Analiza logiczna rozumowa ´n
Transkrypt
Analiza logiczna rozumowa ´n
W. Marciszewski: LOGIKA • Praca zaliczeniowa, wariant 3 • Collegium Civitas, 2002/2003 Tekst umieszczony na serwerze 29.11.2002 w miejsce wcześniejszej wersji. Analiza logiczna rozumowań Wiadomości pomocne w rozwiazywaniu ˛ zadań Przepis na analiz˛e logiczna˛. Na analiz˛e logiczna˛ rozumowania czyli badanie jego poprawności formalnej składaja˛ si˛e trzy wymienione dalej czynności. B i C sa˛ to kroki podyktowane przez algorytmy (stad ˛ potrafi je wykonać także maszyna). Krok A może wymagać pewnej inwencji w interpretowaniu zdań j˛ezyka naturalnego; o tyle odbiega on od post˛epowania algorytmicznego, które ma charakter czysto mechaniczny. (A) Rozpoznanie formy logicznej przesłanek i wniosku wyrażajace ˛ si˛e w zapisaniu ich jako formuł logicznych w j˛ezyku rachunku predykatów (zawierajacym ˛ w sobie j˛ezyk rachunku zdań). (B) Utworzenie z tych formuł jednej formuły implikacyjnej φ ⇒ ψ przez umieszczenie w poprzedniku przesłanek, połaczonych ˛ (jeśli jest wi˛ecej niż jedna) symbolem koniunkcji, oraz umieszczenie wniosku w nast˛epniku. (C) Zastosowanie procedury prowadzacej ˛ do odpowiedzi na pytanie, czy φ ⇒ ψ jest tautologia˛ (prawem logiki). Jeśli formuła ta jest tautologia,˛ to przyporzadkowane jej rozumowanie (przesłanki jako odpowiednik poprzednika i wniosek – odpowiednik nast˛epnika) jest poprawne formalnie czyli takie, że wniosek wynika logicznie z przesłanek. Poj˛ecie formy logicznej. Forma (inaczej, struktura) logiczna formuły jest wyznaczona przez wyst˛epujace ˛ w tej formule stałe logiczne (jak ¬, ∧ , ∨, ⇒, ⇔ , ∀, ∃, =) oraz liczb˛e i rozmieszczenie stałych pozalogicznych i zmiennych. Np. wśród formuł 1. ∀x(P (x) ⇒ ∃yR(y, x)) 2. ∀z(Q(z) ⇒ ∃xS(x, z)) 3. ∃x(P (x) ⇒ ∃yR(y, x)) formuły 1 i 2 maja˛ t˛e sama˛ form˛e logiczna,˛ choć na każdym miejscu różnia˛ si˛e kształtem stałych pozalogiczych (w 1 sa˛ to: P, R) i zmiennych indywiduowych (x, y). Formuła 3 różni si˛e od 1 forma˛ logiczna,˛ choć ma te same stałe pozalogiczne i te same zmienne na tych samych pozycjach; różni si˛e jednak w jednym miejscu stała˛ logiczna˛ (∃ w 3 tam, gdzie ∀ w 1), co wystarcza, żeby powstała różnica w strukturze czyli formie. Pod form˛e 1 oraz (identyczna˛ z nia) ˛ 2 podpada nieskończenie wiele zdań j˛ezyka dysponujacego ˛ tymi samymi stałymi logicznymi lub ich odpowiednikami (tzn. słówkami o tej samej treści). Do takich należy polski. B˛eda˛ to np. nast˛epujace ˛ zdania. (1/2)1 Dla każdego ciała jest prawda,˛ że jeśli jest ono w ruchu, to istnieje ciało, które je porusza. (1/2)2 Dla każdego człowieka jest prawda,˛ że jeśli rozwinał ˛ si˛e umysłowo, to istnieje ktoś, komu on to zawdzi˛ecza. Przykład analizy logicznej. Rozważmy nast˛epujace ˛ rozumowanie. Przesłanka: Każde ciało, jeśli jest w ruchu, to jest poruszane przez jakieś ciało. A wi˛ec Wniosek: Jakieś ciało jest w ruchu i jest poruszane przez jakieś ciało. Krok A. Terminy logiczne polskie jeśli, i, każdy, jakiś zast˛epujemy, odpowiednio, terminami logicznymi (stałymi) j˛ezyka rachunku predykatów: ⇒, ∧ , ∀, ∃. Stałe pozalogiczne, jakimi sa˛ predykaty 2 Zadania na analiz˛e logiczna rozumowań mogłyby pozostać bez zmiany, ale dla wygody wprowadzamy skróty R i P , odpowiednio dla predykatu jednoargumentowego jest w Ruchu i dwuargumentowego Porusza. Form˛e logiczna˛ oddaja˛ teraz nast˛epujace ˛ formuły. Forma logiczna przesłanki: ∀x(R(x) ⇒ ∃yP (y, x)) Forma logiczna wniosku: ∃x(R(x) ∧ ∃yP (y, x)). Krok B. Przyporzadkowanie ˛ rozumowaniu formuły implikacyjnej, tj. postaci (φ ⇒ ψ); użyjmy ‘F’ w roli jej nazwy, F: ∀x(R(x) ⇒ ∃yP (y, x)) ⇒ ∃x(R(x) ∧ ∃yP (y, x)). Krok C. Procedura˛ stosowna˛ do rozstrzygni˛ecia, czy F jest prawem logiki, sa˛ tabele analityczne (zob. rozdz. IV, odcinek 5). Stosujac ˛ t˛e procedur˛e, pytamy jakie byłyby konsekwencje, jeśliby formuła F była fałszywa. Pierwsza˛ jest to, że F miałaby prawdziwy poprzednik i fałszywy nast˛epnik, a wi˛ec prawdziwa byłaby negacja nast˛epnika. Mamy zatem jako założenia nast˛epujace ˛ formuły: 1. ∀x(R(x) ⇒ ∃yP (y, x)) 2. ¬∃x(R(x) ∧ ∃yP (y, x)). Wyprowadzamy z nich konsekwencje za pomoca˛ reguł kierujacych ˛ rozbiorem każdej formuły na coraz prostsze składniki, aż dojdzie si˛e do ostatecznych elementów czyli formuł atomowych i ich negacji; jedne i drugie nazywamy formułami elementarnymi. Wywód ten układa si˛e w drzewo majace ˛ rozgał˛ezienia w tych miejscach, gdzie formuła˛ rozkładana˛ na składniki jest alternatywa, implikacja lub negacja koniunkcji. Gdy dojdziemy do końca wywodu, to znaczy pozostana˛ same formuły elementarne (nie poddajace ˛ si˛e dalszemu rozbiorowi), a na każdej gał˛ezi pojawi si˛e jakaś para formuł elementarnych mi˛edzy soba˛ sprzecznych, znaczy to, że zaprzeczenie F musi zawsze prowadzić do sprzeczności. Formuła zaś, której zaprzeczenie zawsze prowadzi do sprzeczności jest tautologia˛ (zawsze to znaczy przy wszelkim doborze stałych indywiduowych, którymi zast˛epujemy zmienne indywiduowe opuszczajac ˛ kwantyfikatory). Jeśli natomiast b˛edzie choć jedna gałaź, ˛ na której nie pojawi si˛e sprzeczność, znaczy to, że dla pewnych indywiduów negacja formuły F jest spełniona, a wi˛ec F nie jest tautologia.˛ Nasza przykładowa formuła, jak si˛e okazuje po sprawdzeniu, nie jest tautologia,˛ a wi˛ec nie zapewnia poprawności formalnej rozumowaniu podpadajacemu ˛ pod zwiazany ˛ z nia˛ schemat wnioskowania. Z a d a n i e 1 – „argumentacja chińska” Dla zwi˛ezłego przedstawienia rozumowań w zadaniach 1-1 do 1-5 potrzebny b˛edzie predykat: — GR tzn. jest krajem majacym ˛ gospodark˛e w rozwoju, przysługujacy ˛ za takie cechy, jak wysoki PKB, konkurencyjność w mi˛edzynarodowej wymianie handlowej, ustabilizowana waluta, niska inflacja, niskie bezrobocie. W zakresie tego predykatu mieści si˛e w˛eższa klasa gospodarek, które prócz wyżej wymienionych własności maja˛ jeszcze cechy zapewniajace ˛ trwałość rozwoju, tj. zabezpieczajace ˛ przed kryzysem i upadkiem. Obejmiemy je predykatem: — GRT tzn. jest krajem majacym ˛ gospodark˛e o szansach trwałego rozwoju. Ponadto, do analizy rozumowania podawanego przez przywódców komunistycznej partii Chin, stad ˛ nazwanego tu argumentacja˛ chińska,˛ potrzebny b˛edzie predykat: — DM tzn. jest krajem demokratycznym, co oznacza pluralizm polityczny, wolne wybory, podział władz, rzady ˛ prawa, niezawisłość sadów, ˛ niezależność banku centralnego, wolne media itd. Trzy wymienione predykaty wyst˛epuja˛ w argumentacji Komunistycznej Partii Chin relacjonowanej w artykule: Robert Stefanicki, „Maść tygry- Zadania na analiz˛e logiczna˛ rozumowań 3 sia”, Gazeta Wyborcza, 9-11 listopada 2002, s. 20-21.1 Oto streszczenie argumentacji chińskiej. «Wzorzec ustrojowy, który według pogladu ˛ (PZ) głoszonego ich zdaniem na Zachodzie jest warunkiem koniecznym gospodarki w rozwoju składa si˛e z dwóch czynników: (1) wolny rynek (co zakłada prywatna˛ własność w przemyśle i usługach) oraz (2) demokracja (w sensie predykatu DM ). Nie jest jednak prawda˛ – mówia˛ komuniści chińscy – że oba te czynniki sa˛ jednakowo konieczne do zaistnienia gospodarki w rozwoju. Widać to z tego, że istnieja˛ kraje, które taki rozwój osiagn˛ ˛ eły po wprowadzeniu wolnego rynku, a bez wprowadzania demokracji (Taiwan, Korea Płd., Singapur etc.).» Weźmy pod uwag˛e t˛e cz˛eść pogladu ˛ PZ, której zaprzeczaja˛ komuniści chińscy, mianowicie: [PZ.2] W każdym przypadku to, żeby kraj był demokratyczny jest warunkiem koniecznym tego, żeby miał on gospodark˛e w rozwoju. Zadanie 1-1 Czy jest poprawny formalnie argument, w którym z istnienia krajów majacych ˛ gospodark˛e w rozwoju (GR) lecz nie b˛edacych ˛ demokratycznymi (DM ) wywnioskowuje si˛e zaprzeczenie pogladu ˛ PZ.2? Uzasadnij odpowiedź analiza˛ logiczna˛ tego rozumowania. Zadanie 1-2 Zachodni zwolennicy pogladu ˛ o konieczności demokracji dla rozwoju gospodarczego zarzucaja˛ argumentacji chińskiej, że nie oddaje ona należycie tego pogladu. ˛ Rozwój gospodarczy interpretuje si˛e w tym argumencie za pomoca˛ predykatu GR, podczas gdy powinno si˛e użyć predykatu GRT . Tak sprecyzowany poglad ˛ PZ.2 oznaczmy przez PZ.2*. W autentycznym argumencie zachodnim nie twierdzi si˛e, że żaden rozwój gospodarczy nie jest bez demokracji możliwy, ale że nie jest możliwy rozwój trwały. Zbadaj, czy argument chiński ma moc przy tym wyjaśnieniu, biorac ˛ zarazem pod uwag˛e, że zbiór gospodarek cechujacych ˛ si˛e rozwojem trwałym (zakres predykatu GRT ) zawiera si˛e w obszerniejszym zbiorze gospodarek rozwijajacych ˛ si˛e, o których nic si˛e nie twierdzi co do trwałości rozwoju (zakres predykatu GR). Argument chiński ma w tym wariancie dwie przesłanki: (1) powyższe twierdzenie o zawieraniu si˛e (trzeba je wyrazić symbolicznie) oraz (2) zastosowane w Z-1 twierdzenie o istnieniu krajów pozbawionych demokracji a cieszacych ˛ si˛e rozwojem gospodarzym (w sensie GR). Zamierzona˛ konkluzja˛ jest negacja pogladu ˛ PZ.2* czyli negacja twierdzenia, że demokracja jest warunkiem koniecznym trwałego rozwoju gospodarczego. Zadanie 1-3 Zbadaj poprawność formalna˛ uzasadnienia pogladu ˛ PZ.2*, które zawiera si˛e w poniższych przesłankach 1-4. Proponowane oznaczenia dwuliterowe sa˛ skrótami predykatów wyróżnionych kursywa.˛ 1. Jeśli państwo nie jest demokratyczne (DM ), to nie funkcjonuja˛ w nim mechanizmy zapobiegania korupcji (ZK). 2. Jeśli w państwie nie funkcjonuja˛ mechanizmy zapobiegania korupcji, to wzrasta interwencjonizm państwowy (IP ) [tzn. sytuacja, w której decyzje gospodarcze zamiast 1 Artykuł ten opisuje stan Chin Ludowych, którego twórca˛ jest w znacznej mierze Zemin Jiang, pierwszy sekretarz partii komunistycznej w latach 1989-2002. Streszczone dalej rozumowanie jest rozsiane w różnych miejscach tekstu, m.in. w nast˛epujacym. ˛ «Pekin przejmuje neoautorytarna˛ doktryn˛e z sukcesem przetestowana˛ już przez „azjatyckie tygrysy” — silne państwo i ograniczenie wolności obywatelskich sa˛ koniecznym warunkiem szybkiego wzrostu gospodarczego.» (Ostatni akapit w odcinku „Gensek Jiang szuka drogi środka”). 4 Zadania na analiz˛e logiczna rozumowań przedsi˛ebiorców podejmuja˛ politycy i urz˛ednicy, a ci sa˛ niekompetentni w sprawach gospodarczych i nie maja˛ motywacji do dbania o dobro przedsi˛ebiorstw]. 3. Jeśli wzrasta interwencjonizm państwowy, to nast˛epuje znaczace ˛ ograniczenie wolnego rynku (OR). 4. Jeśli nast˛epuje znaczace ˛ ograniczenie wolnego rynku, to nie nast˛epuje trwały rozwój gopodarki (GRT ). Zadanie 1-4 Zbadaj poprawność innej wersji argumentacji na rzecz PZ.2*. Jest to nast˛epujace ˛ rozumowanie. [Wskazówka. Do przeprowadzenia analizy logicznej wystarczy tu posłużenie si˛e j˛ezykiem rachunku zdań, a wi˛ec bez wprowadzania predykatów. Zwroty „brak” i „żeby nie było” należy oddać symbolem negacji. Litera „W” wskazuje na wniosek.] 1. Brak demokracji wystarcza do zaistnienia korupcji. 2. Korupcja wystarcza do tego, żeby nie było wolnego rynku. 3. Wolny rynek jest konieczny do trwałego rozwoju gopodarczego. W: Demokracja jest konieczna do trwałego rozwoju gospodarczego, Zadanie 1-5 Czy argument zwolenników tezy PZ.2* b˛edzie poprawny formalnie, gdy przesłank˛e 2 z zadania 1-4 zastapimy ˛ zdaniem „korupcja jest konieczna do tego, żeby nie było wolnego rynku”? Z a d a n i e 2 – „zniżki studenckie” Rozpatrzmy argumenty za różnymi odpowiedziami na pytanie: Czy studenci powinni mieć zniżki komunikacyjne? Przez zniżki komunikacyjne rozumie si˛e prawo do ulgowych biletów na określone środki komunikacji, np. koleje i środki komunikacji miejskiej. Załóżmy, że zakres zniżek komunikacyjnych jest dokładnie określony i taki sam bierze si˛e pod uwag˛e w każdej argumentacji. Problem pozostaje jednak niedookreślony, gdyż nie jest rozstrzygni˛ete, czy chodzi o wszystkich studentów czy tylko niektórych oraz jaki jest tytuł owego uprawnienia do biletów ulgowych. W zależności od tego, jakiego sprecyzowania dostarczy si˛e w argumentacji, powstana˛ różne argumenty; jedne z nich okaża˛ si˛e formalnie poprawne, inne nie. Zadanie 2-1 1. Wszyscy studenci sa˛ ubodzy. 2. Wszystkim ubogim należa˛ si˛e zniżki komnikacyjne W: Wszystkim studentom należa˛ si˛e zniżki komunikacyjne. St( ) ... jest studentem U b( ) ... jest ubogi Km( ) ... należa˛ si˛e zniżki komunikacyjna Zadanie 2-2 1. Wszyscy studenci sa˛ ubodzy. 2. Pewnym ubogim należa˛ si˛e zniżki komnikacyjne W: Pewnym studentom należa˛ si˛e zniżki komunikacyjne. Zadanie 2-3 1. Wszyscy studenci sa˛ ubodzy. 2. Tylko ubogim należa˛ si˛e zniżki komnikacyjne Zadania na analiz˛e logiczna˛ rozumowań 5 [Tzn. ubóstwo jest warunkiem koniecznym zasługiwania na pomoc; nie przesadza ˛ si˛e w tym zdaniu, czy jest warunkiem wystarczajacym.] ˛ W: Wszystkim studentom należa˛ si˛e wszelkie zniżki komunikacyjne. Zadanie 2-4 1. Wszyscy studenci socjologii sa˛ w przyszłości potrzebni krajowi. 2. Niektórzy potrzebni krajowi zasługuja˛ na zniżki. W. Niektórzy studenci socjologii zasługuja˛ na zniżki. Sc( ) ... jest studentem socjologii Kr( ) ... jest w przyszłości potrzebny krajowi Zz( ) ... zasługuje na zniżki Zadanie 2-5 Czy wśród rozumowań od 1-1 do 2-4 sa˛ takie, które maja˛ t˛e sama˛ form˛e logiczna? ˛ Jeśli takie znajdujesz, to wskaż je i uzasadnij odpowiedź.