Zadania z kombinatoryki, lista nr 7

6 grudnia 2016
Zadania z kombinatoryki, lista nr 7
1. Pokaż, że splot Dirichleta dwóch funkcji multiplikatywnych jest funkcją multiplikatywną.
2. Pokaż, że dla dowolnego posetu
(a)
(b)
(c)
(d)
µ(x, x) = 1
jeśli y jest bezpośrednim następnikiem y, to µ(x, y) = −1
ζ 2 (x, y) = |[x, y]|
(2δ − ζ)−1 (x, y) istnieje i jest równe liczbie łańcuchów o początku w x i końcu w y.
3. Pokaż, że algebra incydencji ze splotem jest przemienna wtedy i tylko wtedy gdy P jest antyłańcuchem
(tzn. nie zawiera żadnych relacji).
4. Pokaż, że dla ciągów an , bn
X n
X
n
(a) bn =
ak ⇔ an =
(−1)n−k
bk
k
k
k
k
X n
X
n−k n
(b) bn =
ak ⇔ an =
(−1)
bk
k
k
k
k
5. Niech snm będzie liczbą funkcji z {1, . . . , n} na {1, . . . , m}.
(a) Pokaż, że
mn =
X m
k
k
snk
(b) Wykorzystując poprzednie zadanie znajdź jawny wzór na snm
6. Liczbę Laha definiujemy następująco:
n
L(k, n) = (−1)
k! k
n n!
Pokaż, że w (N ∪ {0}, ≤) mamy L−1 (k, n) = L(k, n).
7. (Uogólniona zasada włączania – wyłączania) Pokaż, że
n
X
n
m
1
(−1)m−k
=
0
m
k
m=k
gdy k = n
gdy k < n.
Niech F będzie rodziną zbiorów, a vk liczbą elementów należących do dokładnie k zbiorów z F. Niech
\ X
u0 = |Ω|, ui =
A .
A⊆F :|A|=i A∈A
X
m−k m
Pokaż, że: vk =
(−1)
um .
k
m≥k
Zinterpretuj wzór na v0 jako standardową zasadę włączania – wyłączania.
m
X
0 dla parzystego m
k−1 m
8. Pokaż, że:
(−2)
=
1 dla nieparzystego m.
k
k=1
X
Następnie udowodnij wzór: |A1 ÷ A2 ÷ · · · ÷ An | =
(−2)k−1 uk ,
k>0
gdzie A ÷ B oznacza różnicę symetryczną, a uk jest oznaczeniem z poprzedniego zadania.
9. Niech π(n) oznacza ilość liczb pierwszych p niewiększych od n. Niech µ(d) oznacza µ(1, d) w kracie (N, |).
Wykaż, że
X n
X n
X n √
(a) π(n) − π( n) = n − 1 −
+
−
+ ···.
p
pq
pqr
√
√
√
p≤ n
(b) 0 = −1 +
n
X
d=1
µ(d)
jnk
d
.
p,q≤ n
p,q,r≤ n