uniwersytet wrocławski

UNIWERSYTET WROCŁAWSKI
Instytut Matematyczny
Pl. Grunwaldzki 2/4
50-384 Wrocław
Prof. Ryszard Szekli
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA A, LISTA ZADAŃ 5/2014 .
UWAGA: zadania oznaczone (+) mogą być punktowane na ćwiczeniach (po zrobieniu przy
tablicy). Pozostałe zadania są obowiązkowe do samodzielnego rozwiązania. Nieznajomość
rozwiązania generuje punkty ujemne.
Ciągi zdarzeń i zmiennych losowych:
1. (+) Przeprowadź konstrukcje, ciagu
nieskończonego zmiennych losowych przyjmują,
cych wartości 0 lub 1, o rozkładach P (Xi = 1) = p = 1 − P (Xi = 0), dla dowolnego
p ∈ (0, 1), takich, że X1 , . . . , Xk są niezależne dla dowolnego k ­ 2. (JakubowskiSztencel, str.50)
2. Niech X1 , X2 , . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych przyjmujących
wartości 0 lub 1, o rozkładach P (Xi = 1) = p = 1 − P (Xi = 0), dla dowolnego
p ∈ (0, 1) (tak jak w poprzednim zadaniu). Niech N = min{n ∈ N+ : Xn = 1}.
Pokaż, że P (N = n) = p(1 − p)n−1 dla n = 1, 2, 3, . . . i że jest to właściwy rozkład
na liczbach naturalnych.
3. Dla N z poprzedniego zadania pokaż, że P (N > n) = (1 − p)n .
4. Dla N z poprzedniego zadania pokaż, że
F −1 (r) =
⌈
⌉
ln(1 − r)
,
ln(1 − p)
r ∈ (0, 1)
gdzie F −1 (r) = min{n ∈ N+ : F (n) ­ r} jest tak zwaną funkcją kwantylową.
5. Dla dowolnej zmiennej losowej T o wartościach 1, 2, 3, . . . określamy funkcję hazardową przez
P (T = n)
h(n) = P (T = n | T ­ n) =
, n ∈ N+ .
P (T ­ n)
Wylicz funkcję hazardową dla zmiennej N z poprzedniego zadania.
6. Dla N z zad. 2, wylicz rozkład P (N = k|X1 + · · · + Xn = 1), k = 1, . . . , n.
7. Niech X1 , X2 , . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych przyjmujących
wartości 0 lub 1, o rozkładach P (Xi = 1) = p = 1 − P (Xi = 0), dla dowolnego
p ∈ (0, 1). Niech Yn = X1 + · · · + Xn oraz
Vk = min{n ∈ N+ : Yn = k}.
Policz rozkład zmiennej V1 i V2 .
8. (+) Niech U1 = V1 oraz Uk = Vk − Vk−1 k = 2, 3, . . .. Pokaż, ze U1 , U2 , . . . są
niezależne i mają rozkład geometryczny na 1, 2, . . ..
9. (+) Rzucamy symetryczną monetą. Ustalmy dowolny ustalony ciąg wyników o ustalonej długości r (dowolnie dużej). Pokaż, że z prawdopodobieństwem 1 tak ustalony
układ pojawi się w trakcie powtarzanych rzutów.
10. (+) Zakładajac,
nastepny
deszczowy z prawdopo, że po dniu deszczowym nastepuje
,
,
dobieństwem 1/2, ale po słonecznym nastepuje
słoneczny
z
prawdopodonieństwem
,
2/3, jaka jest czestotliwość
dni
słonecznych
w
tym
mało
wyszukanym
modelu zmian
,
pogody?
• Zbuduj przestrzeń probabilistyczną opisującą ten model pogody i zmienne losowe
na tej przestrzeni opisujace stan pogody w kolejnych dniach, w skończonym horyzoncie czasowym n.
• Co można powiedzieć o prawdopodobieństwie, że w n-tym dniu jest dzień słoneczny?
• Czy można przybliżyć to prawdopodobieństwo dla dużych wartości n?
• Jak wyniki poprzednich poleceń zależą od stanu pogody w pierwszym dniu? Czy
można przyjąć, że pogoda w pierwszym dniu też jest zmienną losową?
Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona:
11. (+) W pewnej loterii wybiera sie, losowo liczbe, całkowita, miedzy
0 i 999. Gramy w
,
tej loterii 250 razy. Użyj przybliżenia Poissona do przybliżenia prawdopodobieństwa,
że ani razu nie wygramy i porównaj wynik z dokładna, odpowiedzia.,
12. (+) Firma ubezpieczeniowa ubezpiecza 3000 osób, z których każda ma 1/1000 szanse,
wypadku w danym roku. Użyj przybliżenia Poissona do oszacowania prawdopodobieństwa, że bed
, a, co najwyżej 2 wypadki.
Odstępy w procesie awarii
13. (+) Powtarzamy eksperyment o prawdopodobieństwie sukcesu p. Niech N oznacza
liczbe, porażek poprzedzajacych
pierwszy sukces. Pokaż własność braku pamięci tego
,
rozkładu tzn., że
P (N > m + n | N > m) = P (N > n)
dla m, n ­ 0.
14. (+) Rozważmy następujący proces awarii: w kolejnych chwilach 0, 1, 2, . . . sprawdzamy, czy pracujący element uległ awarii. Szansa na to, że w chwili sprawdzenia
stwierdzimy awarię wynosi p = 1/n, dla ustalonego n. Oznaczamy kolejne chwile,
gdy stwierdzona jest awaria przez 1, otrzymując ciąg zer i jedynek na osi liczb naturalnych. Przyjmujemy, że w zerze zaczynamy od 1. Niech D1 oznacza liczbę zer
poprzedzających nastepną jedynkę po chwili zero.
• Jaki ma rozkład zmienna D1 ?
• Niech X = D1 + 1. Oblicz P (X/n > a), dla ustalonego a > 0. Znajdź granice,
, przy
n → ∞, tej wartości.
• Jak można zinterpretować ten wynik w języku czasu do awarii?