Regulacja dyskretna

PODSTAWY AUTOMATYKI
Laboratorium
Ćw. 6. Regulacja dyskretna w czasie
Celem ćwiczenia jest analiza metody ciągłego przybliżania układu dyskretnego w czasie (Rys.
1a) na potrzeby projektowania dyskretnych układów regulacji (Rys.1b)). Przybliżenie takie
umożliwia wykorzystanie metod syntezy ciągłych układów regulacji do projektowania układów
regulacji dyskretnej.
Ćwiczenie obejmuje syntezę układu regulacji dyskretnej w czasie PID, z wykorzystaniem metody
aproksymującej działanie układu dyskretnego oraz analizę jakości regulacji przy różnych
implementacjach regulatora cyfrowego pracującego przy zadanych okresach próbkowania.
a)
ui
u(t)
y(t)
K(s)
ZOH
yi
H z
b)
wi
ei
Regulator
cyfrowy
ui
ZOH
u(t)
K(s)
y(t)
yi
Rys. 1. Schemat blokowy dyskretnego układu regulacji
Projektowanie dyskretnego układu sterowania (Rys. 1b) przeprowadzić można dokonując
ciągłego przybliżenia odpowiedzi obiektu w dyskretnych chwilach czasu (ekstrapolator i obiekt –
Rys. 1a) a następnie dobierając regulator metodami przeznaczonymi do syntezy ciągłego układu
regulacji. Regulator cyfrowy Hr(z) otrzymuje się stosując podstawienia Tustina do regulatora
ciągłego PID bądź wykorzystując postać przybliżoną dyskretnego regulatora PID.
Algorytm syntezy regulatora cyfrowego Hr(z) opiera się na następujących krokach:
1. Wybór postaci przybliżenia L( s ) dla obiektu z ekstrapolatorem:
ui
h

L( s )   1  s  K ( s )
2

L( s )  e
2.
s
h
2
K (s)
u(t)
y(t)
K(s)
ZOH
– wygodna przy liniach pierwiastkowych,
charakterystykach częstotliwościowych
(1)
– wygodna dla obiektów z opóźnieniem
(2)
Projekt ciągłego układu regulacji – Lr ( s) :
w
e
Lr(s)
u
L(s)
y
3.
Wyznaczenie regulatora cyfrowego (dyskretnego):
H r ( z )  Lr ( s) s  2 z 1 .
h z 1
Zastosowanie w układzie regulacji z Rys. 1b)
Ćwiczenie podzielone jest na dwie części. W pierwszej części dokonuje się analizy
dokładności zaproponowanej aproksymacji oraz sprawdzenia jej przydatności w procesie
projektowania układu regulacji dyskretnej w czasie na przykładzie regulatora P. W ćwiczeniu istotna
jest metodyka postępowania przy projektowaniu regulatora, dlatego też rozważa się wykorzystanie
regulatora cyfrowego jedynie w układzie z liniowym modelem obiektu (Rys.2).
uo
f-(uo)
y0
Dwi
Dei
Regulator
cyfrowy
Dui
ZOH
Du(t)
K(s)
Dy(t)
y(t)
Dyi
Rys. 2. Układ regulacji z liniowym modelem obiektu opisany transmitancją
K(s)=Kw(s)Km(s)
Ponieważ interesująca jest jakość regulacji oraz dokładność przybliżenia, a nie wartość sygnału,
dlatego przebiegi czasowe wykreśla się w układzie z Rys. 1b) – tak więc Dy  y, Du  u .
W dalszej części przeprowadzona zostanie synteza oraz analiza układu regulacji dyskretnej w
czasie PID w układzie z liniowym modelem obiektu. Dyskretny regulator PID otrzymuje się
dokonując odpowiedniego podstawienia do zależności opisującej ciągły regulator PID bądź
wykorzystując opis przybliżony.
Ciągły regulator PID z idealnym różniczkowaniem opisany jest zależnością:


U ( s)
1
(3)
Kr ( s) 
 kr  1 
 TD s  .
E ( s)
 TI s

Zastosowanie do (3) podstawienia Tustina:
2 z 1
(4)
s
h z 1
prowadzi do występowania w sygnale wyjściowym regulatora u(t) gasnących oscylacji mających
istotny wpływ na jakość regulacji y(t). Rozwiązaniem tego problemu może być zastosowanie
podstawienia (4) do regulatora PID z różniczkowaniem rzeczywistym:

T s 
U ( s)
1
(5)
Kr ( s) 
 kr 1 
 D .
E ( s)
 TI s 1  Td s 
Można także wykorzystać przybliżony regulator dyskretny PID o postaci:

T z 1 
U ( z)
h z
H r ( z) 
 kr  1 
 D
.
E( z)
T
z

1
h
z

I

(6)
Program ćwiczenia laboratoryjnego zakłada przeanalizowanie jakości regulacji dyskretnej
PID przy wykorzystaniu różnych implementacji regulatora cyfrowego. Rozważa się wykorzystanie:
 podstawienia Tustina (4) dla postaci regulatora (3)
 podstawienia Tustina (4) dla postaci regulatora (5)
 zależności przybliżonej dla regulatora dyskretnego PID (6).
Regulator cyfrowy PID wykorzystany zostanie w układzie sterowania obiektem liniowym – Rys. 2.
PRZEBIEG ĆWICZENIA
Część I
Przeanalizuj metodę projektowania układów regulacji dyskretnej z wykorzystaniem ciągłej
aproksymacji odpowiedzi obiektu w dyskretnych chwilach czasu. Analizę przeprowadź według
schematu:
K(s)
H(z)
L(s)
kKK(s)
kHH(z)
kLL(s)
Wyznaczenie wzmocnień k k, kz i kL zapewniających
spełnienie zalecenia projektowego
GK(s)
GH(z)
GL(s)
Obliczenie transmitancji głównych
układów regulacji
EK(s)
EH(z)
EL(s)
Obliczenie transmitancji uchybowych
układów regulacji
1. Ciągły układ regulacji
Dany jest układ regulacji1 przedstawiony na Rys.4a. Wyznacz wzmocnienie graniczne kgr.
Dobierz wzmocnienie regulatora kK
e(t)
u(t)
y(t)
w(t)
kK
K(s)
zapewniające w układzie z Rys. 4a zapas
modułu DA=2. Wykreśl:
 charakterystykę amplitudowo-fazową
obiektu z regulatorem i zaznacz zadany
Rys. 3a. Schemat blokowy ciągłego układu regulacji.
zapas stabilności,
 odpowiedź skokową układu zamkniętego
y(t).
2. Dyskretny układ regulacji
wi
ei
kH
ui
ZOH
u(t)
y(t)
K(s)
yi
Rys. 4b. Schemat blokowy układu dyskretnego
Zamodeluj układ regulacji dyskretnej w
czasie – Rys. 4b. Przyjmij dwa okresy
próbkowania z zakresu h=(0,10,5)TMax
(gdzie TMax jest dominującą stałą czasową
modelu obiektu K(s)).
3. Przybliżenie ciągłe L(s) układu dyskretnego w czasie
Stosując zależność przybliżoną do projektowania
w
e
u
kL
L(s)
układów regulacji dyskretnej wyznacz transmitancję
przybliżoną L(s) jak w (1). Wyznacz wzmocnienie
y
graniczne kgr układu zamkniętego. Podobnie jak w
punkcie I.1, dobierz regulator P spełniający narzucone
Rys. 4c. Schemat blokowy układu dla
wymaganie projektowe w układzie z Rys. 4c. Syntezę
przybliżenia L(s)
układu wykonaj dla dwóch okresów próbkowania h.
Obiekt K(s) składa się z transmitancji zlinearyzowanego modelu obiektu Km(s) (wokół wybranego punktu pracy) i
transmitancji elementu wykonawczego Kw(s)
1
Opracowanie wyników
A. Narysuj na jednym rysunku odpowiedź skokową obiektu ciągłego K(s), odpowiedź obiektu w
dyskretnych chwilach czasu na podstawie transmitancji H(z) oraz odpowiedź skokową
przybliżenia ciągłego L(s) układu dyskretnego. Uwzględnij mały i duży okres próbkowania2.
– Czy zależność przybliżona L(s) dobrze aproksymuje odpowiedź układu dyskretnego w
czasie H(z)?
B. Stosując nastawę wzmocnienia regulatora P (kK) z pkt. I.1 w dyskretnym układzie regulacji
pkt. I.2 (kH=kK) przedstaw przebiegi czasowe odpowiedzi skokowych układów zamkniętych
dla trzech okresów próbkowania h.
– Omów wpływ okresu próbkowania h oraz wzmocnienia kk z regulacji ciągłej
wykorzystanego do regulacji dyskretnej na przebiegi czasowe i jakość regulacji.
C. Przedstaw wartość nastawy regulatora P (kL) otrzymanej w pkt. I.3 dla różnych okresów
próbkowania h. Porównaj wzmocnienia graniczne w układzie regulacji ciągłej oraz dyskretnej
wykorzystując przybliżenie ciągłe L(s).
D. Stosując nastawę regulatora P (kL) z pkt. I.3 w dyskretnym układzie regulacji kH=kL (Rys. 4b)
oraz jego aproksymacji (Rys. 4c) wykreśl odpowiedzi skokowe y(t). Porównaj z przebiegiem
czasowym w układzie regulacji ciągłej (Rys. 4.a).
– Przedyskutuj przydatność przybliżenia L(s) do projektowania dyskretnych układów
regulacji metodami przeznaczonymi do syntezy ciągłych układów regulacji.
Część II
Zbadaj wpływ sposobu realizacji regulatora cyfrowego oraz okresu próbkowania na jakość
regulacji dyskretnej PID.
4. Przyjmij model obiektu K(s) w postaci zlinearyzowanego modelu obiektu Km(s) wokół
wybranego punktu pracy z urządzeniem wykonawczym Kw(s) w układzie jak na Rys. 2. Dobierz
okres próbkowania3 h1  0,1 TMax .
5. Wykorzystując metodykę syntezy układu regulacji bazującą na zależności przybliżonej L( s)
zdefiniowanej w (2), dobierz nastawy regulatora korzystając z kryterium QDR4.
6. Wyznacz5 postać regulatora dyskretnego PID z wykorzystaniem:
a) Hr1(z) - podstawienia Tustin’a (4) do zależności (3)
b) Hr2(z) - podstawienia Tustin’a (4) do zależności (5) (Td takie jak w ćwiczeniu 5)
c) Hr3(z) - postaci przybliżonej (6).
7. Zamodeluj w Simulinku dyskretne układy regulacji z obiektem w postaci zlinearyzowanego
modelu obiektu i regulatorami II.6a)-II.6c) – Rys. 2. Wykreśl odpowiedzi skokowe układów
Okres próbkowania jest funkcją dominującej (największej) stałej czasowej obiektu.
Wartość okresu próbkowania h zaokrąglić do jednej dziesiątej sekundy.
4 wykorzystać informacje zawarte w dodatku A
5 Na laboratorium można wykorzystać polecenie Matlaba: H=c2d(K,h,’Tustin’). W sprawozdaniu
należy wyprowadzić te zależności dokonując odpowiedniego podstawienia.
2
3
zamkniętych. Przedstaw na wykresach przebiegi y(t) i u(ih) (u(t) w przypadku układu regulacji
ciągłej).
8. Punkty 4-7 wykonaj dla zwiększonego okresu próbkowania h2  0,5  TMax .
Opracowanie wyników
A. Wyprowadź ogólne zależności regulatora dyskretnego PID na podstawie (3) i (5) z
podstawieniem Tustin’a.
B. Przedstaw w tabeli wartości nastaw regulatora ciągłego PID oraz cyfrowego PID dla okresu
próbkowania h1. Porównaj wartości.
C. Porównaj na jednym rysunku odpowiedzi skokowe w układzie zamkniętym (Rys. 2)
z regulatorem cyfrowym realizowanym w postaci II.6a) – II.6c) (do analizy wykorzystaj
parametry z Dodatku B instrukcji do ćwiczenia 3).
Zaprezentuj na wykresach przebiegi y(t) i u(ih). Porównaj z przebiegami y(t) oraz u(t) w
układzie regulacji ciągłej.
D. Na podstawie przebiegów czasowych przedyskutuj jakość regulacji dyskretnej w czasie przy
różnych realizacjach regulatora cyfrowego (II.6.a- II.6.c).
Wybierz ,,najlepszą” implementację regulatora cyfrowego – wybór uzasadnij.
E. Wykonaj powyższą analizę dla zwiększonego okresu próbkowania h2  0,5  TMax . Jeżeli dla
powyższego okresu próbkowania układ zamknięty jest niestabilny należy go zmodyfikować
w taki sposób aby zagwarantować stabilność układu regulacji.
F. Przedstaw na jednym rysunku przebiegi czasowe y i u odpowiedzi skokowych |w dyskretnym6
(z okresem próbkowania h1 i h2) i ciągłym układzie regulacji. Porównaj i omów wpływ okresu
próbkowania na jakość regulacji.
Sprawozdanie powinno zawierać:
 Plan ćwiczenia z wykorzystaną transmitancją obiektu.
 Opracowane i przedstawione wszystkie nastawy regulatorów P i PID.
 Rysunki z charakterystykami i przebiegami odpowiedzi czasowych odpowiednio zebranych
i porównanych.
 Porównanie sposobu implementacji dyskretnego regulatora PID i jego wpływu na jakość
regulacji.
 Porównanie jakości regulacji w układzie sterowania dyskretnego (dla okresu próbkowania
małego oraz dużego) z jakością regulacji ciągłej.
 Omówienie uzyskanych rezultatów oraz wnioski.
Polecenia Matlab’a:
nyquist(K)
bode(K)
bodemag(K)
step(K)
H=c2d(K,’metoda’)
6
rysuje charakterystykę amplitudowo-fazową
rysuje charakterystykę amplitudową i fazową
rysuje charakterystykę amplitudy w zależności od pulsacji
rysuje odpowiedź na skok jednostkowy
wyznacza zadaną metodą (np.: ZOH, Tustin) transmitancję dyskretną H(z) na
podstawie transmitancji ciągłej K(s).
Wykorzystać ,,najlepszą” realizację regulatora cyfrowego
Dodatek A.
Algorytm strojenia regulatora dyskretnego PID dla kryterium QDR
Algorytm strojenia regulatora ciągłego według kryterium QDR wymaga aby obiekt wyższego
rzędu aproksymować układem inercyjnym I rzędu z opóźnieniem7:
k
(A.1)
Ka  s  
e sTo .
1  sT
Synteza regulatora dyskretnego bazuje natomiast na wykorzystaniu ciągłego przybliżenia L(s)
działania obiektu w dyskretnych chwilach czasu (ekstrapolator + obiekt) .
Jeżeli do obiektu Ka(s) (A.1), będącego aproksymacją obiektu wieloinercyjnego, wybrane
zostanie przybliżenie układu dyskretnego w postaci:
L( s )  e
s
h
2
K a ( s) ,
wówczas:
h
2

h
 s  TO  
k
L  s   e  Ka  s  
e  2 ,
1  sT
a zatem do wyliczania nastaw regulatorów dyskretnych należy zwiększyć zastępcze opóźnienie
obiektu o połowę okresu próbkowania h:
h
TO*  TO  .
2
s
7
Patrz instrukcja do ćwiczenia 4.