Algebra 1 A, dodatkowa lista zadan

Algebra 1 A, dodatkowa lista zadań
Zadań z tej listy nie bedziemy
rozwiazywać
na zajeciach.
,
,
,
1. Niech X bedzie
zbiorem n-elementowym (n ∈ N+ ). Ile można w X określić dziaÃlań dwuar,
gumentowych ◦ takich, że a ◦ a = a dla wszystkich a ∈ X?
2. W zbiorze liczb naturalnych określić dziaÃlanie ◦ takie, że 0 jest jego elementem neutralnym
zaś dla każdego n ∈ N+ w N istnieje nieskończenie wiele elementów odwrotnych wzgledem
◦.
,
3. Niech A, B bed
, a, zbiorami niepustymi, zaś ◦ i ∗ dziaÃlaniami dwuargumentowymi określonymi
odpowiednio w A i w B. Przypuśćmy, że istnieje epimorfizm z systemu algebraicznego (A, ◦) do
systemu algebraicznego (B, ∗). Wykazać, że
(a) jeśli dziaÃlanie ◦ jest przemienne, to ∗ też jest przemienne.
(b) jeśli dziaÃlanie ◦ Ãlaczne,
to ∗ też jest Ãlaczne.
,
,
(c) jeśli dziaÃlnie ◦ ma element neutralny, to ∗ też ma element neutralny.
(d) jeśli równanie a ◦ x = b ma w A rozwiazanie
dla dowolnych a, b ∈ A, to równanie a0 ∗ y = b0
,
0 0
ma w B rozwiazanie
dla dowolnych a , b ∈ B.
,
(e) jeśli (A, ◦) jest grupa,
, to (B, ◦) jest grupa.
,
4. W zbiorze liczb caÃlkowitych definiujemy dziaÃlanie a ⊕ b = a + (−1)a · b. Pokazać, że (Z, ⊕)
jest grupa.
, Czy grupa ta jest izomorficzna z (Z, +)?
5. Niech n ≥ 3. Ile jest elementów rzedu
2 w grupie Dn ?
,
6. Niech X bedzie
zbiorem trzyelementowym. Wykazać, że P (X) z dziaÃlaniem różnicy symetrycznej
,
jest grupa, izomorficzna, z Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 .
7. Niech n ≥ k ≥ 1. Ile jest cykli dÃlugości k w grupie Sn ?
8. W grupie S5 rozważmy permutacje, σ = (1, 3)(4, 5). Rozwiazać
w S5 równanie σ ◦ x = x ◦ σ.
,
9. Niech G bedzie
grup
a
zaś
H,
K
jej
podgrupami
indeksu
skończonego.
Wykazać, że również
,
,
podgrupa H ∩ K ma w G indeks skończony.
10. Niech L oznacza zbiór wszystkich funkcji z R w R postaci f (x) = ax+b, gdzie a, b ∈ R, a 6= 0.
(a) Wykazać, że L z dziaÃlaniem skÃladania przeksztaÃlceń stanowi grupe, nieabelowa.
,
(b) Wykazać, że zbiór funkcji z R w R postaci f (x) = ax, gdzie a ∈ R \ {0}, jest podgrupa,
grupy L, ale nie jest dzielnikiem normalnym grupy L.
(c) Wykazać, że zbiór T funkcji z R w R postaci f (x) = x + b, gdzie b ∈ R, jest dzielnikiem
normalnym grupy L.
(d) Niech odwzorowanie F : L −→ R \ {0} bedzie
dane wzorem F (ax + b) = a. Wykazać, że F
,
jest epimorfizmem z grupy L na grupe, (R \ {0}, ·). Wyznaczyć jadro
F.
,
(e) Pokazać, że grupa ilorazowa L/T jest izomorficzna z grupa, (R \ {0}, ·).
(f) Wyznaczyć centrum grupy L.
11. Wyznaczyć klasy abstrakcji relacji sprzeżenia
w grupach A4 , D5 , Q8 .
,
1. Udowodnić, że jeśli f : G −→ H jest izomorfizmem grup, to również f −1 jest izomorfizmem
grup.
12. Udowodnić, że grupy (C, +) oraz (C \ {0}, ·) nie sa, izomorficzne. Wskazówka: w pierwszej
grupie nie ma elementu rzedu
2, zaś w drugiej jest.
,
13. Wykazać, że grupa (C \ {0}, ·) jest izomorficzna z suma, prosta, grup (R+ , ·) oraz ({z ∈ C :
z
|z| = 1}, ·). Wskazówka: odwzorowanie z 7−→ h|z|, |z|
i jest izomorfizmem.
14. (Zadanie z egzaminu z 2008 roku) Niech V = {e, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} (e
oznacza permutacje, identycznościowa, w S4 ).
(a) Wykazać, że V jest dzielnikiem normalnym grupy S4 .
(b) Wypisać elementy grupy ilorazowej S4 /V .
(c) Rozstrzygnać
, czy grupa ilorazowa S4 /V jest cykliczna.
15. Wykazać, że grupa ilorazowa z poprzedniego zadania jest izomorficzna z grupa, S3 .
16. Wykazać, że indeks grupy (R+ , ·) w grupie (R \ {0}, ·) wynosi 2.
1
17. Określić rzad
grupy G(36). Wypisać elementy grupy ilorazowej G(36)/{1, 17, 19, 35}.
,
Uwaga: G(n) = {k ∈ Zn : N W D(k, n) = 1}. DziaÃlaniem w G(n) jest mnożenie modulo n.
18. Wykazać, że jeśli G jest grupa, abelowa, rzedu
n, k ∈ N+ i k|n, to G posiada podgrupe,
,
rzedu
n.
Wskazówka:
skorzystać
z
opisu
skończonych
grup
abelowych.
,
19. Napisać jawnym wzorem izomorfizm f : Z35 ⊕ Z12 −→ Z4 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z7 .
20. Niech G bedzie
grupa, nieabelowa, rzedu
8.
,
,
(a) Wykazać, że w G istnieje pewien element a rzedu
4, ale nie ma elementu rzedu
8. Wskazówka:
,
,
gdyby w G istniaÃl element rzedu
8,
to
G
byÃ
l
by
cykliczna,
a
wi
ec
abelowa;
gdyby
wszystkie
elementy
,
,
z G \ {eG } miaÃly rzad
równy
2,
to
G
byÃ
l
aby
abelowa.
,
(b) Wykazać, że podgrupa H generowna przez a jest dzielnikiem normalnym grupy G.
(c) Niech b ∈ G \ H. Wykazać, że jeśli wszystkie elementy w G \ H maja, rzad
, równy 2, to
ba = a3 b, ba2 = a2 b, ba3 = ab. Wskazówka: ba = ak b dla pewnego k ∈ {0, 1, 2, 3}. ab nie leży w H,
1+k
wiec
= aak bb = abab = e. Wykorzystać fakt iż rzad
, a
, a wynosi 4.
, abab = e. Stad
(d) Wypisać wszystkie elementy grupy G w sytuacji z punktu (c) i wykazać, że wtedy G ∼
= D4 .
R. Wencel, 31.12.2008.
2