Analiza matematyczna II

Analiza matematyczna II
Lista 2b
II. Pochodne funkcji wielu zmiennych (macierz Jacobiego, macierz Hessego, gradient, regula lańcucha)
k
Twierdzenie. (Regula lańcucha) Niech U ⊂ Rm , V ⊂ Rk bed
, a, zbiorami otwartymi oraz niech F : U → V ⊂ R ,
n
G : V → R bed
, a, pewnymi odwzorowaniami. Jeśli odwzorowanie F jest różniczkowalne w punkcie a ∈ U oraz odwzorowanie
G jest różniczkowalne w punkcie b = F (a) ∈ V , to odwzorowanie Φ : U → Rn dane wzorem Φ(x) := G ◦ F (x) dla x ∈ U
jest różniczkowalne w punkcie a oraz
i i i ∂G
∂F
∂Φ
(a) =
(b)
(a) .
∂xj
∂yj
∂xj
Twierdzenie. Niech F : U → R bedzie
odwzorowaniem określonym na zbiorze otwartym U ⊂ Rn . Jeśli wszystkie pochodne
,
∂F
1
czastkowe
∂xi dla i = 1, 2, . . . , n istnieja, na calym zbiorze U i sa, klasy C , to F jest różniczkowalna na U .
,
Niech F : U → R bedzie
odwzorowaniem określonym na zbiorze otwartym U ⊂ Rn , różniczkowalnym w punkcie a ∈ U
,
o pochodnej DF (a) ∈ L(Rn , R). Wtedy
(a) odwzorowanie F jest ciag
, le w a,
(b) dla dowolnego v ∈ Rn istnieje pochodna kierunkowa funkcji F w punkcie a w kierunku
wektora v oraz
DF (a)[v] = F 0 (a; v),
n
n
(c) w szczególności biorac
, v = ei , gdzie (ei )i=1 sa, wektorami standardowej bazy na R mamy
istnienie pochodnych czastkowych
w punkcie a oraz nastepuj
ace
równości:
,
,
,
DF (a)[ei ] = F 0 (a; ei ) =
∂F
(a)
∂xi
dla i = 1, 2, . . . , n,
(d) ponadto mamy nastepuj
ac
,
, a, równość
DF (a)[v] =
n
X
∂F
(a)vi
∂x
i
i=1
dla v ∈ Rn , v = (v1 , . . . , vn ).
Zadanie II.6 Zbadać różniczkowalność funkcji f : R2 → R danej wzorem
(
f (x, y) =
x3 +y 4
x2 +y 2
jeśli (x, y) 6= (0, 0)
0
jeśli (x, y) = (0, 0).
Zadanie II.7 Sprawdzić, że funkcja f : R2 → R dana wzorem
(
f (x, y) =
1
(x2 + y 2 ) sin x2 +y
2
jeśli (x, y) 6= (0, 0)
0
jeśli (x, y) = (0, 0).
jest różniczkowalna w punkcie (0, 0), ale jej pochodne czastkowe
rzedu
pierwszego nie sa, ciag
,
,
, le w tym punkcie.
1
Zadanie II.8 Pokazać, że funkcja f : R2 → R dana wzorem
(
f (x, y) =
2
2
xy xx2 −y
+y 2
jeśli (x, y) 6= (0, 0)
0
jeśli (x, y) = (0, 0).
maw punkcie (0, 0) pochodne czastkowe
mieszane, ale nie sa, one równe.
,
Zadanie II.9 Pokazać, że funkcja f : R2 → R dana wzorem
f (x, y) =
(
x+y+
x3 y
x4 +y 2
0
jeśli (x, y) 6= (0, 0)
jeśli (x, y) = (0, 0).
nie jest różniczkowalna w punkcie (0, 0), ale posiada w tym punkcie pochodna, kierunkowa, w kierunku dowolnego wektora.
Zadanie II.10 Wyznaczyć macierz Jacobiego odwzorowania f : Rn → Rn danego wzorem
1 2
f (x1 , x2 , . . . , xn ) =
x , x1 x2 , x1 x3 , . . . , x1 xn
2 1
w punkcie (1, 1, . . . , 1).
Zadanie II.11 Niech f : R2 → R2 , g : R2 → R bed
, a, funkcjami określonymi wzorami f (x, y) = (x + 2y, −3x + 6),
g(x, y) = xy.
(a) Wyznaczyć macierz Jacobiego funkcji f w punkcie (1, −1).
(b) Obliczyć pochodna, kierunkowa, funkcji g ◦ f w punkcie (1, 1) w kierunku wektora (1, −2).
Zadanie II.12 Wyznaczyć gradient i Hesjan nastepuj
acej
funkcji f : R2 → R
,
,
f (x1 , x2 ) = x21 + x22 − 6x1 − 4x2 + 12.
Niech U ⊂ Rn bedzie
zbiorem otwartym oraz niech u : U → R bedzie
odwzorowaniem klasy C 2 . Laplasjanem funkcji
,
,
u nazywamy funkcje, ∆u : U → R dana, wzorem:
∆u(x) = ∇2 u(x) =
∂2u
∂2u
∂2u
(x) +
(x) + . . . +
(x).
∂x1
∂x2
∂xn
Gradientem funkcji u : U → R, klasy C 1 , nazywamy pole wektorowe ∇u : U → Rn dane wzorem
∂u
∂2u
∂2u
∇u(x) =
(x),
(x), . . . ,
(x) .
∂x1
∂x2
∂xn
Niech U ⊂ Rn bedzie
zbiorem otwartym oraz niech F : U → Rn bedzie
ciag
,
,
, lym polem wektorowym. Pole F jest polem
potencjalnym jeśli istnieje funkcja u : U → R taka, że
∇u(x) = F (x)
dla x ∈ U.
zbiorem otwartym oraz niech F : U → Rn bedzie
polem wektorowym klasy C 1 . Dywergencja, pola
Niech U ⊂ Rn bedzie
,
,
wektorowego F = (F1 , F2 , . . . , Fn ) jest odwzorowanie div F : U → R dane wzorem
div F (x) =
∂F1
∂F2
∂Fn
(x) +
(x) + . . . +
(x).
∂x1
∂x2
∂xn
Pole wektorowe F nazywamy bezźródlowym jeśli jego dywergencja div F jest zerowym polem wektorowym.
2
Niech U ⊂ R3 bedzie
zbiorem otwartym oraz niech F : U → R3 bedzie
polem wektorowym klasy C 1 . Rotacja, pola
,
,
wektorowego F = (F1 , F2 , F3 ) jest pole wektorowe rot F : U → R dane wzorem
∂F3
∂F2
∂F1
∂F3
∂F2
∂F1
rot F (x) = (∇ × F )(x) =
(x) −
(x),
(x) −
(x),
(x) −
(x)
∂x2
∂x3
∂x3
∂x1
∂x1
∂x2

∂
∂x2
∂
∂x1
∂
∂x3



= det F1 (x) F2 (x) F3 (x) .
e1
e2
e4
Pole wektorowe F nazywamy bezwirowym jeśli jego rotacja ∇ × F jest zerowa.
Zadanie II.13 Udowodnić, że pole grawitacyjne F : R3 \ {0, 0, 0} → R3 dane wzorem
F (x) = −
k
x
kxk3
dla x ∈ R3 \ {0, 0, 0}
jest polem potencjalnym, bezźródlowym i bezwirowym.
Zadanie II.14 Udowodnić, że dla dowolnej funkcji u : U → R, klasy C 2
∆u = div ∇u.
Zadanie II.15 Niech U ⊂ R3 bedzie
zbiorem otwartym oraz niech F : U → R3 bedzie
polem wektorowym klasy C 1 .
,
,
Udowodnić, że jeśli F jest polem potencjalnym, to jest polem bezwirowym.
Zadanie II.16 Niech u : B(0, R) → R bedzie
funkcja, klasy C 2 określona na kuli o promieniu 0 < R ≤ +inf ty oraz niech
,
A bedzie
ortogonalna, macierza, wymiaru n × n tzn. AAT = I. Pokazać, że
,
(a) A(B(0, R)) = B(0, R),
(b) ∆(u ◦ A) = ∆u,
(c) ∇(u ◦ A) = A−1 ∇u ◦ A.
3