Nieparametryczne metody statystycznego sterowania procesami

Transkrypt

NIEPARAMETRYCZNE METODY STATYSTYCZNEGO
STEROWANIA PROCESAMI (SPC)
OLGIERD HRYNIEWICZ
ANNA SZEDIW
Instytut Bada
Systemowych PAN
Streszczenie
Celem statystycznego sterowania procesami (SPC) jest wykrywanie ich rozregulowa, co w konsekwencji powinno prowadzi do znajdowania i usuwania przyczyn
rozregulowania, a wic do poprawy jakoci procesu. Od kilkudziesiciu ju lat stosowane s do tego celu proste metody statystyczne, a w tym niezwykle popularne
karty kontrolne. W pracy zaproponowano oryginalne zastosowanie nieparametrycznej metody statystycznej – testu niezalenoci Kendalla - do wykrywania rozregulowa procesu. Własnoci procedury zbadano dla rozregulowa przejawiajcych si
wystpowaniem zalenoci pomidzy kolejnymi obserwacjami procesu, które mona
opisa przy pomocy dwuwymiarowego rozkładu normalnego oraz kopuł Farliego –
Gumbela – Morgensterna.
Słowa kluczowe: statystyczna sterowanie procesem (SPC), test Kendalla, wykrywanie rozregulowa
1. Wprowadzenie
Wynikajca z presji rynku konieczno wprowadzania systemów zapewnienia jakoci zwróciła uwag praktyków zarzdzania na znane od ponad osiemdziesiciu lat narzdzie statystycznego
sterowania jakoci, jakim jest wprowadzona przez Shewharta karta kontrolna. Idea konstrukcji
karty kontrolnej jest niezwykle prosta: wyniki pomiarów procesu (mog to by zarówno wyniki
pojedynczych pomiarów jak te uzyskane na podstawie analizy statystycznej odpowiednich próbek losowych oceny takich parametrów procesu jak np. jego warto oczekiwana, czy te odchylenie standardowe) zaznaczane s w porzdku chronologicznym na wykresie. Na wykresie karty
kontrolnej zaznaczone s ponadto nastpujce linie: linia centralna odpowiadajca wartoci redniej (lub wartoci docelowej) kontrolowanej charakterystyki procesu, a take jedna lub dwie linie
kontrolne, okrelajce obszary niedopuszczalnych wartoci tej charakterystyki. Przykładowa karta
kontrolna, słuca do kontroli wartoci redniej procesu (tzw. poziomu procesu) z wykorzystaniem
wartoci redniej z próbki, przedstawiona jest na rysunku 1. Sposób konstrukcji kart kontrolnych
opisano m.in. w ksikach Thompsona, Koronackiego i Nieckuły [4] oraz Hryniewicza [1].
Podstawowym sygnałem alarmowym, wiadczcym o prawdopodobnym wystpieniu rozregulowania procesu, jest pojawienie si wyniku pomiaru poza liniami kontrolnymi. Sytuacje takie
zaznaczone s na rysunku 1 znakiem „+”. Sygnał tego rodzaju jest szczególnie przydatny do sygnalizacji rozregulowania polegajcego na jednorazowym przesuniciu si poziomu procesu w
stosunku do linii centralnej. Szybkie wykrycie rozregulowania warunkowane jest jednak jego
wielkoci. Powinno ono by wiksze od dwu odchyle
standardowych zaznaczanej na karcie
statystycznej charakterystyki procesu. W przypadku stosunkowo małych rozregulowa
, oczekiwa-
64
Olgierd Hryniewicz, Anna Szediw
Nieparametryczne metody statystycznego sterowania procesami (SPC)
ny czas do ich wykrycia moe by niedopuszczalnie duy. W takich przypadkach naley stosowa
pomiary próbek o wikszej licznoci, lub te inne karty kontrolne, takie jak karty sum skumulowanych (CUSUM), karty redniej ruchomej (MA) lub karty wykładniczo waonej redniej ruchomej (EWMA). Opis tych kart kontrolnych mona znale we wspomnianych ju ksikach [1] i
[4]. Sterowanie procesem w przypadku wystpowania jego stosunkowo niewielkich rozregulowa
równie komplikuje fakt, e w powszechnie stosowanych pakietach statystycznych, takich jak
STATISTICA, SPSS oraz SAS, domyln opcj jest przeliczanie granic kontrolnych karty po
pojawieniu si kadego nowego wyniku pomiaru. W tej sytuacji wyznaczana przez program komputerowy karta kontrolna „adaptuje si” do zmienionego poziomu procesu, uniemoliwiajc łatwe
wykrycie jego rozregulowania. Podobny efekt moemy zauway, gdy parametry procesu wolno
zmieniaj si w czasie, czyli gdy wystpuje efekt tzw. „płynicia parametrów”.
+
G ó rn a z ew n trz n a
x -
lin ia k o n tro ln a
*
*
*
*
*
*
L in ia cen traln a
*
*
*
+
*
D o ln a z ew n trz n a
lin ia k o n tro ln a
N r p ró b k i
Rys.1. Karta kontrolna X-rednia do kontroli poziomu procesu
W celu umoliwienia szybszego wykrycia wspomnianych powyej typowych, a take innych,
nietypowych (tzn. nie polegajcych na jednorazowym „załamaniu si” kontrolowanego procesu)
rozregulowa
, w latach pidziesitych zeszłego stulecia zaproponowano zestaw testów pomocniczych, znanych powszechnie jako metoda Western Electric. W jednym z testów tej metody sygnał
alarmowy pojawia si w przypadku gdy sze kolejnych wyników pomiarów układa si albo
w trendzie rosncym, albo w trendzie majcym. Mówimy w takim przypadku o wystpieniu sekwencyjnego sygnału alarmowego. Sytuacja ta jest przedstawiona na rysunku 2, gdzie moment
pojawienia si sygnału alarmowego zaznaczono znakiem „+”.
Przedstawiona powyej metoda wykrywania rozregulowania procesu, a take inne testy metody Western Electric, które opisane s m.in. w ksice Hryniewicza [1], s bardzo przydatne
w wykrywaniu rozregulowa
procesu o szczególnej postaci. Ich wielk zalet jest niezwykła
wprost prostota, która moe jednak ogranicza efektywno testów w przypadku bardziej skomplikowanych typów rozregulowania procesu. W niniejszej pracy zaproponowano oryginalne zastosowanie znanej od wielu lat statystyki Kendalla do analizy sekwencji pomiarów prezentowanych
na karcie kontrolnej. W zastosowaniu tym przyjto załoenie, e dla procesu znajdujcego si
w stanie statystycznego uregulowania (tzn. w procesie stabilnym) kolejne jego pomiary powinny
by wzajemnie niezalene o stałej wartoci oczekiwanej i wariancji. Wobec tego, pojawienie si
pewnych zalenoci powinno wiadczy o moliwoci rozregulowania procesu.
POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ
Seria: Studia i Materiały, nr 8, 2007
_
x
65
Górna zewntrzna
*
*
+
*
*
*
A
*
*
*
*
*
linia kontrolna
B
*
C
*
Linia centralna
+
C
B
A
Dolna zewntrzna
linia kontrolna
Rys.2. Karta kontrolna z zaznaczonym sekwencyjnym sygnałem alarmowym
Opis zaproponowanej metody przedstawiono w punkcie drugim niniejszej pracy, zwracajc
szczególn uwag na jej własnoci statystyczne w przypadku kontroli procesów ustabilizowanych.
Ciekawsz rzecz jest jednak przeanalizowanie własnoci tej metody w przypadku wystpowania
okrelonych typów rozregulowa
. W punkcie trzecim pracy przedstawiono model procesu, w
którym wiadczce o jego rozregulowaniu zalenoci opisane s rodzin dwuwymiarowych rozkładów prawdopodobie
stwa. Rozpatrzono dwa przypadki: dwuwymiarowego rozkładu normalnego oraz dwuwymiarowego rozkładu prawdopodobie
stwa opisanego kopuł Farliego - Gumbela – Morgensterna. Dla obu rozpatrywanych przypadków przeanalizowano metodami symulacji
komputerowej własnoci zaproponowanej procedury. Wyniki tej analizy, a w tym porównanie
własnoci nowej procedury z własnociami wspomnianego powyej klasycznego testu metody
Western Electric, przedstawiono w punkcie pitym niniejszej pracy. W zako
czeniu przedstawione zostały podsumowujce prac wnioski, a take wskazano na kierunki dalszych bada
.
2. Wykorzystanie testu niezalenoci Kendalla do wykrywania rozregulowa procesu
Wystpowanie zalenoci pomidzy kolejnymi obserwacjami zaznaczanymi na karcie kontrolnej procesu moe wskazywa na jego rozregulowanie. Naley tu jednak podkreli, e nie kady
rodzaj takiej zalenoci naley traktowa jako niekorzystny. W naszej analizie ograniczymy si
wyłcznie do przypadku, gdy kontrolowana cecha jakociowa procesu powinna przyjmowa wartoci znajdujce si wewntrz dwustronnych granic tolerancji [L,U]. W takim przypadku rozregulowanie procesu przejawia si w pojawieniu si tendencji do pojawiania si zarówno obserwacji o
wartociach zbyt duych, jak te i o wartociach zbyt małych. Łatwo zauway, e z takim przypadkiem bdziemy mieli do czynienia w przypadku wystpowania dodatniej zalenoci stochastycznej pomidzy kolejnymi wartociami opisujcej kontrolowany proces cechy jakociowej.
Wynika to z tego, e w przypadku wystpowania zalenoci typu dodatniego duym wartociom
kontrolowanej cechy w danych momentach czasowych towarzysz due wartoci w kolejnych
momentach czasowych. Symetrycznie, w przypadku wystpowania dodatniej zalenoci stochastycznej, małym wartociom kontrolowanej cechy w danych momentach czasowych towarzysz
małe w kolejnych momentach czasowych. W rezultacie zwiksza si całkowita zmienno procesu
przejawiajca si powstawaniem niekorzystnych trendów (rosncych lub malejcych), co w przypadku procesów, dla których okrelono dwustronne granice tolerancji jest zjawiskiem zdecydowa-
66
nie negatywnym. Z kolei, wystpowanie ujemnej zalenoci stochastycznej pomidzy kolejnymi
obserwacjami kontrolowanej cechy jest zjawiskiem podanym. W takim przypadku mamy do
czynienia ze zmniejszeniem zmiennoci procesu przejawiajcym si znaczcym zmniejszeniem
szans wystpienia niekorzystnych trendów.
Z powyszych rozwaa
wynika, e celowym jest kontrolowanie procesu z wykorzystaniem
takich narzdzi statystycznych, które umoliwiaj wykrycie niekorzystnych trendów bdcych
konsekwencj wystpowania dodatnich zalenoci stochastycznych pomidzy kolejnymi wartociami opisujcymi dany proces cech. Wspomniana we Wprowadzeniu reguła Western Electric
„szeciu kolejnych rosncych (malejcych)” jest najprostszym przykładem takiego narzdzia.
Poniej zaproponujemy narzdzie bardziej skomplikowane, bdce uogólnieniem metody „szeciu
kolejnych rosncych (malejcych)”, które powinno by bardziej efektywne w wykrywaniu wystpowania w procesie niekorzystnych dodatnich zalenoci stochastycznych.
Niech Z1 , Z 2 , , Z n oznacza losow próbk składajc si z n kolejnych obserwacji kontrolowanego procesu. Wprowadmy teraz składajc si z n-1 elementów dwuwymiarow próbk
losow ( X i , Yi ), i = 1, , n − 1 o elementach zdefiniowanych w nastpujcy sposób:
X i = Z i , i = 1, , n − 1 oraz Yi = Z i +1 , i = 1, , n − 1 . Do opisu wzajemnej zalenoci zmiennych
losowych X oraz Y wykorzystamy znan statystyk -Kendalla o postaci
τ=
gdzie
4
n −1
n −1
¦ V − 1.
i
(1)
i =1
{(
)
Vi = card X j , Y j : X j < X i , Y j < Yi
} (n − 2), i = 1,, n − 1 .
(2)
Rozkład prawdopodobie
stwa statystyki τ jest znany dla przypadku wzajemnie niezalenych
par obserwacji ( X i , Yi ), i = 1, , n − 1 . Niestety, w rozpatrywanym przez nas przypadku załoenie
to nie jest spełnione, nawet wtedy, gdy oryginalne obserwacje Z1 , Z 2 , , Z n s wzajemnie niezalene. Na szczcie, dla niewielkich wartoci n oraz wzajemnej niezalenoci obserwacji
Z1 , Z 2 , , Z n moliwe jest proste wyznaczenie prawdopodobie
stw zaobserwowania skrajnych
wartoci statystyki τ . Na przykład, w przypadku gdy mamy do czynienia z n kolejno rosncymi
(malejcymi) wartociami obserwowanej cechy statystycznej statystyka τ przyjmuje zawsze warto równ 1, a prawdopodobie
stwo zaobserwowania tej wartoci wynosi 2/n!. W Tabeli 1 dla
wybranych wartoci n przedstawiono prawdopodobie
stwa zaobserwowania wartoci τ ≥ τ kryt
gdy kolejne obserwacje Z1 , Z 2 , , Z n s wzajemnie niezalene.
67
Ta b e la 1 . Wartoci krytyczne statystyki
n=6
(
τ kryt
P τ ≥ τ kryt
1
0,8
0,6
0,00267
0,00834
0,03056
)
n=7
(
τ kryt
P τ ≥ τ kryt
1
0,866
0,733
0,600
0,00042
0,00119
0,00477
0,01356
)
n=8
(
τ kryt
P τ ≥ τ kryt
1
0,904
0,809
0,714
0,619
)
n=9
(
τ kryt
P τ ≥ τ kryt
0,00006
0,00014
0,00069
0,00178
1
0,857
0,785
0,714
0,00001
0,00007
0,00021
0,00071
0,00565
0,642
0,571
0,00185
0,00514
)
ródło: opracowanie własne autorów
W przypadku wikszych wartoci licznoci próbki n wartoci krytyczne statystyki τ , wraz
z odpowiednimi prawdopodobie
stwami zaobserwowania wartoci τ ≥ τ kryt mona wyznaczy
metodami symulacyjnymi.
Rozpatrzmy teraz moliwo wykorzystania wprowadzonej powyej statystyki τ do weryfikacji hipotezy o wzajemnej niezalenoci kolejnych obserwacji procesu. Jak łatwo zauway,
zaobserwowanie duej wartoci statystyki τ jest w takim przypadku bardzo mało prawdopodobne
i moe wiadczy o wystpowaniu dodatniej zalenoci pomidzy kolejnymi obserwacjami. Do
wyboru parametrów testu n, τ kryt bdziemy wykorzystywa wan z praktycznego punktu wi-
(
)
dzenia charakterystyk, jak jest oczekiwana liczba pomiarów (ARL) do pojawienia si takiej
sekwencji obserwacji, dla których spełniona bdzie nierówno τ ≥ τ kryt . W przypadku niezalenoci kolejnych obserwacji pojawienie si takiej sekwencji bdzie fałszywym alarmem sugerujcym rozregulowanie procesu. Niestety, wyznaczenie wartoci ARL w sposób analityczny jest
niezwykle trudne ze wzgldu na wzajemn zaleno kolejnych wartoci statystyki τ . W rezultacie wartoci tej charakterystyki daj si wyznaczy wyłcznie metodami symulacyjnymi. W Tabeli
2 przedstawiono tak wyznaczone wartoci ARL dla testów n, τ kryt podanych w Tabeli 1.
(
)
Wspomniana poprzednio reguła „szeciu kolejnych rosncych (malejcych)” metody Western
Electric została wybrana w ten sposób by prawdopodobie
stwo wygenerowania fałszywego alarmu było zblione do prawdopodobie
stwa wygenerowania fałszywego alarmu przez klasyczn
kart kontroln Shewharta. Z Tablicy 1 mona odczyta, e prawdopodobie
stwo wystpienia
takiego fałszywego alarmu (odpowiadajcego zaobserwowaniu wartoci τ = 1 dla n=6) wynosi
0,0027, a odpowiednia warto ARL wynosi 422. Dla podanych w powyszych tabelach wikszych wartoci licznoci próbki n nie wystpuj testy o zblionych wartociach tego prawdopodobie
stwa. Mamy wic testy albo o wartoci ARL zdecydowanie wikszej, albo te wyranie
mniejszej. Due wartoci ARL s oczywicie korzystniejsze, ale testy o takich własnociach maj
jednoczenie due wartoci oczekiwanego czasu do wykrycia prawdziwych alarmów, co jest własnoci zdecydowania niekorzystn. W tej sytuacji wybór odpowiedniego testu, którego zadaniem
bdzie wykrycie wystpowania dodatniej zalenoci pomidzy obserwacjami procesu, proponujemy ograniczy do zbioru {(n=6, τ kryt =1), (n=7, τ kryt =0,733), (n=8, τ kryt =0,619), (n=9,
68
τ kryt =0,571)}. Własnoci tych testów w przypadku wystpowania zalenoci rónego rodzaju
porównamy w punkcie 4 niniejszej pracy.
Ta b e la 2 . Wartoci ARL dla niezalenych obserwacji
n=6
n=7
n=8
n=9
τ kryt
ARL
τ kryt
ARL
τ kryt
ARL
τ kryt
ARL
1
0,8
0,6
422,0
151,4
47,5
1
0,866
0,733
0,600
2885,8
1013,5
270,6
106,5
1
0,904
0,809
0,714
0,619
22586
7799
1891,2s
705,9
246,0
1
0,857
0,785
0,714
0,642
0,571
>150000
15395
5618
1784,7
724,9
291,4
3. Modelowanie procesów z wykorzystaniem dwuwymiarowego rozkładu normalnego oraz
kopuły Farliego – Gumbela – Morgensterna
W poprzednim punkcie niniejszej pracy przeanalizowalimy najwaniejsze własnoci wybranych testów wykorzystywanych w zaproponowanej przez nas procedurze badania niezalenoci
kolejnych obserwacji procesu. Z praktycznego punktu widzenia równie wane s własnoci proponowanej procedury w przypadku gdy midzy kolejnymi obserwacjami procesu wystpuje zaleno okrelonego rodzaju. W niniejszym punkcie zdefiniujemy dwa typy takiej zalenoci, dla
których własnoci proponowanej procedury bd analizowane w nastpnym punkcie pracy.
Najczciej spotykanym w praktyce wielowymiarowym rozkładem prawdopodobie
stwa jest
wielowymiarowy rozkład normalny. Oznaczmy przez X oraz Y zmienne losowe opisujce dwa
kolejne pomiary cechy kontrolowanego procesu. W celu modelowania zalenoci stochastycznej
pomidzy tymi pomiarami przyjmijmy, e rozkład łczny wektora losowego (X,Y) jest dwuwymiarowym rozkładem normalnym o funkcji gstoci
1
f ( x, y ) =
exp(− Q )
(3)
2πσ X σ Y 1 − ρ 2
gdzie
2

1 ° ( x − mX )
( x − m X )( y − mY ) ( y − mY ) 2 ½°
Q=
− 2ρ
+
(4)
¾
2 ®
2
σ XσY
°¿
1 − ρ °̄ σ X
σ Y2
za parametr jest współczynnikiem korelacji, przyjmujcym warto równ zeru w przypadku
wystpowania niezalenoci zmiennych losowych X oraz Y.
Warunkowy rozkład prawdopodobie
stwa zmiennej losowej Y pod warunkiem X = x jest
rozkładem normalnym o wartoci oczekiwanej mY + ρ (σ X σ Y )(x − m X ) i odchyleniu standardowym σ Y 1 − ρ 2
(patrz np. [2]). W szczególnym przypadku gdy m X = mY = 0
oraz
σ X = σ Y = 1 rozkład ten jest rozkładem normalnym o wartoci oczekiwanej xρ i odchyleniu
standardowym
69
1 − ρ 2 . Godnym uwagi jest, e powyej opisany model zalenoci wystpujcej
pomidzy kolejnymi obserwacjami kontrolowanego procesu jest tzw. modelem autoregresyjnym.
W bardziej ogólnym przypadku wektor losowy (X,Y) moe by opisany dowolnym dwuwymiarowym rozkładem prawdopodobie
stwa. W niniejszej pracy ograniczymy si jednak do specyficznej rodziny dwuwymiarowych rozkładów prawdopodobie
stwa opisanych tzw. kopuł Farliego – Gumbela – Morgensterna (FGM). Dwuwymiarowa dystrybuanta rozkładu prawdopodobie
stwa opisanego kopuł FGM ma posta [3]:
F12 ( x , y ) = F1 ( x )F2 ( y )[1 + α (1 − F1 ( x ))(1 − F2 ( y ))]
(5)
gdzie F1 (x ) jest dowolnym brzegowym rozkładem prawdopodobie
stwa cigłej zmiennej losowej
X, a F2 ( y ) jest dowolnym brzegowym rozkładem prawdopodobie
stwa cigłej zmiennej losowej
Y. Dystrybuanta rozkładu warunkowego zmiennej losowej Y pod warunkiem X = x jest dana
wzorem [3]:
FY | x ( y | x) = F2 ( y ) − α (2 F1 ( x) − 1)F2 ( y )(1 − F2 ( y ) )
(6)
Wystpujcy we wzorach (5) – (6) parametr wskazuje na sił i kierunek zalenoci.
W przypadku, gdy zmienne X oraz Y s wzajemnie niezalene zachodzi równo α = 0 . Dodatnie
wartoci parametru wskazuj na wystpowanie dodatniej zalenoci stochastycznej pomidzy X
oraz Y, za ujemne wartoci parametru wskazuj na wystpowanie zalenoci ujemnej.
4. Badanie efektywnoci zaproponowanej metody
W celu zbadania efektywnoci proponowanej metody wykrywania zalenoci pomidzy kolejnymi obserwacjami kontrolowanego procesu przeprowadzono eksperymenty symulacyjne.
W przypadku, gdy zaleno opisana jest dwuwymiarowym rozkładem normalnym zastosowan
miar efektywnoci procedury jest oczekiwana liczba pomiarów do momentu wystpienia sygnału
alarmowego, tzn. oczekiwana liczba pomiarów (ARL) potrzebnych do wykrycia rozregulowania,
gdy ono istnieje lub oczekiwana liczba pomiarów do wystpienia fałszywego alarmu, gdy kolejne
obserwacje s wzajemnie niezalene. W Tabeli 3 przedstawiono wyniki eksperymentu dla wybranych procedur testowych i rónych wartoci współczynnika korelacji .
Ta b e la 3 . Oczekiwana liczba pomiarów do wystpienia sygnału alarmowego
n:
τ kryt :
-0,5
-0,3
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,3
0,5
6
1.
7
0,733
8
0,619
9
0,571
ARL
1599,6
928,8
546,7
478,3
422,0
369,6
323,0
187,8
108,1
ARL
1416,1
722,7
374,2
318,0
270,6
231,2
198,0
107,0
59,6
ARL
1697,7
775,3
362,9
302,5
246,0
205,8
172,3
87,4
47,8
ARL
2699,3
1083,8
455,5
368,0
298,4
235,6
192,2
87,0
45,9
ródło: opracowanie własne
70
Z analizy wyników przedstawionych w Tabeli 3 wynika niezbicie, e zaproponowana procedura testowa właciwie reaguje na wystpowanie zalenoci pomidzy kolejnymi pomiarami procesu. W przypadku wystpowania zalenoci dodatniej, wiadczcej o moliwym rozregulowaniu
procesu, oczekiwana liczba pomiarów potrzebnych do wykrycia takiej sytuacji szybko maleje
wraz ze wzrostem siły takiej zalenoci. Z kolei, w przypadku wystpowania stabilizujcej proces
zalenoci ujemnej oczekiwana liczba pomiarów do momentu wystpienia fałszywego alarmu
o rozregulowaniu procesu szybko ronie wraz ze wzrostem (co do wartoci bezwzgldnej) siły
zalenoci ujemnej. W obu przypadkach tempo zmian ronie wraz ze wzrostem liczby kolejnych
analizowanych pomiarów (tzn. licznoci próbki n).
W przypadku zalenoci opisywanej kopuł FGM dla normalnych rozkładów brzegowych porównywano prawdopodobie
stwa wystpienia alarmu. Wyniki bada
symulacyjnych przedstawiono w Tabeli 4. Równie i w tym przypadku zachowanie si zaproponowanej procedury testowej
jest zgodne z oczekiwaniami. Podobnie jak w przypadku omawianym powyej, gdy wystpuje
zaleno dodatnia, oczekiwana liczba pomiarów potrzebnych do wykrycia rozregulowania szybko maleje wraz ze wzrostem siły takiej zalenoci. Z kolei, w przypadku wystpowania zalenoci
ujemnej oczekiwana liczba pomiarów do momentu wystpienia fałszywego alarmu o rozregulowaniu procesu szybko ronie wraz ze wzrostem (co do wartoci bezwzgldnej) siły zalenoci
ujemnej. W obu przypadkach tempo zmian ronie wraz ze wzrostem liczby kolejnych analizowanych pomiarów (tzn. licznoci próbki n).
Ta b e la 4 . Prawdopodobiestwo wystpienia sygnału alarmowego
τ kryt :
n:
6
1.
P τ ≥ τ kryt
-1,0
-0,75
-0,5
-0,25
0
0,25
0,5
0,75
1,0
0,00084
0,00110
0,00160
0,00219
0,00251
0,00351
0,00492
0,00593
0,00713
(
7
0,733
)
(
P τ ≥ τ kryt
0,00096
0,00147
0,00224
0,00341
0,00479
0,00656
0,00855
0,01155
0,01445
8
0,619
)
(
P τ ≥ τ kryt
)
0,00094
0,00170
0,00242
0,00409
0,00558
0,00904
0,01059
0,01528
0,02080
5. Podsumowanie
Zaproponowana w niniejszej pracy procedura statystyczna słuca do wykrywania rozregulowa
procesów jest naturalnym uogólnieniem znanej od lat reguły „szeciu kolejnych rosncych
(malejcych)”. Pozwala ona wykrywa rozregulowania bdce konsekwencj wystpowania dodatniej zalenoci stochastycznej pomidzy wartociami kontrolowanej cechy statystycznej rozpatrywanego procesu. Z praktycznego punktu widzenia najkorzystniej jest stosowa procedury, których własnoci przedstawiono w Tabeli 3. Na szczególn uwag zasługuje tu test wykorzystujcy
n=7 kolejnych pomiarów procesu. Okazuje si, e w przypadku przyjcia wartoci krytycznej
71
statystyki Kendalla równej 0,733 obserwowane sekwencje pomiarów, które generuj sygnały
alarmowe maj posta analogiczn do przebiegów przedstawionych na Rysunku 3
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Rys.3. Przykładowe sekwencje obserwacji bdce sygnałami alarmowymi
Ogólnie rzecz ujmujc, sygnał alarmowy generowany jest wtedy, gdy w przypadku siedmiu
kolejnych rosncych (malejcych) obserwacji dopuszcza si jedn „zamian miejsc” dwu ssiadujcych obserwacji. Jak łatwo zauway, do wykrycia tego typu sygnału alarmowego na karcie
kontrolnej nie jest konieczne wyliczanie statystyki τ Kendalla, co znacznie upraszcza proces podejmowania decyzji.
Niniejsza praca dotyczy istotnego problemu statystycznego sterowania procesami, jakim jest
niewtpliwie poszukiwanie procedury mogcej by wykorzystan w sposób efektywny w przypadku rozregulowa
majcych charakter losowych, czsto niewielkich, zmian charakterystyk
kontrolowanego procesu. Dotyczy to zwłaszcza przypadku, gdy charakterystyki te nie s opisane
rozkładem normalnym. W dalszych badaniach nad tym zagadnieniem nie mona ograniczy si
do modeli zalenoci opisanych w niniejszej pracy i naley take wykorzysta modele matematyczne innych kopuł.
Bibliografia
1.
O. Hryniewicz, Nowoczesne metody statystycznego sterowania jakoci, Omnitech Press,
Warszawa, 1996.
2. O.Hryniewicz, Wykłady ze statystyki dla studentów informatycznych technik zarzdzania.
Wydawnictwo Wyszej Szkoły Informatyki Stosowanej i Zarzdzania, Warszawa 2004.
3. N.L.Johnson, S. Kotz, On some generalized Farlie-Gumbel-Morgenstern distributions – II
regression, correlation and further generalizations, Commun. Statist. Vol.6 (1977), 485-496.
4. J. R. Thompson, J. Koronacki, J. Nieckuła, Techniki zarzdzania jakoci od Shewharta do
metody „Six Sigma”. Akademicka Oficyna Wydawnicza Elit, Warszawa 2005.
72
NONPARAMETRIC METHODS OF STATISTICAL PROCESS CONTROL (SPC)
Summary
The aim of statistical process control (SPC) is to reveal possible disorders of the
process with the subsequent goal to find and eliminate their possible causes, and
thus to improve quality. To achieve this goal simple statistical methods, including
popular control charts, have been used for the last several dozen years. Original
application of a nonparametric statistical method – Kendall’s test of independence –
to detect the disorders of the process has been proposed. Properties of this
procedure have been investigated for the cases where process disorders are
manifested by the existence of positive dependence between consecutive observations
of the process governed by the two-dimensional normal distribution and the Farlie –
Gumbel – Morgenstern copula.
Keywords: statistical process controlling (SPC), Kendall test, detection of irregularities
OLGIERD HRYNIEWICZ
e-mail: [email protected]
ANNA SZEDIW
e-mail: [email protected]
Instytut Bada
Systemowych PAN
ul. Newelska 6, 01-447 Warszawa