1. SFORMUŁOWANIE ZAGADNIENIA TZW."CZYSTEGO ZGINANIA"

WYTĘŻENIE
1
1. STANY KRYTYCZNE
1.1. Jednoosiowe rozciąganie
σ
Rm
Re
Rs
RH
Ru
HR.
Rs
Re
Ru
Rm
granica proporcjonalności
granica sprężystości
granica plastyczności
naprężenie rozrywające
wytrzymałość na rozciąganie
ε
∗ każde z charakterystycznych naprężeń (granic) określa pewien stan mechaniczny w
dowolnym punkcie materialnym ciała
stan nieliniowo
sprężysty
stan liniowo
sprężysty
σ < RH
RH < σ < Rs
stan sprężysto
plastyczny
Rs < σ < Re
stan
plastyczny
stan
niszczący
Re < σ < Ru
σ = Ru
1.1.1. Wytężenie
∗ pojęcie wytężenia w punkcie - stopień zbliżenia stanu mechanicznego punktu do określonej
granicy niebezpiecznej , za którą może być uznana którakolwiek z granic wymienionych
powyżej - w zależności od tego do jakiego stanu mechanicznego dopuszczamy konstrukcję
w1 =
σ x1
Rk
σ x1
σ x2
Rk
σx
w2 =
σ x2
Rk
∗ miara wytężenia
σ x = P ≤ Rk
A
m (w) = σ x
m ( w niebezp. ) = Rk
1.2. Wieloosiowe stany naprężenia
Problem : Jak określić wytężenie i jego miarę dla stanu mechanicznego opisanego dowolnym
tensorem naprężenia dla stanu wieloosiowego ?
Rozwiązanie : Stopień skomplikowania zagadnienia (wpływ zmian dowolnej składowej tensora
naprężenia na stan mechaniczny punktu, różnorodność materiałów, itd.) powoduje, że wytężenie i
jego miara nie zostały określone w drodze analizy teoretycznej. Stan mechaniczny w punkcie i
wywołane w nim wytężenie na skutek wieloosiowego stanu naprężenia sprowadza się do
hipotetycznego stanu jednoosiowego, wytężeniowo równoważnego danemu stanowi
rzeczywistemu. Za miarę wytężenia przyjmuje się pewną kombinację naprężeń w oparciu o tzw.
hipotezę wytężeniową. U podstaw hipotezy leżą zawsze obserwacje doświadczalne, stąd wielość
hipotez odpowiednich dla określonych klas materiałów i określonych zjawisk fizycznych
występujących w materiale (np. kruche pękanie). Za miarę wytężenia niebezpiecznego przyjmuje
się pewną granicę krytyczną, jak w przypadku stanu jednoosiowego.
m ( w ) = hipoteza wytężeniowa
m ( w niebezp. ) = Rk
WYTĘŻENIE
2
2. HIPOTEZY WYTĘŻENIOWE
2.1. Podział hipotez wytężeniowych
∗
∗
∗
∗
naprężeniowe : Galileusz, Coulomb, Tresca, Guest
odkształceniowe : de Saint-Venant
energetyczne : Huber, Mises, Hencky, Burzyński
probabilistyczne : Weibull, Murzewski
2.2. Hipoteza Galileusza (1632) - hip. maksymalnego naprężenia głównego
O wytężeniu materiału w punkcie decyduje maksymalna bezwzględna wartość naprężenia
głównego, niezależnie od tego czy powstała ona w wyniku obciążenia prostego czy złożonego.
(
m ( w ) = max σ1 , σ 2 , σ 3
)
m ( w niebezp. ) = Rk
σ2
Rk
warunek stanów bezpiecznych
Rk
m ( w ) ≤ m ( w niebezp. )
stany
bezpieczne
σ1
Rk
Rk
2.3. Hipoteza Coulomba (1776) - Treski (1872) - Guesta (1900) - hip. maksymalnego
naprężenia stycznego
∗ obserwacje doświadczalne : zniszczenie betonowej próbki walcowej przy ściskaniu poprzez
utworzenie dwóch stożków połączonych wierzchołkami, pękanie rozciąganej płaskiej próbki
metalowej wskutek poślizgów pod kątem 45o do kierunku obciążenia (linie Lüdersa-Czernowa)
O wytężeniu materiału w punkcie decyduje maksymalna bezwzględna wartość naprężenia
stycznego, niezależnie od tego czy powstała ona w wyniku obciążenia prostego czy złożonego.
 σ − σ2
σ − σ3
σ − σ3 
, 1
, 2
m ( w ) = max  1

2
2
2


m ( w niebezp. ) =
σ2
Rk
2
Rk
warunek stanów bezpiecznych
Rk
m ( w ) ≤ m ( w niebezp. )
stany
bezpieczne
Rk
σ1
Rk
2.4. Hipoteza Hubera-Misesa-Hencky’ego - hip. energii odkszt. postaciowego
O wytężeniu materiału w pkt. decyduje ilość zgromadzonej w nim energii odkszt. postaciowego,
niezależnie od tego czy powstała ona w wyniku obciążenia prostego czy złożonego.
2
2
2
m ( w ) = Φ f = 1 + ν ( σ1 − σ 2 ) + ( σ1 − σ 3 ) + ( σ 2 − σ 3 ) 


6E 
WYTĘŻENIE
3
(
)
2
2
2
m ( w ) = Φ f = 1 + ν ( σ x − σ y ) + ( σ x − σ z ) + ( σ y − σ z ) + 6 τ 2xy + τ 2xz + τ 2yz 



6E
m ( w niebezp. ) = 1 + ν Rk2
3E
σ2
Rk
warunek stanów bezpiecznych
Rk
stany
bezpieczne
m ( w ) ≤ m ( w niebezp. )
Rk
σ1
Rk
2.5. Porównanie hipotez
hip. C-T-G
σ2
hip. Galileusza
Rk
σ1
Rk
Rk
hip. H-M-H
Rk
3. NAPRĘŻENIA ZASTĘPCZE
∗ uporządkowane naprężenia główne
∗ warunek stanów bezpiecznych
σ1 > σ2 > σ3
m ( w ) ≤ m ( w niebezp. )
∗ hipoteza Galileusza
σ1 ≤ Rk
∗ hipoteza C - T - G
∗ hipoteza H - M - H
lub
σ1 − σ 3 ≤ Rk
1
2
(σ1 − σ 2 )2 + (σ1 − σ 3 )2 + (σ 2 − σ 3 )2
1
2
(σ x − σ y )2 + (σ x − σ z )2 + (σ y − σ z )2 + 6 ( τ2xy + τ2xz + τ2yz ) ≤ Rk
≤ Rk
Powyższe nierówności odnoszą stany przestrzenne naprężenia (lewe strony) do wytężeniowo
równoważnego jednoosiowego stanu naprężenia (strony prawe). Można powiedzieć, że lewe
strony to „obraz naprężeniowy” stanów wieloosiowych zredukowanych do jednoosiowego - stąd
określa się je mianem naprężeń zredukowanych lub zastępczych σo .
∗ hipoteza Galileusza
σ o = σ1
∗ hipoteza C - T - G
σ o = σ1 − σ 3
∗ hipoteza H - M - H
lub
∗ hipoteza Mohra
σo = 1
2
(σ1 − σ 2 )2 + (σ1 − σ 3 )2 + (σ 2 − σ 3 )2
σo = 1
2
(σ x − σ y )2 + (σ x − σ z )2 + (σ y − σ z )2 + 6 ( τ2xy + τ2xz + τ2yz )
σ o = σ1 − k σ 3
k=
Rkr
Rkc