lista 2
Transkrypt
lista 2
Zadania z przedmiotu Algebra liniowa z elementami geometrii analitycznej, I semestr seria 2 1. Czy dzialanie ∗ jest laczne w zbiorze M , jeśli: , y (1) M = N, x ∗ y = x ; (2) M = N, x ∗ y = 2xy; (3) M = Z, x ∗ y = x2 + y 2 ; x (4) M = R∗ , x ∗ y = x · y |x| ; (5) M = N, x ∗ y = N W D(x, y); (6) M = Z, x ∗ y = x − y; (7) M = R, x ∗ y = sin x · sin y; (8) M = R \ {−1}, x ∗ y = x + y + xy? 2. Podać przyklady addytywnych grup liczbowych zawartych w grupie Q i zawierajacych grupe, , Z. Czy każda addytywna grupa liczbowa zawarta w Q ma niezerowy przekrój z Z? Czy istnieja, w Q dwie niezerowe addytywne podgrupy, których przekrój zawiera tylko 0? 3. Opisać multiplikatywne grupy Z∗m za pomoca, tabelki dla m = 6, 8, 12, 24. ∗ 4. Wyznaczyć rzad , grupy multiplikatywnej Zm , gdy m jest poteg , a, liczby pierwszej p. 5. Niech O(Π), OX (Π) bed , a, odpowiednio: zbiorem wszystkich obrotów plaszczyzny Π oraz zbiorem wszystkich obrotów plaszczyzny Π wokól ustalonego punktu X ∈ Π. Czy zbiory te wraz z dzialaniem skladania obrotów sa, grupami? 6∗ . Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne m takie, że w grupie Z∗m każdy element spelnia warunek x2 = 1. 7. Wykazać, że w grupach Z∗m dla m = 3, 5, 16 wszystkie elementy spelniaja, warunek x4 = 1. Na tej podstawie wykazać, że jeśli p jest liczba, pierwsza, p ≥ 7, to 240 | p4 − 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. Dane sa, permutacje σ = ,τ = . 2 8 9 4 3 7 6 1 5 3 4 5 8 7 1 9 6 2 Obliczyć σ ◦ τ, τ ◦ σ, σ −1 , τ −1 . Rozlożyć σ, τ na cykle rozlaczne. Obliczyć σ 35 ◦ τ −40 . Rozlożyć , σ, τ na transpozycje. 9. Wyznaczyć parzystość permutacji: 1 2 3 4 5 6 7 1 2 (a) , (b) 3 5 5 6 4 7 2 1 3 1 2 3 ... n − 2 n − 1 (e) n n − 1 n − 2 ... 3 2 3 4 5 6 7 2 1 6 4 8 n 1 , (f) n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 , , (c) 7 2 4 1 7 6 5 3 2 3 4 ... n − 1 n . 1 n − 1 2 ... ... ... 10. Wykazać, że każda, permutacje, σ ∈ Sn można przedstawić jako iloczyn (1) transpozycji postaci (1, 2), (1, 3), ... , (1, n); (2) transpozycji postaci (1, 2), (2, 3), ... , (n − 1, n); (3) cykli (1, 2) i (1, 2, . . . , n); (4) jeśli dodatkowo σ jest permutacja, parzysta,, to można ja, przedstawić jako iloczyn cykli dlugości 3; 11. Sporzadzić tabelki dzialań dla grup izometrii wlasnych nastepuj acych figur: a) prostokatny , , , , trójat równoramienny, b) prostok at różny od kwadratu c) kwadrat. Wyznacz podgrupy tych , , grup.