Hipotezy wytrzymałościowe

Wytrzymałość
materiałów
Hipotezy wytrzymałościowe
1
Podstawy wymiarowania
w stanie granicznym nośności
Wymiarowanie konstrukcji polega na doborze wymiarów i kształtu
przekrojów elementów.
Podstawą doboru jest porównanie:
wytrzymałość materiału - naprężenie zredukowane
lub
nośność przekroju - sił wewnętrzne
W stanie granicznym korzystamy z wielkości obliczeniowych.
Obliczeniowa wytrzymałość materiału
Rk
R=
γm
gdzie: Rk - wytrzymałość charakterystyczna,
γm - współczynnik bezpieczeństwa (γm≥1.0) a R ≤ Rk
Podstawy wymiarowania
w stanie granicznym nośności
Wymiarowanie konstrukcji polega na doborze wymiarów i kształtu
przekrojów elementów.
Podstawą doboru jest porównanie:
wytrzymałość materiału - naprężenie zredukowane
lub
nośność przekroju - sił wewnętrzne
Naprężenia (lub siły wewnętrzne)
obciążeniami obliczeniowymi
Obciążenie obliczeniowe
są
wywołane
F = γ f Fk
gdzie: Fk – obciążenie charakterystyczne,
γf - współczynnik bezpieczeństwa (γf≥1.0) a F ≥ Fk
zewnętrznymi
Naprężenia zredukowane
Naprężenie zredukowane jest to naprężenie normalne zastępcze, które
może być porównywane z wytrzymałością materiału w stanie
jednoosiowego rozciągania. Naprężenie zredukowane zależy od
wszystkich składowych tensora naprężeń:
σ red = f (σ xx , σ yy , σ zz , τ xy , τ xz , τ zy )
lub
σ red = f (σ11 , σ 22 , σ33 )
σ11 , σ 22 , σ33
- naprężenia główne.
Naprężenia zredukowane (zastępcze) są wyznaczane na podstawie
hipotez, nazywanych hipotezami wytrzymałościowymi.
Hipotezy wytrzymałościowe
Naprężenia mogą tworzyć osie układu współrzędnych.
Hipotezy wytrzymałościowe, opisują funkcje powierzchni granicznych,
ograniczających obszary, w których nie występuje przekroczenie
wytrzymałości materiału.
σ11 , σ 22 , σ33
- naprężenia główne.
Hipoteza największego naprężenia
normalnego
Hipoteza największego naprężenia rozciągającego jest pierwszą
hipotezą podaną przez Galileusza.
Hipoteza największego naprężenia normalnego
Według tej hipotezy, opracowanej przez Lamego i Rankine’a, naprężenia
nie niszczące muszą spełniać następujące warunki:
Rc < σ11 < Rr
Rc < σ 22 < Rr
Rc < σ33 < Rr
Hipoteza największego naprężenia
normalnego
Powierzchnie graniczne:
Stan płaski naprężenia
Przestrzenny
stan naprężenia
Wadą hipotezy jest zaniedbanie sytuacji, gdy naprężenia normalne są
mniejsze niż styczne, które przyjmują wartość maksymalną i są
większe od wytrzymałości materiału na ścinanie.
Hipoteza największego naprężenia
stycznego (Coulomba(Coulomba-Treski)
Według tej hipotezy, opracowanej przez Coulomba i Treskę,
o
zniszczeniu materiału decyduje przekroczenie wytrzymałości materiału
przez naprężenia styczne, wytrzymałości materiału na rozciąganie i
ściskanie są sobie równe. R = R = R
r
Maksymalne
wynoszą:
naprężenia
s
styczne
τ max =
przy
jednoosiowym
σ11
2
natomiast według hipotezy powinny spełniać warunek:
−
R
R
< τ max <
2
2
rozciąganiu
Hipoteza największego naprężenia
stycznego (Coulomba(Coulomba-Treski)
W przestrzennym stanie naprężeń hipoteza opisana jest zależnościami:
− R < σ11 − σ 22 < R
− R < σ 22 − σ33 < R
− R < σ11 − σ33 < R
W płaskim stanie naprężeń hipoteza opisana jest zależnościami:
− R < σ11 − σ 22 < R
− R < σ 22 < R
− R < σ11 < R
Hipoteza największej energii
odkształcenia postaciowego
Hipoteza ta została opracowana przez Hubera i Misesa. Według tej
hipotezy wytężenia w przypadku złożonego stanu naprężeń i przy
rozciąganiu jednoosiowym będą jednakowe, jeżeli odpowiednie wartości
jednostkowej energii odkształcenia w tych stanach będą sobie równe.
Na podstawie tej hipotezy naprężenia zredukowane wynoszą:
σ red
1
=
2
(σ11 − σ 22 )2 + (σ33 − σ 22 )2 + (σ11 − σ33 )2
lub
σ red
1
=
2
(σ
xx − σ yy
) + (σ
2
zz − σ yy
) + (σ
2
(
2
2
2
)
−
σ
+
6
τ
+
τ
+
τ
xx
zz
xy
yz
xz
2
)
Hipoteza największej energii
odkształcenia postaciowego
Naprężenia zredukowane w płaskim stanie naprężeń:
2
σ red = σ11
+ σ 222 − σ11σ 22
lub
σ red = σ 2xx + σ 2yy − σ xx σ yy + 3τ 2xy
W przypadku elementów prętowych:
σ red = σ 2xx + 3τ 2xy
Hipoteza HuberaHubera-Misesa
w spoinach - przykład
Dwie blachy są ze sobą połączone
spoiną czołową. Wyznaczyć
naprężenia zredukowane w spoinie.
Założono, że blacha pionowa jest
nieskończenie sztywna czyli blacha pozioma
jest sztywno zamocowana i tworzy wspornik
z siłami wewnętrznymi pokazanymi na
wykresach.
Hipoteza HuberaHubera-Misesa
w spoinach - przykład
Wykresy naprężeń przy
mocowaniu w pręcie:
T = 1kN
h h 0.05m ⋅ (0.1m )
Sˆ (0 ) = b
=
= 62.5 ⋅10 −6 m 3
24
8 3
bh 3 0.05m ⋅ (0.1m )
J=
=
= 416.67 ⋅10 −8 m 4
12
12
J
416.67 ⋅10 −8 m 4
W=
=
= 83.33 ⋅10 −6 m 3
0 .5 ⋅ h
0.5 ⋅ 0.1m
Mymax M
=
=
J
W
1kNm
=
= 12000.48kPa
83.33 ⋅10 −6 m 3
TSˆ (0 )
1kNm ⋅ 62.5 ⋅10 −6 m 3
=
=
= 300kPa
−8
4
Jg
416.67 ⋅10 m ⋅ 0.05m
2
M = 1kNm
σ max =
τ max
Hipoteza HuberaHubera-Misesa
w spoinach - przykład
Wykresy naprężeń w spawie:
M = 1kNm
T = 1kN
J = 416.67 ⋅10 −8 m 4
W = 83.33 ⋅10 −6 m 3
Spaw nie jest belką, poddaną działaniu zginania. Jest to krótki fragment na
który działa siła tnąca i w takim przypadku naprężenia styczne są równe:
T
1kNm
τ max = τ xy =
=
= 200kPa
bh 0.1m ⋅ 0.05m
Natomiast naprężenia normalne rozkładają się tak samo jak w belce:
Mymax M
1kNm
σ max =
=
=
= 12000.48kPa
−6
3
J
W 83.33 ⋅10 m
Hipoteza HuberaHubera-Misesa
w spoinach - przykład
Maksymalne
wartości naprężeń
w spoinie:
τ max = τ xy = 200kPa
σ max = σ xx = 12000.48kPa
Zgodnie z hipotezą Hubera-Misesa:
σ red = σ 2xx + 3τ 2xy
σ red =
(12000.48kPa )2 + 3 ⋅ (200kPa )2
Dla stali S235:
= 12005.48kPa < 0.6 ⋅ 210000kPa = 126000kPa
Rdop = 0.6 ⋅ 205000kPa = 123000kPa
σ red < Rdop
Koniec