Φ,z

Materiały pomocnicze do dwiczeo w LPF
Nella Mirowska
W praktyce laboratoryjnej często potrzebna jest znajomośd różnych wielkości fizycznych, których
wartości nie są stałe, lecz zmieniają się np. wraz ze zmianą temperatury. Do takich wielkości należą m.in.
gęstośd, lepkośd i napięcie powierzchniowe cieczy. Poniżej przedstawiono tabele z danymi liczbowymi oraz
wykresy temperaturowych zależności tych wielkości dla wody i gliceryny. Dla każdego wykresu podano
równanie linii najlepszego dopasowania (linii regresji), na podstawie którego można obliczyd wartośd danej
wielkości fizycznej w dowolnej temperaturze z przedziału dopasowania. Rolę argumentu funkcji tj. zmiennej
niezależnej x w równaniu y = f(x) pełni temperatura, zaś zmienna zależna y jest poszukiwaną wartością
wielkości fizycznej. Podstawiając za x interesującą nas wartośd temperatury (z przedziału dopasowania!!!)
możemy obliczyd wartośd y wielkości poszukiwanej. Na przykład, korzystając z równania figurującego na
wykresie zależności η = f(t), obliczmy dla wody wartośd napięcia powierzchniowego σ = y w temperaturze
t = x = 28,3°C:
y = 0,0003∙28,32-0,1418∙28,3+75,6654 = 0,2403-4,0129+75,6654 = 71,8924 ≈ 71,89.
Uwzględniając mnożnik 10-3 podany w tabeli, zapiszemy wynik w postaci σ(t=28,3°C) = 71,89∙10-3[N/m]. Tak
otrzymana wartośd σ jest oczywiście poprawniejsza, niż gdybyśmy z tabeli przyjęli σ(30°C) = 71,18∙10-3[N/m]
dla temperatury najbliższej tj. dla t = 30°C lub obliczyli ją jako np. średnią σśr = 71,575∙10-3[N/m] dla dwóch
najbliższych temperatur 25°C i 30°C. Widad, że między wartością poprawną σ(t=28,3°C) a wartościami
przybliżonymi σ(30°C) i σśr jest spora rozbieżnośd, która wynika z nieliniowego charakteru zależności σ=f(t)
Stopieo dopasowania linii regresji do danych zawartych w tabeli (są to punkty na wykresie) określa
parametr R2, a właściwie współczynnik korelacji R. Im wartośd współczynnika R jest bliższa |1|(wtedy
również R2≈1), tym dopasowanie jest dokładniejsze. W rozpatrywanym przykładzie otrzymano R2= 0,999
(czyli R = 0,9995), co świadczy o bardzo wysokim stopniu dopasowania wielomianu drugiego stopnia do
punktów na wykresie z przedziału temperatur 0*°C+÷100*°C +.
W dalszej części przedstawiono tabele innych nieliniowych zależności i odpowiadające im wykresy
oraz równania linii najlepszego dopasowania w wybranym przedziale wartości x:
- zależnośd współczynnika załamania od długości fali świetlnej n = f() dla dwóch typów szkła (flint i crown),
- zależnośd skręcenia płaszczyzny polaryzacji od długości fali świetlnej Φ = f() dla kwarcu,
- zależnośd przyspieszenia ziemskiego od szerokości geograficznej g = f(Φ),
Sposób obliczania wartości funkcji y tj. wartości wielkości n, Φ lub g dla wybranego argumentu x,
czyli odpowiednio  lub Φ jest analogiczny do wcześniej podanego dla napięcia powierzchniowego wody.
1
WODA
Zależność gęstości wody od temperatury (pod ciśnieniem 101325*Pa+):
t*°C+
kg/m3]
0
1
2
4
5
10
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
35
40
45
50
60
70
80
90
95
100
999,841
999,900
999,941
999,973
999,965
999,700
999,099
998,943
998,774
998,595
998,405
998,203
997,992
997,770
997,538
997,296
997,044
996,783
996,512
996,232
995,944
995,646
994,030
992,210
990,220
988,040
983,210
977,780
971,800
965,310
961,890
958,350
gęstość wody ρ= f(t)
ρ *kg/m3]
1000,000
y = -1E-07x4 + 4E-05x3 - 0,007x2 + 0,051x + 999,8
R² = 1
995,000
990,000
985,000
980,000
Serie1
975,000
Wielob. (Serie1)
970,000
965,000
960,000
955,000
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
t [°C]
Zależnośd ρ = f(t) nie jest liniowa w przedziale temperatur 0÷100*°C+. Gęstośd wody
maleje ze wzrostem temperatury. Dopasowanie wartości zawartych w tabeli funkcją
czwartego stopnia jest bardzo dobre (R2 = 1). Wyraźnie widad silną nieliniowośd
występującą szczególnie w przedziale 0÷30*°C+, dlatego przedział ten jest
reprezentowany większą ilością wartości tablicowych ρ*kg/m3].
2
Zależność napięcia powierzchniowego wody od temperatury:
T [K]
t *°C +  [N/m]x 10-3
napięcie powierzchniowe wody
σ = f(t)
σ *N/m+ x 10-3
273,15
278,15
283,15
288,15
291,15
293,15
298,15
303,15
308,15
313,15
318,15
323,15
328,15
333,15
338,15
343,15
348,15
353,15
373,15
0
5
10
15
18
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
100
75,65
74,9
74,22
73,49
73,05
72,75
71,97
71,18
70,4
69,56
68,76
67,91
67,04
66,18
65,31
64,4
63,5
62,6
58,85
78
76
y = -0,0003x2 - 0,1418x + 75,6654
R² = 1,0000
74
72
70
68
Serie1
66
Wielob. (Serie1)
64
62
60
58
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
t [°C]
Zależnośd σ = f(t) nie jest liniowa w przedziale temperatur 0÷100*°C+.
Napięcie powierzchniowe wody maleje ze wzrostem temperatury.
Dopasowanie wartości zawartych w tabeli funkcją trzeciego stopnia jest
bardzo dobre (R2 = 1).
3
Zależność lepkości wody od temperatury:
t *°C+
η *Pa∙s+x 10-3
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
1,510
1,303
1,134
1,002
0,891
0,798
0,720
0,654
0,597
0,548
0,500
0,469
0,430
0,406
0,380
0,356
0,330
0,316
0,299
0,283
Zależnośd η = f(t) nie jest liniowa w przedziale temperatur 0÷100*°C+. Lepkośd wody silnie maleje ze
wzrostem temperatury. Dopasowanie wartości zawartych w tabeli funkcją czwartego stopnia jest
bardzo dobre (R2 = 0,999).
4
GLICERYNA
stężenie
gęstość w 25°C
współczynnik lepkości η *Pa∙s+
3
C [%]
ρ*kg/m ]
20 *°C+
25 *°C+
30 *°C+
100
99
98
97
96
95
80
50
25
10
0
1262
1259
1257
1254
1252
1249
1209
1127
1067
1024
997
1,49500
1,19400
0,97100
0,80200
0,65900
0,54400
0,06180
0,00603
0,00209
0,00131
0,00100
0,94200
0,77200
0,62700
0,52200
0,43400
0,36500
0,04570
0,00502
0,00180
0,00115
0,00089
0,62200
0,50900
0,42300
0,35300
0,29600
0,24800
0,03480
0,00423
0,00159
0,00102
0,00080
Zależność gęstości gliceryny od stężenia:
ρ = f(C)
ρ *kg/m3]
1300
y = 2,641x + 997,7
R² = 0,999
1250
1200
1150
Serie1
1100
Liniowy (Serie1)
1050
1000
950
0
20
40
60
80
100
C [%]
Zależnośd ρ = f(C) przy stałej temperaturze jest liniowa w przedziale stężenia 0÷100[%]. Gęstośd gliceryny
rośnie ze wzrostem jej stężenia C*%+. Dopasowanie wartości zawartych w tabeli funkcją liniową jest bardzo
dobre (R2 = 0,999).
5
Zależność lepkości gliceryny od stężenia w różnych temperaturach :
η=f(C)
η*Pa∙s+
1,60000
t = 20°C
1,40000
1,20000
1,00000
t = 25°C
Serie1
0,80000
Serie2
Serie3
0,60000
t = 30°C
0,40000
0,20000
0,00000
0
20
40
60
80
100
C[%]
Lepkośd gliceryny rośnie ze wzrostem jej stężenia. Szczególnie silny wzrost η = f(C) obserwowany jest dla
stężeo powyżej 90%. Wzrost temperatury osłabia tę tendencję.
Zależność lepkości gliceryny od temperatury:
t *°C+
η*Pa∙s+
10
20
25
30
50
3,95
1,495
0,942
0,622
0,18
η = f(t) dla 100%
η*Pa∙s+
4
y = 2,9E-06x4 - 4,7E-04x3 + 2,9E-02x2 - 8,2E-01x +
9,7E+00
R² = 1,0E+00
3,5
3
2,5
2
Serie1
1,5
Wielob. (Serie1)
1
0,5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
t [°C]
Lepkośd gliceryny (przykładowo o stężeniu 100% ) silnie maleje ze wzrostem temperatury. Dopasowanie
wartości zawartych w tabeli funkcją czwartego stopnia jest bardzo dobre (R2 = 1).
6
SZKŁO
Zależność współczynnika załamania n od długości fali świetlnej :
crown
 [nm]

687
656
589
527
486
431
397
n
n=f() - crown
n
1,5118
1,5127
1,5153
1,5186
1,5214
1,5267
1,5312
1,535
y = -4,94E-10x3 + 9,86E-07x2 - 6,90E-04x +
1,68E+00
R² = 1,00E+00
1,53
1,525
Serie1
1,52
Wielob. (Serie1)
1,515
1,51
400
450
500
550
600
650
700
750
[nm]
Zależność współczynnika załamania n od długości fali świetlnej :
flint
 [nm]

687
656
589
527
486
431
397
n
n=f( ) - flint
n
1,6020
1,6038
1,6085
1,6145
1,6200
1,6308
1,6404
1,6400
y = -1,32E-09x3 + 2,55E-06x2 - 1,70E-03x +
2,00E+00
R² = 1,00E+00
1,6350
1,6300
1,6250
1,6200
Serie1
1,6150
Wielob. (Serie1)
1,6100
1,6050
1,6000
400
450
500
550
600
650
700
750
[nm]
Oba typy szkła charakteryzuje spadek wartości współczynnika załamania n ze wzrostem długości fali
świetlnej , przy czym silniejszą tendencję wykazuje flint. Dopasowania wartości zawartych w tabelach
funkcjami trzeciego stopnia jest bardzo dobre (R2 = 1).
7
Kwarc – zależność skręcenia płaszczyzny polaryzacji Φ od długości fali świetlnej :
 [nm]

687
656
589
527
486
431
397
Φ°+

15,750
17,317
21,717
27,717
32,767
42,533
51,183
Φ = f()
Φ[°]
55,000
50,000
y = -1,00E-06x3 + 1,99E-03x2 - 1,37E+00x +
3,45E+02
R² = 1,00E+00
45,000
40,000
35,000
Serie1
30,000
Wielob. (Serie1)
25,000
20,000
15,000
10,000
350
400
450
500
550
600
650
700
750
[nm]
Powyższą zależnośd Φ = f() przedstawiono dla płytki kwarcowej o grubości 1*mm+ tj. dla grubości
jednostkowej kwarcu. Widad, że kąt skręcenia płaszczyzny polaryzacji silnie maleje ze wzrostem długości fali
świetlnej spolaryzowanej liniowo. Zwiększenie tej grubości o wielokrotnośd grubości jednostkowej wpłynie
na osłabienie natężenia fali świetlnej, lecz nie zmieni kąta skręcenia płaszczyzny polaryzacji. Inne niż
jednostkowe zmiany grubości płytki kwarcowej spowodują już zmianę wartości kąta skręcenia płaszczyzny
polaryzacji.
Dopasowanie wartości zawartych w tabeli funkcją trzeciego stopnia jest bardzo dobre (R2 = 1).
8
PRZYSPIESZENIE ZIEMSKIE
Przyjęło się, że wartośd przyspieszenia ziemskiego dla całego obszaru Polski, której średnia wysokośd nad
poziomem morza to173[m], wynosi 9,81[m/s2+. Często taka dokładnośd jest za mała, bowiem wartośd
g[m/s2] zależy od szerokości geograficznej rozpatrywanego miejsca oraz od jego wysokości nad poziomem
morza(n.p.m.). Położenie geograficzne Polski mieści się w przedziale około 49°÷54°, a wysokośd n.p.m. jest
zróżnicowana (niziny, wyżyny, góry, jeziora). Warto prześledzid, jak oba te czynniki – wysokośd i szerokośd
geograficzna – wpływają na wartośd przyspieszenia geograficznego.
Zależność przyspieszenia ziemskiego od szerokości geograficznej :
Φ[°+
g [m/s2 ]
0
10
20
30
40
45
50
60
70
80
90
9,78038
9,78204
9,78652
9,79338
9,80180
9,80620
9,81121
9,81924
9,82614
9,83065
9,83210
g = f(Φ)
g [m/s2]
9,84000
9,83000
Serie1
9,82000
Wielob. (Serie1)
9,81000
9,80000
9,79000
y = -1,57E-07x3 + 2,11E-05x2 - 5,98E-05x +
9,78E+00
R² = 1,00E+00
9,78000
9,77000
0
20
40
60
80
100
Φ *°]
Widad, że zależnośd g = f(Φ) dla szerokości geograficznych z przedziału 45°÷ 55° można uznad za liniową.
Potwierdza to wykres i wysoki stopieo dopasowania danych zawartych w tabeli funkcją liniową (R = 0,9999):
g = f(Φ)
g [m/s2]
9,81600
9,81400
9,81200
y = 0,0009x + 9,7660
R² = 0,9999
9,81000
9,80800
Serie1
Liniowy (Serie1)
9,80600
9,80400
9,80200
9,80000
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
Φ *°]
9
Powyższe dane dotyczą tak zwanych umownych wartości g *m/s2], czyli zredukowanych do poziomu morza.
Właśnie takie wartości (umowne, zredukowane, normalne) można najczęściej znaleźd w tablicach.
Obliczenie dokładnej wartości przyspieszenia ziemskiego w danym miejscu, gdy znana jest wysokośd nad
poziomem morza i szerokośd geograficzna, umożliwia wzór podany przez Heiskanena :
g(Φ,z) =9,78049(1+0,005293sin2Φ-0,000007sin22Φ)-0,000003086z
gdzie: gΦ - przyspieszenie ziemskie w [m/s2+ na szerokości geograficznej Φ,
Φ - szerokośd geograficzna w *°+,
z - wysokośd nad poziomem morza w *m+,
mnożnik 9,78049 to wartośd zbliżona do przyspieszenia ziemskiego na równiku
(gtabl = 9,78038[m/s2]dla Φ=0°).
Na podstawie tego wzoru obliczono i umieszczono w tabeli wartości g(Φ,z) oraz wartości umownego
(zredukowanego) przyspieszenia ziemskiego g(Φ) dla wybranych miejscowości w Polsce. Zamieszczono
również, dla porównania, kilka wartości tablicowych gtabl(Φ,z). Jak widać, wartości g(Φ) i gtabl(Φ,z) są
niemal identyczne. Otrzymane wyniki przedstawiono również graficznie.
miasto
Elbląg
Szczecin
Gdaosk
Toruo
Bydgoszcz
Poznao
Kalisz
Wrocław
Warszawa
Białystok
Zielona Góra
Opole
Lublin
Łódź
Kraków
Katowice
Kłodzko
Bielsko Biała
Jelenia Góra
Ustrzyki Dln
Zakopane
m.n.p.m.
5
25
38
51
64
90
102
117
121
132
146
166
200
203
214
266
357
320
345
450
820
Φ[°+
54,167
53,438
54,356
53,020
53,150
52,400
51,770
51,109
52,232
53,133
51,940
50,667
51,233
51,817
50,060
50,259
50,440
49,820
50,900
49,430
49,300
gtabl[m/s2]
9,8145
9,8133
9,8126
9,8113
9,8123
9,8112
9,8119
9,8105
gobl(Φ)
g(Φ,z)
9,8144
9,8137
9,8145
9,8133
9,8134
9,8126
9,8121
9,8114
9,8124
9,8132
9,8121
9,8109
9,8113
9,8118
9,8102
9,8102
9,8101
9,8097
9,8105
9,8089
9,8076
(umowne)
9,8144
9,8137
9,8144
9,8131
9,8132
9,8124
9,8117
9,8111
9,8120
9,8127
9,8116
9,8104
9,8107
9,8112
9,8095
9,8094
9,8090
9,8087
9,8095
9,8075
9,8051
10
Zależnośd g(Φ,z) od szerokości geograficznej z uwzględnieniem wysokości n.p.m. przybliżono funkcją
liniową. Stopieo dopasowania, przy tak dużej ilości punktów, można uznad za wysoki (R = 0,9857).
Występujące odstępstwa (rozrzuty) punktów od linii regresji mogą wynikad z kilku powodów:
– nieskalibrowanie wielkości grawimetrycznych (punkty pomiaru wysokości i szerokości geograficznej nie
pokrywają się),
– zróżnicowanie rzeźby terenu w obrębie miejscowości (uwzględniano tzw. przeciętną wysokośd położenia
danej miejscowości n.p.m.),
– gęstośd i jakośd skał podłoża danego terenu,
– gęstośd skorupy ziemskiej w rejonie.
g (Φ,z) = f(Φ)
g [m/s2]
9,8150
9,8140
9,8130
9,8120
Serie1
9,8110
Liniowy (Serie1)
9,8100
y = 0,0011x + 9,7547
R² = 0,9857
9,8090
9,8080
48
50
52
54
56
Φ [°]
Kolejny wykres przedstawia zależnośd zredukowanego przyspieszenia g(Φ) od szerokości geograficznej Φ*°+
dla obszaru Polski.
g(Φ) = f(Φ)
g [m/s2]
9,8150
9,8140
9,8130
9,8120
Serie1
9,8110
Wielob. (Serie1)
9,8100
9,8090
y = -0,0001x2 + 0,0089x + 9,5451
R² = 0,9676
9,8080
9,8070
48
50
52
54
56
Φ [°]
11
Tym razem odpowiedniejsze okazało się dopasowanie nieliniowe (równaniem drugiego stopnia z dośd
wysokim współczynnikiem R2 = 0,9676). Widad, że dla miejscowości położonych w obszarze niższych
szerokości geograficzny (poniżej 51°) wartośd umownego przyspieszenia ziemskiego g(Φ) jest wyraźnie
zaniżona w stosunku do poprawniej obliczonej wartości g(Φ,z). Jest to skutkiem chociażby dwóch
czynników wpływających jednocześnie na obniżenie wartości przyspieszenia ziemskiego: zmniejszenie Φ i
zwiększenie z tj. położenia miejscowości n.p.m.(patrz równanie Heiskanena). Jeszcze wyraźniej to widać na
łącznym wykresie zależności g(Φ,z) i g(Φ) od szerokości geograficznej Φ[°], tj. na wykresie g = f(Φ)
przedstawionym poniżej:
g = f(Φ)
g [m/s2]
9,8160
9,8150
y = 0,0011x + 9,7547
R² = 0,9857
9,8140
9,8130
Serie1
9,8120
Serie2
Liniowy (Serie1)
9,8110
Wielob. (Serie2)
9,8100
y = -0,0001x2 + 0,0089x + 9,5451
R² = 0,9676
9,8090
9,8080
9,8070
48
50
52
54
56
Φ [°]
Zagadnienie wyznaczenia dokładnej wartości przyspieszenia ziemskiego jest, jak pokazano, dośd
skomplikowane i wymaga uwzględnienia wielu czynników oraz specjalistycznych badao z różnych dziedzin
naukowych. Warto zdawad sobie z tego sprawę i dlatego zwrócono uwagę na niektóre z nich. Tym niemniej,
w sytuacjach niezbyt rygorystycznych można dla całej Polski (zśr = 173m.n.p.m.i Φśr = 51,6°) przyjąć wartość
g = 9,8117[m/s2] lub nawet g = 9,81[m/s2].
12