1 Szeregi potęgowe

Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
1
Szeregi potęgowe
Definicja 1.1. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0 ∈ R nazywamy szereg postaci:
∞
X
cn (x − x0 )n ,
n=0
gdzie x ∈ R oraz cn ∈ R dla n = 0, 1, 2, . . .
def
Przyjmujemy, że 00 = 1. Liczby cn nazywamy współczynnikami szeregu potęgowego.
1.1
Promień zbieżności szeregu potęgowego
Twierdzenie 1.2. Dla każdego szeregu potęgowego
∞
X
cn (x − x0 )n istnieje dokładnie jedna
n=0
liczba R ∈ h0, +∞) o własności:
jeżeli |x − x0 | < R, to szereg
jeżeli |x − x0 | > R, to szereg
∞
X
n=0
∞
X
cn (x − x0 )n jest zbieżny bezwzględnie,
cn (x − x0 )n jest rozbieżny.
n=0
Definicja 1.3.
Liczbę R, której istnienie gwarantuje powyższe twierdzenie nazywamy promieniem zbieżności
szeregu potęgowego
∞
X
cn (x − x0 )n .
n=0
Promień zbieżności szeregu potęgowego można wyznaczyć za pomocą wzoru:
R = n→∞
lim q
n
1
|cn |
lub
o ile granice w tych wzorach istnieją.
Gdy n→∞
lim
Gdy n→∞
lim
q
n
q
n
R=
c n lim n→∞ c
n+1
,
|cn | = ∞, to R = 0.
|cn | = 0, to R = ∞.
Przykład 1.4.
Szereg
∞ n
X
5
n=0
3
(x + 5)n jest szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0 = −5 i promie-
3
niu R = .
5
(6 − 3x)n
Szereg
jest szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0 = 2 i promieniu
n
n
n=0 3 + 2
R = 1.
∞
X
1
Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Szereg
R = ∞.
(−x)n
jest szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0 = 0 i promieniu
n!
n=0
∞
X
Twierdzenie 1.5 (Twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda). Niech 0 < R < ∞ będzie promieniem
zbieżności szeregu potęgowego
∞
X
cn (x − x0 )n . Wtedy szereg ten jest:
n=0
zbieżny bezwzględnie w każdym punkcie przedziału (x0 − R, x0 + R),
rozbieżny w każdym punkcie zbioru (−∞, x0 − R) ∪ (x0 + R, +∞).
Uwaga 1. W punktach x0 − R i x0 + R szereg potęgowy może być zbieżny lub rozbieżny.
Gdy R = 0, to szereg potęgowy jest zbieżny jedynie w punkcie x0 .
Gdy R = ∞, to szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie na całej prostej.
Definicja 1.6. Zbiór tych x ∈ R, dla których szereg potęgowy
∞
X
cn (x − x0 )n
n=0
jest zbieżny nazywamy przedziałem zbieżności tego szeregu.
Uwaga 2. Z twierdzenia Cauchy’ego-Hadamarda wynika, że przedział zbieżności szeregu potęgowego może mieć jedną z postaci:
(x0 − R, x0 + R)
x0 − R
x0
hx0 − R, x0 + R)
x0 + R
x0 − R
(x0 − R, x0 + Ri
x0 − R
x0
x0 + R
hx0 − R, x0 + Ri
x0 + R
x0 − R
{x0 }
R = 0 x0
x0
x0
x0 + R
(−∞, +∞)
R=∞
x0
Przykład 1.7.
Dla szeregu
Dla szeregu
∞
X
1
(x − 2)n mamy R = 1 i przedział zbieżności h1, 3) .
n
n=1
∞
X
(−1)n
xn
mamy R = 1 i przedział zbieżności h−1, 1i .
n ln2 n
(−1)n
x2n
mamy R = ∞ i przedział zbieżności (−∞, +∞) = R .
(2n)!
n=2
Dla szeregu
∞
X
n=2
2
Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
1.2
Szereg Taylora i Maclaurina
Definicja 1.8. Niech funkcja f ma w punkcie x0 pochodne dowolnego rzędu. Szereg potęgowy
f (n) (x0 )
f 0 (x0 )
f 00 (x0 )
(x − x0 )n = f (x0 )+
(x − x0 )+
(x − x0 )2 +. . .
n!
1!
2!
n=0
∞
X
nazywamy szeregiem Taylora funkcji f o środku w punkcie x0 .
Jeżeli x0 = 0, to szereg
f (n) (0) n
x nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji f .
n!
n=0
∞
X
Uwaga 3. Ze zbieżności szeregu Maclaurina funkcji nie wynika, że jego suma jest równa tej
funkcji.
Na przykład dla funkcji
f (x) =

1


e − x2 ,


0,
mamy f (n) (0) = 0, dla n = 0, 1, 2, 3, . . ., i f (x) 6=
x 6= 0
x=0
f (n) (0) n
x ≡ 0.
n!
n=0
∞
X
Twierdzenie 1.9 (o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora). Jeżeli
funkcja f ma na otoczeniu O punktu x0 pochodne dowolnego rzędu,
f (n+1) (ξ)
dla każdego x ∈ O spełniony jest warunek lim Rn (x) = 0, gdzie Rn (x) =
(x − x0 )n+1
n→∞
(n + 1)!
oznacza n-tą resztę we wzorze Taylora dla funkcji f , przy czym ξ = x 0 +θ(x−x0 ), 0 < θ < 1,
to
f (x) =
f (n) (x0 )
(x − x0 )n ,
n!
n=0
∞
X
dla każdego x ∈ O.
Twierdzenie 1.10 (o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy). Jeżeli
f (x) =
∞
X
cn (x − x0 )n ,
n=0
dla każdego x z pewnego otoczenia punktu x0 , to
cn =
f (n) (x0 )
,
n!
dla n = 0, 1, 2, . . .
3
Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Przykład 1.11. Dla funkcji f (x) =
1
mamy f (1) = 1 oraz
x
1
x2
2
f 00 (x) = 3
x
6
000
f (x) = − 4
x
24
(4)
f (x) = 5
x
f 0 (x) = −
f (n) (x) = (−1)n
⇒ f 0 (1) = −1
⇒ f 00 (1) = 2
⇒ f 000 (1) = −3!
⇒ f (4) (1) = 4!
..
.
n!
⇒ f (n) (1) = (−1)n n!
xn+1
Wówczas
∞
∞
X
X
1
=
(−1)n (x − 1)n =
(1 − x)n , dla 0 < x < 2.
x n=0
n=0
1.3
Szeregi Maclaurina niektórych funkcji elementarnych
∞
X
1
=
xn = 1 + x + x2 + x3 + . . . , dla |x| < 1.
1 − x n=0
ex =
sin x =
(−1)n 2n+1
x3 x5 x7
x
=x −
+
−
+ . . . , x ∈ R.
3!
5!
7!
n=0 (2n + 1)!
∞
X
cos x =
ln(1 + x) =
arc tg x =
xn
x2 x3
=1+x+
+
+ . . . , dla x ∈ R.
2
3!
n=0 n!
∞
X
(−1)n 2n
x2 x4 x6
x =1−
+
−
+ . . . , x ∈ R.
2
4!
6!
n=0 (2n)!
∞
X
(−1)n n+1
x2 x3 x4
x
=x−
+
−
+ . . . , −1 < x 6 1.
2
3
4
n=0 (n + 1)
∞
X
(−1)n 2n+1
x3 x5 x7
x
=x−
+
−
+ . . . , −1 < x 6 1.
3
5
7
n=0 (2n + 1)
∞
X
sinh x =
x2n+1
x3 x5 x7
=x +
+
+
+ . . . , x ∈ R.
3!
5!
7!
n=0 (2n + 1)!
∞
X
cosh x =
x2 x4 x6
x2n
= 1+
+
+
+ . . . , x ∈ R.
2
4!
6!
n=0 (2n)!
∞
X
4
Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Twierdzenie 1.12 (o różniczkowaniu szeregu potęgowego). Niech 0 < R 6 ∞ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego
∞
X
cn (x − x0 )n . Wtedy:
n=0
∞
X
cn (x − x0 )
n=0
n
!0
=
∞
X
ncn (x − x0 )n−1
n=1
dla każdego x ∈ (x0 − R, x0 + R).
1.3.1
Sumy ważniejszych szeregów potęgowych
∞
X
1
, dla |x| < 1.
1−x
xn =
n=0
∞
X
n=1
∞
X
n=1
nxn =
x
, dla |x| < 1.
(1 − x)2
n2 xn−1 =
1+x
, dla |x| < 1.
(1 − x)3
∞
X
xn
= − ln(1 − x) , dla −1 6 x < 1.
n=0 n
5
Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
1.4
Aproksymacja funkcji przez wielomian
Wzór
f (x) == f (x0 )+
f 0 (x0 )
f (n) (x0 )
(x − x0 )+. . . +
(x − x0 )n + Rn (x) ,
1!
n!
f (n+1) (ξ)
(x − x0 )n+1 <– n-ta reszta we wzorze Taylora dla funkcji f , przy czym
(n + 1)!
ξ = x0 + θ(x − x0 ), 0 < θ < 1, pozwala przedstawić w sposób przybliżony (aproksymować)
gdzie Rn (x) =
funkcję f za pomocą wielomianu (zwanego wielomianem Taylora)
f 0 (x0 )
f (n) (x0 )
f (x) ≈ f (x0 )+
(x − x0 )+. . . +
(x − x0 )n .
1!
n!
Przykład 1.13. Niech f (x) = ex . Wówczas
ex ≈ 1 + x +
x2 x3
xn
+
+...+
.
2
3!
n!
y
y = ex
n=2
x2
y =1+x+
2
n=3
x2 x3
y =1+x+
+
2
6
y =1+x
n=1
x
6