Katarzyna Biernat, Adrian Truszkiewicz, Stefan Wójtowicz

Dokładność pomiaru parametrów obiektów w tomografii
komputerowej
Katarzyna BIERNAT, Adrian TRUSZKIEWICZ, Stefan WÓJTOWICZ
ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH
INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI
ul. Pożaryskiego 28, 04-703 Warszawa
tel. (022) 812-24-32 fax 615-75-35
e-mail. [email protected]
Streszczenie
W referacie przedstawiono sposób określania dokładności pomiaru
parametrów geometrycznych obiektów na podstawie obrazów cyfrowych
konstruowanych przez rentgenowski tomograf komputerowy. Podano
najważniejsze źródła i budżet niepewności pomiaru wymiarów liniowych
obiektów oraz kątów między zdefiniowanymi liniami prostymi.
Słowa kluczowe: niepewność pomiaru, badania nieniszczące, tomografia
rentgenowska.
1. WPROWADZENIE
Pomiar geometrii obiektów na podstawie obrazów tomograficznych posiada wyraźną
specyfikę. Tomografia komputerowa jest techniką konstruowania obrazów wnętrza obiektów na
podstawie pomiarów dokonywanych z zewnątrz. Otrzymywany obraz jest mapą rozkładu
parametrów materiałowych. Najczęściej jako nośniki informacji stosowane są promienie X lub
gamma, pola magnetyczne, prądy elektryczne, ultradźwięki i wiązki elektronów [1]. Tomografia
promieniami X jest specjalistyczną metodą diagnostyczną w zastosowaniach medycznych i
technicznych, która umożliwia oglądanie stanu tkanek wewnątrz organizmu i rozkładu gęstości
obiektów technicznych. Obrazy warstwowe są analizowane i oceniane przez specjalistę. Ocena
ilościowa z zastosowaniem metod morfometrycznych pozwala na poprawę wiarygodności
diagnozy [2]. Struktury morfologiczne opisywane są na podstawie pomiarów liniowych, pola
powierzchni, kątów, współczynników kształtu, cech optycznych i kolorymetrycznych. Procedury
diagnostyczne, operujące wynikami pomiarów, muszą zawierać oszacowania niepewności
pomiarów cech dla prawidłowej oceny wiarygodności diagnozy.
1
2. METODA POMIAROWA
Tomograficzny system pomiarowy przypisuje wartościom gęstości punktów skanowanej
przestrzeni wewnętrznej obiektu, wartości jasności zrekonstruowanego obrazu:
J ( x, y, z ) = f [ ρ ( x, y, z )]
(1)
gdzie J - przestrzenny rozkład jasności,
ρ -przestrzenny rozkład gęstości,
f - funkcja przetwarzania,
x,y,z – współrzędne przestrzenne.
Schemat przetwarzania w systemie pomiarowym został pokazany na rysunku 1.
Obiekt
pomiaru
Analiza cech
jakościowych
obiektu
Akwizycja
danych
Decyzja
diagnostyczna
OPERATOR
Rekonstrukcja
obrazu
Klasyfikacja
diagnostyczna
Prezentacja
obrazu
Pomiar cech
geometrycznych
obiektów
Rys.1 Schemat przetwarzania sygnałów w systemie pomiarowym.
Obiekt jest badany wiązką rentgenowską w płaszczyźnie prostopadłej do osi obiektu. Przez
obrót penetruje się cały obiekt. Przesuwając głowicę skanującą wzdłuż osi uzyskuje się kolejne
przekroje, które łącznie tworzą obraz przestrzenny obiektu.
Zrekonstruowane obrazy obiektu w określonych płaszczyznach są prezentowane na ekranie
monitora tomografu. Pomiary geometryczne wykonywane są półautomatycznie przez operatora,
2
który ustawia kursory w wybranych punktach obrazu. Odległości między punktami są
wyznaczane automatycznie. Ustawiając kursor operator decyduje o krawędziach mierzonych
obiektów. Kryterium wystąpienia krawędzi jest subiektywne i polega na wykrywaniu i ocenie
zmian jasności. Wyniki pomiarów służą do podejmowania decyzji diagnostycznych.
3.
MODEL POMIARU
Podstawowym pojęciem techniki mierzenia jest model pomiaru, który wyraża związek
wyniku pomiaru i zmiennych procesu pomiarowego. Zmienne te zawierają wielkości
bezpośrednio mierzone, poprawki, wielkości wpływające i stałe fizyczne oraz ich niepewności.
Niepewność jest związana z każdym procesem badawczym. Dzięki ustalonej jednolitej metodyce
wyrażania niepewności pomiarów [3] zyskano możliwość porównywania wyników pomiarów
otrzymywanych w różnych laboratoriach.
Pomiary wielkości geometrycznych w zrekonstruowanej komputerowo przestrzeni
trójwymiarowej wykonywane są z niepewnością zależną od przestrzennego usytuowania
obiektu. Rysunek 2 pokazuje ideę pomiaru kąta w płaszczyźnie prostopadłej do osi skanowania.
P1
P2
P3
P4
Rys.2 Przykład pomiaru odległości i kąta.
Proste przechodzą przez ślady obiektów. Model pomiaru odległości (Rys.2) między
ustawionymi kursorem punktami ma następującą postać [7]:
3
d = (∆x) 2 + (∆y ) 2 + (∆z ) 2
(2)
gdzie
d – odległość między punktami P1 i P2
P1 = ( x1 , y1 , z1 )
∆x = x1 − x 2
P2 = ( x 2 , y 2 , z 2 )
∆y = y1 − y 2
∆z = z1 − z 2
Przyjęty model pomiaru pokazuje czynniki wpływające na wartość mierzoną i niepewność
pomiaru:
xi = x 0i + δx w + δx r + δx z + δx od
y i = y 0i + δy w + δy r + δy z + δy od
(3)
z i = z 0i + δz w + δz r + δz z + δz od
gdzie
xi - wartość współrzędnej punktu i-tego,
x0i - wartość odczytana współrzędnej,
δx w - poprawka ustalona z wzorcowania,
δx r - błąd rozdzielczości,
δx z - błąd wynikający ze zniekształceń obrazu,
δxod - błąd niedokładnego ustawienia kursora
Analogicznie określone są czynniki wpływające na współrzędne y i z.
Model pomiaru kąta określa wyrażenie:
⎛ ∆y
⎛ ∆y1 ⎞
⎟⎟ − arctg ⎜⎜ 2
⎝ ∆x 2
⎝ ∆x1 ⎠
φ xy = arctg ⎜⎜
⎞
⎟⎟
⎠
P11 = ( x11 , y11 , z11 )
P12 = ( x12 , y12 , z12 )
∆x1 = x11 − x12
∆y1 = y11 − y12
P21 = ( x 21 , y 21 , z 21 )
P22 = ( x 22 , y 22 , z 22 )
∆x 2 = x 21 − x 22
∆y 2 = y 21 − y 22
(4)
Czynniki wpływające na wartość wielkości mierzonej i niepewność pomiaru są analogiczne
jak w przypadku pomiarów odległości.
4
W płaszczyźnie prostopadłej do osi skanowania składniki niepewności pozostają takie same
choć ich wartości zmieniają się (Rys.3). Dokładność określenia współrzędnych punktów z zależy
przede wszystkim od rozdzielczości, która z kolei związana jest z gęstością skanowania.
A
B
C
Rys.3 Pomiar kąta ABC w przestrzeni trójwymiarowej.
Przedstawione zależności stanowią modele pomiaru wartości odległości i kąta oraz
niepewności pomiaru tych wielkości.
4.
NIEPEWNOŚĆ POMIARU
Niepewność pomiarów sprawia, że decyzje diagnostyczne podejmowane są w warunkach
losowych przy deficycie informacji [5]. Niepewność pomiarów wraz z niepewnością metod
badawczych pozwalają na ocenę prawdopodobieństwa poprawnej decyzji. Procedury
wyznaczania niepewności pomiarów stanowią integralną część procedur badawczych, które
prowadzą do diagnozy.
Niepewność pomiaru odległości między wybranymi przez operatora punktami jest wyznaczana
według modelu (2):
u 2 (d ) = c ∆2x u 2 (∆x) + c ∆2y u 2 (∆y ) + c ∆2z u 2 (∆z )
5
(5)
Złożona niepewność standardowa jest pierwiastkiem z sumy kwadratów niepewności
składowych z wagami, które są odpowiednimi wrażliwościami. Współczynniki wrażliwości są
wyznaczane zgodnie z ogólnymi zasadami podanymi w [3]:
c ∆x =
∂d
∂ (∆x)
c ∆y =
∂d
∂ (∆y )
c ∆z =
∂d
∂ (∆z )
(6)
Zgodnie z modelem pomiaru po podstawieniu do równania niepewności (5) otrzymano
zależność:
u 2 (d ) =
(∆x u
2
2
(∆x) + ∆y 2 u 2 (∆y ) + ∆z 2 u 2 (∆z )
∆x 2 + ∆y 2 + ∆z 2
)
(7)
Składniki niepewności wyznacza się z następujących wzorów:
u 2 (∆x) = u 2 ( x1 ) + u 2 ( x 2 )
u 2 (∆y ) = u 2 ( y1 ) + u 2 ( y 2 )
u 2 (∆z ) = u 2 ( z1 ) + u 2 ( z 2 )
(8)
u 2 (xi ) = u2 (δxw ) + u 2 (δxr ) + u 2 (δxz ) + u 2 (δxod )
u 2 ( yi ) = u 2 (δyw ) + u 2 (δyr ) + u 2 (δyz ) + u 2 (δyod )
u2 (zi ) = u2 (δzw ) + u2 (δzr ) + u2 (δzz ) + u2 (δzod )
Złożoną niepewność pomiaru kąta między prostymi wyznacza się stosując model (4):
(9)
u (φ ) = c u ( ∆ y 1 ) + c u ( ∆ x 1 ) + c u ( ∆ y 2 ) + c u ( ∆ x 2 )
2
2
∆1
2
2
∆2
c∆1 =
2
2
∆3
2
∂Φ
∆x1
=
∂ (∆y1 ) 1 + ∆y12
c∆ 2 =
∂Φ
− ∆y
= 2 1 2
∂ (∆x1 ) ∆x1 + ∆y1
c∆ 3 =
∂Φ
∆x2
=
∂ (∆y2 ) 1 + ∆y22
c∆ 4 =
∂Φ
− ∆y
= 2 2 2
∂ (∆x2 ) ∆x2 + ∆y2
2
∆4
2
(10)
Składniki niepewności są wyznaczane tak jak w zależności (8).
Tomograf jest kalibrowany przy pomocy specjalnych fantomów składających się z brył
przestrzennych o zdefiniowanych parametrach geometrycznych i znanym tłumieniu fal
rentgenowskich. Wtrącenia materiałowe pozwalają na kontrolę poprawności pomiaru gęstości
ośrodka w skali Hounsfield’a. Procedura wzorcowania przeprowadzana jest automatycznie przy
pomocy zestawu firmowego wzorców. Korekcja wprowadzania jest do systemu komputerowego.
Rysunek 4 pokazuje jedną z sekcji testowych, która umożliwia ustalenie współczynnika skali i
6
oszacowanie błędu zniekształceń obrazu w płaszczyźnie skanowania. Dla tego przypadku
ustalono graniczny błąd kalibracji, który wynosi 0,25 mm.
Rys.4 Sekcja „C” urządzenia do kalibracji tomografu.
Rys.5 Sekcja „A” urządzenia do kalibracji tomografu.
Rysunek 5 pokazuje wynik rekonstrukcji obrazu składającego się z 6 warstw. Owalne kształty w
części prostokątnej obrazu to kolejne przekroje przez sekcję „A” urządzenia wzorcującego.
Dla przykładowego pomiaru odległości na obrazie tomograficznym w płaszczyźnie skanowania
niepewność pomiaru oszacowano uwzględniając odchylenia standardowe błędu rozdzielczości
±0,3 mm, błędu zniekształcenia obrazu ±0,1 mm, błędu ustawienia kursora ±0,6 mm oraz
7
poprawki wzorcowania ±0,2 mm. Niepewność standardowa pomiaru odległości wynosi 1,0 mm.
Wynik pomiaru zapisano d=(14,0±2,0) mm dla współczynnika rozszerzenia k=2. Wyznaczony
eksperymentalnie przykładowy kąt wynosi (108,7±1,9)o dla k=2.
W zależności od typu tomografu skany mogą być wykonywane co 0,5-2 mm. Błąd
rozdzielczości jest głównym składnikiem niepewności w tej płaszczyźnie.
5.
UWAGI KOŃCOWE
W referacie pokazano szacowanie niepewności pomiaru wybranych parametrów
geometrycznych skanogramów tomograficznych, które stosowane są w diagnostyce technicznej.
Podobnie jak w innych dziedzinach każdy wynik pomiaru powinien zawierać niepewność
pomiaru oszacowaną zgodnie z ogólnymi zasadami [3]. Prace badawcze nad systemem
wspomagającym diagnostę prowadzone są w Zakładzie Metrologii i Badań Nieniszczących
Instytutu Elektrotechniki
LITERATURA
[1] Sikora J.: Algorytmy numeryczne w tomografii komputerowej. Oficyna Wydawnicza
Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2000.
[2]Zieliński K.W., Strzelecki M.: Komputerowa analiza obrazu biomedycznego. Wydawnictwo
Naukowe PWN, Warszawa – Łódź 2002.
[3] Przewodnik Wyrażanie Niepewności Pomiaru. GUM, Warszawa 1999.
[4] Rao C.R.: Statystyka i prawda. PWN, Warszawa 1994.
[5] Wójtowicz S.: Oszacowanie poprawności decyzji diagnostycznych w badaniach
nieniszczących. Zeszyty Problemowe Badania Nieniszczące. Numer 5, Materiały
Konferencyjne 29 KKBN, listopad 2000, Warszawa.
[6] Wójtowicz S., Biernat K.: Statystyczne metody wyznaczania niepewności pomiarów w
badaniach nieniszczących, Badania Materiałów, nr 2(14), Październik 2001.
[7] Biernat K., Truszkiewicz A., Wójtowicz S.: Niepewność pomiaru parametrów
geometrycznych obiektów w tomografii komputerowej. Podstawowe Problemy Metrologii,
Prace Komisji Metrologii PAN, Konferencja PPM 03, Ustroń 12-14 maj 2003, str. 429-438.
8