dokładność pomiaru parametrów geometrycznych w tomografii

DOKŁADNOŚĆ POMIARU PARAMETRÓW
GEOMETRYCZNYCH W TOMOGRAFII
KOMPUTEROWEJ
Katarzyna BIERNAT, Adrian TRUSZKIEWICZ, Stefan WÓJTOWICZ
ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH
INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI
ul. Pożaryskiego 28, 04-703 Warszawa
tel. (022) 812-24-32 fax 615-75-35
e-mail. [email protected]
Streszczenie
W referacie przedstawiono problemy pomiaru parametrów
geometrycznych obiektów na podstawie obrazów cyfrowych
otrzymywanych w wyniku badania tomograficznego. Podano metodę i
procedurę pomiaru wymiarów liniowych obiektów oraz kątów między
zdefiniowanymi liniami prostymi. Przeprowadzono analizę niepewności
pomiaru wymienionych wielkości geometrycznych.
Słowa kluczowe: niepewność pomiaru, tomografia komputerowa,
badania nieniszczące.
1.
WPROWADZENIE
Tomografia komputerowa jest techniką konstruowania obrazów wnętrza obiektów na
podstawie pomiarów dokonywanych z zewnątrz. Otrzymywany obraz jest mapą rozkładu
parametrów materiałowych. Najczęściej jako nośniki informacji stosowane są promienie
rentgenowskie lub gamma, pola magnetyczne, prądy elektryczne, ultradźwięki i wiązki
elektronów [1]. Tomografia rentgenowska jest specjalistyczną metodą diagnostyczną, która
umożliwia oglądanie stanu wnętrza obiektów. Obrazy warstwowe są analizowane i oceniane
przez specjalistę. Przy ocenie jakościowej zmniejszenie subiektywizmu można uzyskać
stosując algorytmiczne rozpoznawanie jakościowe. Ocena ilościowa z zastosowaniem metod
morfometrycznych pozwala na poprawę wiarygodności diagnozy. Struktury morfologiczne
opisywane są na podstawie pomiarów liniowych, pola powierzchni, współczynników kształtu,
cech optycznych i kolorymetrycznych. Procedury diagnostyczne, operujące wynikami
1
pomiarów, muszą zawierać oszacowania niepewności pomiarów cech dla prawidłowej oceny
wiarygodności diagnozy.
2.
SYSTEM POMIAROWY
Celem
badania
tomograficznego
jest
wierna
rekonstrukcja
wnętrza
obiektu,
przestrzennego rozkładu gęstości.
J ( x, y, z ) = f [ ρ ( x, y, z )]
(1)
J - rozkład jasności, ρ -rozkład gęstości, f – funkcja przetwarzania.
Tomograficzny system pomiarowy przypisuje wartościom gęstości punktów skanowanej
przestrzeni wewnętrznej obiektu, wartości jasności zrekonstruowanego obrazu. Schemat
przetwarzania w systemie pomiarowym został pokazany na rysunku 1. Obiekt jest badany
wiązką rentgenowską w płaszczyźnie prostopadłej do osi obiektu. Przez obrót penetruje się
cały obiekt. Przesuwając głowicę skanującą wzdłuż osi uzyskuje się kolejne przekroje, które
łącznie tworzą obraz przestrzenny obiektu.
Obiekt
pomiaru
Akwizycja danych
Rekonstrukcja
obrazu
Prezentacja
obrazu
Pomiar cech
geometrycznych
obiektów
Klasyfikacja
diagnostyczna
Rys.1 Schemat przetwarzania w systemie pomiarowym.
2
Charakterystyczną cechą takiej tomografii komputerowej jest możliwość wykonania
badania tylko w płaszczyźnie prostopadłej do osi obiektu. Ograniczenie to jest niwelowane
programowo przez składanie uzyskanych w badaniu warstw przechodzących przez wybrane
obszary anatomiczne. Uzyskany w ten sposób obraz przestrzenny ma gorsze parametry
metrologiczne, zależne od liczby warstw przechodzących przez badany przedmiot.
Zrekonstruowane obrazy obiektu w określonych płaszczyznach są prezentowane na ekranie
monitora tomografu. Pomiary geometryczne wykonywane są półautomatycznie przez
operatora, który ustawia kursory w wybranych punktach obrazu. Odległości między punktami
są wyznaczane automatycznie. Ustawiając kursor operator decyduje o krawędziach
mierzonych obiektów. Kryterium wystąpienia krawędzi jest subiektywne i polega na
wykrywaniu i ocenie zmian jasności. Wyniki pomiarów służą do podejmowania decyzji
diagnostycznych.
3.
MODEL POMIARU
Podstawowym pojęciem techniki mierzenia jest model pomiaru, który wyraża związek
wyniku pomiaru i zmiennych procesu pomiarowego. Zmienne te zawierają wielkości
bezpośrednio mierzone, poprawki, wielkości wpływające i stałe fizyczne oraz ich
niepewności. Niepewność jest związana z każdym procesem badawczym. Mierzenie
dostarcza wiedzy o świecie i choć wiedza ta jest niepewna to staje się użyteczna, gdy wyrazi
się ilościowo rozmiary niepewności. Dzięki ustalonej jednolitej metodyce wyrażania
niepewności pomiarów [3] zyskano możliwość porównywania wyników pomiarów
otrzymywanych w różnych laboratoriach.
Podstawowe badania tomograficzne wykonywane są w płaszczyźnie prostopadłej do osi stołu.
Nie ma możliwości wykonania bezpośredniego skanu na przykład wzdłuż innych osi. Obraz
trójwymiarowy uzyskiwany jest przez składanie warstw przechodzących przez wybrane
obszary.
Pomiary wielkości geometrycznych w zrekonstruowanej komputerowo trójwymiarowej
przestrzeni wykonywane są z inną niepewnością zależną od przestrzennego usytuowania
obiektu. Rysunek 2 pokazuje ideę pomiaru kąta w płaszczyźnie prostopadłej do osi
skanowania. Prosta AB przechodzi przez ślady obiektu pierwszego na płaszczyznach
3
skanowania, natomiast prosta BC przez ślady obiektu drugiego. Model pomiaru odległości
między ustawionymi kursorem punktami ma następującą postać (Rys.2):
d = (Δx) 2 + (Δy ) 2 + (Δz ) 2
(2)
d – odległość między punktami P1 i P2
P1 = ( x1 , y1 , z1 )
P2 = ( x 2 , y 2 , z 2 )
Δx = x1 − x 2
Δy = y1 − y 2
Δz = z 1 − z 2
P11
φ
P22
P21
P12
Rys.2. Ilustracja pomiaru odległości i kąta.
Przyjęty model pomiaru pokazuje czynniki wpływające na wartość i niepewność pomiaru:
xi = x 0i + δx w + δx r + δx z + δx od
y i = y 0i + δy w + δy r + δy z + δy od
z i = z 0i + δz w + δz r + δz z + δz od
xi - wartość współrzędnej punktu i-tego,
x0i - wartość odczytana współrzędnej,
δx w - poprawka ustalona z wzorcowania,
δx r - błąd rozdzielczości,
δx z - błąd zniekształceń obrazu,
δxod - błąd ustawienia kursora
A
B
C
Rys. 3. Pomiar w płaszczyźnie skanowania.
4
Analogicznie określone są czynniki wpływające na współrzędne y i z. Model pomiaru kąta
określa wyrażenie:
⎛ Δy
⎛ Δy1 ⎞
⎟⎟ − arctg ⎜⎜ 2
⎝ Δx 2
⎝ Δx1 ⎠
φ xy = arctg ⎜⎜
⎞
⎟⎟
⎠
(3)
P11 = ( x11 , y11 , z11 )
P12 = ( x12 , y12 , z12 )
Δx1 = x11 − x12
Δy1 = y11 − y12
P21 = ( x 21 , y 21 , z 21 )
P22 = ( x 22 , y 22 , z 22 )
Δx 2 = x 21 − x 22
Δy 2 = y 21 − y 22
Ilustrację wynikowych obrazów tomograficznych w płaszczyźnie skanowania x-y
pokazano na rysunku 3.
A
B
C
Rys. 4. Pomiar kąta ABC w płaszczyźnie prostopadłej do osi skanowania.
W innych płaszczyznach składniki niepewności pozostają takie same choć ich wartości są
zmienne. Ilustruje to rysunek 4. Dokładność określenia współrzędnych punktów z zależy
przede wszystkim od rozdzielczości, która z kolei związana jest z gęstością skanowania.
Przedstawione zależności stanowią modele pomiaru wartości odległości i kąta oraz
niepewności pomiaru tych wielkości.
4.
NIEPEWNOŚĆ POMIARU
Na podstawie pomiarów podejmowane są decyzje diagnostyczne. Niepewność pomiarów
sprawia, że decyzje podejmowane są w warunkach losowych przy deficycie informacji.
Niepewność pomiarów wraz z niepewnością metod pozwalają na ocenę prawdopodobieństwa
poprawności decyzji. Procedury wyznaczania niepewności pomiarów stanowią integralną
5
część procedur badawczych. Niepewność pomiaru odległości między wybranymi przez
operatora punktami wyznacza się według modelu (2) i ma postać:
u 2 (d ) = c Δ2x u 2 (Δx) + c Δ2y u 2 (Δy ) + c Δ2z u 2 (Δz )
(4)
Złożona niepewność standardowa jest pierwiastkiem z sumy kwadratów
niepewności składowych z wagami, które są odpowiednimi wrażliwościami.
Występujące we wzorze współczynniki wrażliwości wyznacza się zgodnie z
ogólnymi zasadami podanymi w Przewodniku [2].
c Δx =
∂d
∂ (Δx)
c Δy =
∂d
∂ (Δy )
c Δz =
∂d
∂ (Δz )
(5)
Składniki niepewności wyznacza się z następujących wzorów
u 2 (Δx) = u 2 ( x1 ) + u 2 ( x 2 )
u 2 (Δy ) = u 2 ( y1 ) + u 2 ( y 2 )
u 2 (Δz ) = u 2 ( z1 ) + u 2 ( z 2 )
(6)
u 2 (xi ) = u2 (δxw ) + u 2 (δxr ) + u 2 (δxz ) + u 2 (δxod )
u 2 ( yi ) = u 2 (δyw ) + u 2 (δyr ) + u 2 (δyz ) + u 2 (δyod )
u2 (zi ) = u2 (δzw ) + u2 (δzr ) + u2 (δzz ) + u2 (δzod )
Złożoną niepewność standardową pomiaru kąta między prostymi wyznacza się
stosując model (3):
⎛ Δ y1 ⎞
⎛ Δy2 ⎞
⎟⎟ + c Δ2 2 u 2 ⎜⎜
⎟⎟
u 2 (φ ) = c Δ2 1 u 2 ⎜⎜
⎝ Δ x1 ⎠
⎝ Δx2 ⎠
(7)
Współczynniki wrażliwości wyznaczane są z wzorów:
cΔ1 =
∂φ
⎛ Δy ⎞
∂⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ Δx1 ⎠
cΔ 2 =
∂φ
⎛ Δy ⎞
∂⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ Δx2 ⎠
(8)
Składniki niepewności są wyznaczane tak jak w zależności (6).
5.
PROCEDURA WZORCOWANIA
Tomograf jest wzorcowany przy pomocy specjalnych fantomów składających się z brył
przestrzennych o zdefiniowanych parametrach geometrycznych i znanym tłumieniu fal
6
rentgenowskich. Wnętrze jest wypełnione wodą w celu symulacji ciała ludzkiego. Wtrącenia
materiałowe pozwalają na kontrolę poprawności pomiaru gęstości ośrodka w skali
Hounsfield’a.
Procedura wzorcowania przeprowadzana jest automatycznie przy pomocy zestawu firmowego
wzorców. Korekcja wprowadzania jest do systemu komputerowego automatycznie.
Rys. 5 Przykładowy zwymiarowany fantom do wzorcowania.
Rys. 6 Obraz przekroju sekcji fantomu do wzorcowania.
7
6.
PROCEDURA POMIAROWA
Procedura pomiaru parametrów geometrycznych obiektów skanogramu tomograficznego
zawiera następujące elementy:
-
wyznaczenie estymat wartości wielkości wejściowych zgodnie z modelem pomiaru,
-
obliczenie niepewności standardowych wielkości wejściowych współrzędnych,
-
wyznaczenie wartości wielkości mierzonej,
-
wyznaczenie współczynników wrażliwości,
-
obliczenie złożonej niepewności standardowej,
-
wyznaczenie złożonej niepewności rozszerzonej i poziomu ufności związanego z
przedziałem niepewności.
Wyniki pomiaru podawane są zgodnie z wymogami metrologicznymi jako para: wartość i
niepewność.
7.
UWAGI KOŃCOWE
Pomiary geometryczne wykonywane są w celu postawienia diagnozy. Wiarygodność
diagnozy może być oszacowana wówczas, gdy znane są niepewności pomiarów.
W referacie pokazano pomiar wybranych parametrów geometrycznych skanogramów
tomograficznych, które stosowane są w diagnostyce medycznej. Prace badawcze nad
systemem wspomagającym diagnostę prowadzone są w Zakładzie Metrologii i Badań
Nieniszczących Instytutu Elektrotechniki
LITERATURA
[1] Sikora J.: Algorytmy numeryczne w tomografii komputerowej. Oficyna Wydawnicza
Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2000.
[2] Przewodnik Wyrażanie Niepewności Pomiaru. GUM, Warszawa 1999.
[3] Wójtowicz S., Biernat K.: Statystyczne metody wyznaczania niepewności pomiarów w
badaniach nieniszczących, Badania Materiałów, nr 2 (14), Październik 2001.
8