zbieżności i
zbieżności bezwzględnej szeregu; przykłady iloczynu Cauchy’ego szeregów.
Ciągłość funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej.
Badanie istnienia granicy i ciągłości funkcji w punkcie (według Cauchy’ego i Heinego); wyznaczanie
granic przy użyciu poznanych twierdzeń; wyznaczanie punktów ciągłości i nieciągłości funkcji;
operacje na funkcjach ciągłych; zastosowanie własności Darboux i twierdzenia o przyjmowaniu
kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym; badanie jednostajnej ciągłości funkcji; uzupełnienie
wiadomości o funkcjach elementarnych i ich własności (liniowe, wielomianowe, wymierna,
potęgowe, wykładnicze, logarytmiczna, trygonometryczne, cyklometryczne, hiperboliczne).
Laboratorium:
Wykaz literatury podstawowej:
[1] G. M. Fichtenholtz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I, II, III, PWN, 2007 (i wcześniejsze)
[2] W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, 2002 (i wcześniejsze)
[3] K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, 2008 (i wcześniejsze)
[4] P. Demidowicz , Zbiór zadań i z analizy matematycznej, Naukowa Książka, Lublin 1992
[5] J. Banaś, S. Wędrychowicz , Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa 2001 (i wcześniejsze).
[6] W. Kaczor, M. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, cz. I, Liczby rzeczywiste, ciągi i szeregi
liczbowe, PWN, 2005
[7] W. Kaczor, M. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, cz. II, Funkcje jednej zmiennej-rachunek
różniczkowy, PWN, 2005
Wykaz literatury uzupełniającej:
[1] R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, PWN, 2006
[2] W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, 2009 (i wcześniejsze)
[3] A. Birkholc, Analiza matematyczna dla nauczycieli, PWN, 1977
[4] K. Maurin, Analiza, część I, PWN, 2010 (i wcześniejsze)
[5] F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, 2008 (i wcześniejsze)
Osoba odpowiedzialna za przedmiot:
dr Beata STRYCHARZ-SZEMBERG
Zatwierdził:
dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK