Regulacja dyskretna w czasie

PODSTAWY AUTOMATYKI
LABORATORIUM
Ćw. 6. Regulacja dyskretna w czasie
Celem ćwiczenia jest analiza metody ciągłego przybliżania układu dyskretnego w
czasie (Rys. 1a) na potrzeby projektowania dyskretnych układów regulacji (Rys.1b)).
Przybliżenie takie umożliwia wykorzystanie metod syntezy ciągłych układów regulacji do
projektowania układów regulacji dyskretnej.
Ćwiczenie obejmuje syntezę układu regulacji dyskretnej w czasie PID, z wykorzystaniem
metody aproksymującej działanie układu dyskretnego oraz analizę jakości regulacji przy
różnych implementacjach regulatora cyfrowego pracującego przy zadanych okresach
próbkowania.
a)
ui
u(t)
y(t)
K(s)
ZOH
yi
H z
b)
wi
ei
Regulator
cyfrowy
ui
ZOH
u(t)
K(s)
y(t)
yi
Rys. 1. Schemat blokowy dyskretnego układu regulacji
Projektowanie dyskretnego układu sterowania (Rys. 1b) przeprowadzić można
dokonując ciągłego przybliżenia odpowiedzi obiektu w dyskretnych chwilach czasu
(ekstrapolator i obiekt – Rys. 1a) a następnie dobierając regulator metodami
przeznaczonymi do syntezy ciągłego układu regulacji. Regulator cyfrowy H r ( z) otrzymuje
się stosując podstawienia Tustina do regulatora ciągłego PID bądź wykorzystując postać
przybliżoną dyskretnego regulatora PID.
(6) -1-
Algorytm syntezy regulatora cyfrowego H r ( z) określony jest następującymi krokami:
1. Wybór postaci przybliżenia L( s) dla obiektu z ekstrapolatorem:
ui
u(t)
y(t)
K(s)
ZOH
h

L( s )   1  s  K ( s )
2

– wygodna przy liniach pierwiastkowych,
charakterystykach częstotliwościowych
(1)
h
2
– wygodna dla obiektów z opóźnieniem
(2)
L( s )  e
s
K (s)
2. Projekt ciągłego układu regulacji – Lr (s) :
w
e
Lr(s)
u
L(s)
y
3. Wyznaczenie regulatora cyfrowego (dyskretnego):
H r ( z )  Lr ( s ) s  2 z 1 .
h z 1
Zastosowanie w układzie regulacji z Rys. 1b)
Ćwiczenie podzielone jest na dwie części. W pierwszej części dokonuje się analizy
dokładności zaproponowanej aproksymacji oraz sprawdzenia jej przydatności w procesie
projektowania układu regulacji dyskretnej w czasie na przykładzie regulatora P. W ćwiczeniu
istotna jest metodyka postępowania przy projektowaniu regulatora, dlatego też rozważa się
wykorzystanie regulatora cyfrowego jedynie w układzie z liniowym modelem obiektu (Rys.2).
Dwi
Dei
Regulator
cyfrowy
Dui
ZOH
Du(t)
K(s)
Dy(t)
Dyi
Rys. 2. Układ regulacji z liniowym modelem obiektu opisanego transmitancją
K(s)=Kw(s)Km(s)
(6) -2-
Ponieważ interesująca jest jakość regulacji oraz dokładność przybliżenia, a nie wartość
sygnału, dlatego przebiegi czasowe wykreśla się w układzie z Rys. 1b) – tak więc
Dy  y, Du  u .
W dalszej części przeprowadzona zostanie synteza oraz analiza układu regulacji
dyskretnej w czasie PID w układzie z liniowym modelem obiektu. Dyskretny regulator PID
otrzymuje się dokonując odpowiedniego podstawienia do zależności opisującej ciągły
regulator PID bądź wykorzystując opis przybliżony.
Ciągły regulator PID z idealnym różniczkowaniem opisany jest zależnością:
Kr ( s) 


U ( s)
1
 kr  1 
 TD s  .
E ( s)
 TI s

(3)
Zastosowanie do (3) podstawienia Tustina:
s
2 z 1
h z 1
(4)
prowadzi do występowania w sygnale wyjściowym regulatora u(t ) gasnących oscylacji
mających istotny wpływ na jakość regulacji y(t ) . Rozwiązaniem tego problemu może być
zastosowanie podstawienia (4) do regulatora PID z różniczkowaniem rzeczywistym:
K r (s) 

T s 
U (s)
1
 kr 1 
 D .
 T s 1 T s 
E ( s)
I
f 

(5)
Można także wykorzystać przybliżony regulator dyskretny PID o postaci:
H r ( z) 

T z 1 
U ( z)
h z
 kr 1 
 D
.
E( z)
 TI z  1 h z 
(6)
Program ćwiczenia laboratoryjnego zakłada przeanalizowanie jakości regulacji
dyskretnej PID przy wykorzystaniu różnych implementacji regulatora cyfrowego. Rozważa
się wykorzystanie:

podstawienia Tustina (4) dla postaci regulatora (3)

podstawienia Tustina (4) dla postaci regulatora (5)

zależności przybliżonej dla regulatora dyskretnego PID (6).
Regulator cyfrowy PID wykorzystany zostanie w układzie sterowania obiektem liniowym –
Rys. 2.
(6) -3-
PRZEBIEG ĆWICZENIA
Część I
Przeanalizuj metodę projektowania układów regulacji dyskretnej z wykorzystaniem
ciągłej aproksymacji odpowiedzi obiektu w dyskretnych chwilach czasu. Analizę
przeprowadź według schematu:
K(s)
H(z)
L(s)
kKK(s)
kHH(z)
kLL(s)
Wyznaczenie wzmocnień k K, kH i kL zapewniających
spełnienie zalecenia projektowego
GK(s)
GH(z)
GL(s)
Obliczenie transmitancji głównych
układów regulacji
EK(s)
EH(z)
EL(s)
Obliczenie transmitancji uchybowych
układów regulacji
1. Ciągły układ regulacji
Dany jest układ regulacji1 przedstawiony na Rys.4a. Wyznacz wzmocnienie graniczne k gr .
w(t)
e(t)
kK
u(t)
K(s)
Dobierz
y(t)
wzmocnienie
regulatora
kK
zapewniające w układzie z Rys. 4a zapas
modułu DK  2 . Wykreśl:
 charakterystykę
amplitudowo-fazową
Rys. 3a. Schemat blokowy ciągłego układu
obiektu z regulatorem i zaznacz zadany
regulacji.
zapas stabilności,
 odpowiedź skokową układu zamkniętego
y(t ) .
2. Dyskretny układ regulacji
wi
ei
kH
ui
ZOH
u(t)
y(t)
K(s)
yi
Rys. 4b. Schemat blokowy układu dyskretnego
Zamodeluj układ regulacji dyskretnej w
czasie – Rys. 4b.
Przyjmij dwa okresy próbkowania
z zakresu h  (0,1  0,5)TMax (gdzie TMax
jest dominującą stałą czasową modelu
obiektu K (s) ).
Obiekt K(s) składa się z transmitancji zlinearyzowanego modelu obiektu Km(s) (wokół wybranego punktu pracy) i
transmitancji elementu wykonawczego Kw(s)
1
(6) -4-
3. Przybliżenie ciągłe układu dyskretnego w czasie
w
e
kL
u
L(s)
y
Rys. 4c. Schemat blokowy układu dla
przybliżenia L(s)
Stosując zależność przybliżoną do projektowania
układów
regulacji
dyskretnej
wyznacz
transmitancję przybliżoną L(s) jak w (1). Wyznacz
wzmocnienie graniczne k gr układu zamkniętego.
Podobnie jak w punkcie I.1, dobierz regulator P
spełniający narzucone wymaganie projektowe w
układzie z Rys. 4c. Syntezę układu wykonaj dla
dwóch okresów próbkowania h .
Opracowanie wyników
A. Narysuj na jednym rysunku odpowiedź skokową obiektu ciągłego K (s) , odpowiedź
obiektu w dyskretnych chwilach czasu na podstawie transmitancji H ( z ) oraz
odpowiedź skokową przybliżenia ciągłego L(s) układu dyskretnego. Uwzględnij mały
i duży okres próbkowania2.
– Czy zależność przybliżona
L(s) dobrze aproksymuje odpowiedź układu
dyskretnego w czasie H ( z ) ?
B. Stosując nastawę wzmocnienia regulatora P ( kK ) z pkt. I.1 w dyskretnym układzie
regulacji pkt. I.2 ( kH  kK ) przedstaw przebiegi czasowe odpowiedzi skokowych
układów zamkniętych dla różnych okresów próbkowania h.
– Omów wpływ okresu próbkowania h oraz wzmocnienia kK z regulacji ciągłej
wykorzystanego do regulacji dyskretnej na przebiegi czasowe i jakość regulacji.
C. Przedstaw wartość nastawy regulatora P ( k L ) otrzymanej w pkt. I.3 dla różnych
okresów próbkowania h. Porównaj wzmocnienia graniczne w układzie regulacji
ciągłej oraz dyskretnej wykorzystując przybliżenie ciągłe L(s) .
D. Stosując nastawę regulatora P ( k L ) z pkt. I.3 w dyskretnym układzie regulacji kH  kL
(Rys. 4b) oraz jego aproksymacji (Rys. 4c) wykreśl odpowiedzi skokowe y(t ) .
Porównaj z przebiegiem czasowym w układzie regulacji ciągłej (Rys. 4a).
– Przedyskutuj przydatność przybliżenia L(s) do projektowania dyskretnych układów
regulacji metodami przeznaczonymi do syntezy ciągłych układów regulacji.
2
Okres próbkowania jest funkcją dominującej (największej) stałej czasowej obiektu.
(6) -5-
Część II
Zbadaj wpływ sposobu realizacji regulatora cyfrowego oraz okresu próbkowania na
jakość regulacji dyskretnej PID.
1. Przyjmij obiekt K (s) w postaci zlinearyzowanego modelu obiektu Km (s) wokół
wybranego punktu pracy z urządzeniem wykonawczym Kw (s) w układzie jak na Rys. 2.
Dobierz okres próbkowania3 h1  0,1 TMax .
2. Wykorzystując metodykę syntezy układu regulacji bazującą na zależności przybliżonej
L(s) zdefiniowanej w (2), dobierz nastawy regulatora korzystając z kryterium bazującym
na analizie odpowiedzi czasowej obiektu regulacji4 (jak w ćwiczeniu 4).
3. Wyznacz5 postać regulatora dyskretnego PID z wykorzystaniem:
a) H r1 ( z ) - podstawienia Tustin’a (4) do zależności (3)
b) H r 2 ( z) - podstawienia Tustin’a (4) do zależności (5) (Tf takie jak w ćwiczeniu 4)
c) H r 3 ( z) - postaci przybliżonej (6).
4. Zamodeluj
w
Simulinku
dyskretne
układy
regulacji
z
obiektem
w
postaci
zlinearyzowanego modelu obiektu i regulatorami II.3a)-II.3c) – Rys. 2. Wykreśl
odpowiedzi skokowe układów zamkniętych. Przedstaw na wykresach przebiegi y(t ) i
u(ih) ( u(t ) w przypadku układu regulacji ciągłej).
5. Punkty 4-7 wykonaj dla zwiększonego okresu próbkowania h2  0,5  TMax .
Opracowanie wyników
Wartość okresu próbkowania h zaokrąglić do jednej dziesiątej sekundy.
wykorzystać informacje zawarte w DODATKU „C”
5 Na laboratorium można wykorzystać polecenie Matlaba: H=c2d(K,h,’Tustin’). W sprawozdaniu
należy wyprowadzić te zależności dokonując odpowiedniego podstawienia.
3
4
(6) -6-
A. Wyprowadź ogólne zależności regulatora dyskretnego PID na podstawie (3) i (5) z
podstawieniem Tustin’a.
B. Przedstaw w tabeli wartości nastaw regulatora ciągłego PID oraz cyfrowego PID dla
okresu próbkowania h1 . Porównaj wartości.
C. Porównaj na jednym rysunku odpowiedzi skokowe w układzie zamkniętym (Rys. 2)
z regulatorem cyfrowym realizowanym w postaci II.6a) – II.6c) (do analizy wykorzystaj
parametry z Dodatku B instrukcji do ćwiczenia 3).
Zaprezentuj na wykresach przebiegi y(t ) i u(t ) . Porównaj z przebiegami y(t ) oraz
u(t ) w układzie regulacji ciągłej.
D. Na podstawie przebiegów czasowych przedyskutuj jakość regulacji dyskretnej w
czasie przy różnych realizacjach regulatora cyfrowego (II.6.a- II.6.c).
Wybierz ,,najlepszą” implementację regulatora cyfrowego – wybór uzasadnij.
E. Wykonaj powyższą analizę dla zwiększonego okresu próbkowania h2  0,5  TMax .
Jeżeli dla powyższego okresu próbkowania układ zamknięty jest niestabilny należy
go zmodyfikować w taki sposób aby zagwarantować stabilność układu regulacji.
F. Przedstaw na jednym rysunku przebiegi czasowe y(t ) i u(t ) odpowiedzi skokowych
w dyskretnym6 (z okresem próbkowania h1 i h2 ) i ciągłym układzie regulacji. Porównaj
i omów wpływ okresu próbkowania na jakość regulacji.
Polecenia Matlab’a:
nyquist(K)
rysuje charakterystykę amplitudowo-fazową
bode(K)
rysuje charakterystykę amplitudową i fazową
bodemag(K)
rysuje charakterystykę amplitudy w zależności od pulsacji
step(K)
rysuje odpowiedź na skok jednostkowy
H=c2d(K,’metoda’)
wyznacza zadaną metodą (np.: ZOH, Tustin) transmitancję dyskretną H(z)
na podstawie transmitancji ciągłej K(s).
Dodatek ,,E”
6
Wykorzystać ,,najlepszą” realizację regulatora cyfrowego
(6) -7-
Algorytm strojenia regulatora dyskretnego PID dla metod bazujących na analizie
odpowiedzi czasowej obiektu regulacji
Algorytm strojenia regulatora ciągłego wymaga, aby obiekt wyższego rzędu
aproksymować układem inercyjnym I rzędu z opóźnieniem7:
Ka  s  
k
e sTo .
1  sT
(E.1)
Synteza regulatora dyskretnego bazuje natomiast na wykorzystaniu ciągłego
przybliżenia L(s) działania obiektu w dyskretnych chwilach czasu (ekstrapolator + obiekt) .
Jeżeli do obiektu Ka (s) (A.1), będącego aproksymacją obiektu wieloinercyjnego,
wybrane zostanie przybliżenie układu dyskretnego w postaci:
L( s )  e
s
h
2
K a (s) ,
wówczas:
L s  e
s
h
2

h
 s  TO  
k
 Ka  s  
e  2 ,
1  sT
a zatem do wyliczania nastaw regulatorów dyskretnych należy zwiększyć zastępcze
opóźnienie obiektu o połowę okresu próbkowania h:
TO*  TO 
7
Patrz DODATEK „C”
(6) -8-
h
.
2