Algebra M3. Lista nr 2. Zadanie 16. Pokazać, że jeśli ∀a ∈ G a 2

Algebra M3. Lista nr 2.
Zadanie 16. Pokazać, że jeśli ∀a ∈ G a2 = e, to G jest grupą abelową.
Zadanie 17. Pokazać, że jeśli (G1 , ·), (G2 , ◦) są grupami, to G1 × G2 z działaniem
(a1 , b1 ) ⊗ (a2 , b2 ) = (a1 · a2 , b1 ◦ b2 ) też jest grupą (zwaną sumą prostą grup G1 i G2 i
oznaczaną symbolem G1 ⊕ G2 ).
Zadanie 18. Pokazać, że jeśli G jest grupą, to zbiór Z(G) = {a ∈ G : ∀g ∈ G ag = ga}
jest podgrupą grupy G (zwaną centrum grupy G).
Zadanie 19. Wyznaczyć centrum grupy izometrii własnych trójkąta równobocznego.
Zadanie 20. Pokazać, że centrum sumy prostej grup G1 i G2 jest równe sumie prostej
centrów tych grup.
Zadanie 21. Dla podzbiorów A, B grupy G określamy AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B} . Pokazać,
że jeśli H1 , H2 < G, to H1 H2 jest podgrupą grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy H1 H2 = H2 H1 .
Zadanie 22. Pokazać, że każda podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna.
Zadanie 23. Znaleźć wszystkie podgrupy grupy (Z, +).
Zadanie 24. Suma prosta Zm ⊕ Zn jest cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy m, n są liczbami
względnie pierwszymi.
Zadanie 25. Niech G będzie grupą izometrii własnych trójkąta równobocznego, zaś H jej
dwuelementową podgrupą. Wyznaczyć zbiór warstw lewo- i prawostronnych podgrupy H w
G.
Zadanie 26. Pokazać, że jeśli rząd grupy (skończonej) G jest liczbą pierwszą, to grupa ta
jest cykliczna. Czy tw. odwrotne jest prawdziwe?
Zadanie 27. Pokazać, że jeśli p jest liczbą pierwszą, to każde dwie grupy rzędu p są izomorficzne. Czy wszystkie grupy rzędu 4 są izomorficzne?
Zadanie 28. Wyznaczyć (z dokładnością do izomorfizmu) wszystkie grupy rzędu 6.
Wsk. Jeśli grupa rzędu 6 nie jest cykliczna, to zawiera element rzędu 2 i element rzędu
3.
Zadanie 29. Pokazać, że A4 nie zawiera podgrupy rzędu 6.
Wsk. Znaleźć wszystkie elementy rzędu 2 w A4 .
Zadanie 30. Pokazać, że jeśli G jest grupą skończoną, A, B ⊂ G oraz AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B},
to |AB| ≥ max(|A| , |B|).
Zadanie 31. Pokazać, że grupa różna od jednoelementowej nie zawiera podgrup właściwych
(różnych od jednoelementowej i samej siebie) wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończona i jej
rząd jest liczbą pierwszą.
Wsk. Wybrać dowolny element i przyjrzeć sie jego rzędowi.
Zadanie 32. Pokazać, że jeśli indeks podgrupy H w grupie G jest równy 2, to H C G.
Wniosek: An C Sn dla każdego n ∈ N .
Zadanie 33. Dla podgrupy H danej grupy G określamy normalizator H jako zbiór NH =
{x ∈ G : xHx−1 = H} Pokazać, że NH < G oraz H C NH . Jeśli G jest grupą skończoną,
to (G : NH ) jest ilością wszystkich podgrup sprzężonych z H.
Zadanie 34. Pokazać, że jeśli rząd grupy G jest iloczynem dwóch liczb pierwszych, to jej
każde dwie różne podgrupy właściwe mają dokładnie jeden wspólny element.
Zadanie 35. Pokazać, że jeśli n = pq i p, q są względnie pierwsze, to Zn zawiera dokładnie
jedną podgrupę rzędu p.
Wsk. np. zad.24
Zadanie 36. Pokazać, że każda grupa rzędu pn , gdzie p jest liczbą pierwszą zawiera podgrupę
rzędu p.
Zadanie 37. Czy istnieje homomorfizm grupy izometrii własnych trójkąta równobocznego
na grupę rzędu a) 2, b) 3?
Zadanie 38. Pokazać, że ustalonej liczby naturalnej m zbiór mZ = {mx : x ∈ Z} jest
podgrupą normalną grupy (Z, +). Opisać grupę ilorazową.
Zadanie 39. Dla liczby naturalnej m znaleźć przykład grupy H i epimorfizmu f : Z → H,
którego jądrem jest mZ.
Zadanie 40. Pokazać, że jeśli G jest grupą oraz N < H < G, przy czym H C G, N C G
oraz N C H, to grupy G/H i (G/N )/(H/N ) są izomorficzne.
Wsk. Wystarczy wskazać rozsądny epimorfizm f : G/N → G/H.
Zadanie 41. Pokazać, że jeśli N C G oraz H < G, to:
a) HN < G;
b) N C HN ;
c) H ∩ N C H i grupy (HN )/N oraz H/(H ∩ N ) są izomorficzne.
Wsk. c) rozsądny epimorfizm f : H → HN/N .